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【摘要】对任意整数 ,运用( 型)等分方程定理,就可产生一个特殊的一元 次代数方程式,且具配套求根公式。
【关键词】等分方程定理 方程通项公式 配套求根公式 一般方程式 给定方程式
EQUATION AND CURVES——A Theorem for Equation of Devision
Mi Changming
(No. 1 Middle School , Anlong , Guizhou 552400)
【Abstract】To any positiue integer n , as we apply the theorem for equation of devision , that can produce a algebraic equation of nth degree in one unknown and a relevant unalgebraic radical formula.
【Key words】Equation of devision Formula for reduction of equation to a common term Radical formula for equations Definitive equation
引言:[1]和[2]是整理本课题的基础理论部分,提出几何学中新的公理体系——演变形概念、演变公理。该理念与欧氏几何的五组公理系统,不仅具有和谐性,还具有独立性和完备性。在该体系中通过两个分式恒等式,可转换为数字几何分角模型和数字函数曲线模型,从而形成图形和曲线的无限集合。具有规律的轨迹函数曲线,可转换为随数字而变化的代数方程模型,从而又形成了方程及其配套求根(解)公式的无限集合。[3]和[4]是代表多项式等分方程定理,在实数域和复数域中,对不同类型的特殊一元n次方程,应用配套公式求根,并用根与系数的关系进行检验。本文进一步提出多项式等分方程定理(C2型),它是上述特殊高次方程的继续和发展。定理的复杂性导致其证明十分烦琐,需极大的篇幅,因此,计划在今后出版的专著中进行论证。
1.等分方程定理(C2型)
Ⅰ方程式:a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+aixn-i+…+an-1x+an=0①
方程中n(n∈N* ),其左边各项为:首项:T1=a0xn (即a0=1),第二项: T2=a1xn-1=0(即a1=0),从第三项至末项,运用方程通项公式,可求出含参数 和 的一般方程式。
Ⅱ代数方程的通项公式:(i=0 ,1,2,…,n-1,n )
Ti+1=aixn-i=(-1)SCinKi∑hi=0(-1)tCPi-1KQ(K2+1)i-1rixn-i②
当i为偶数时 s=i2
h=i-22
p=2t
q=(i-2)-2t
当i为奇数时s=i+12
h=i-32
p=2t+1
q=(i-3)-2t
,参数k=tanα02 ,α0为被分角;r为分圆半径。
Ⅲ配套求根公式:( t∈N*)(i=0,1,2,…,n-1 )
当n为偶数时:(h=n-22 )
xi+1=-r[2∑ht=1costn(α0+360°i)+1]sin12(α0+360°i)③
当n为奇数时:(h=n-12 )
xi+1=-2r[∑ht=1cos2t-12n(α0+360°i)]sin12(α0+360°i)④
2.因式
由于配套公式所求的根,能满足于用根与系数的关系对方程式的检验。因此,可将上式写成因式的形式,即:
(x-x1)(x-x2)…(x-xn-1)(x-xn)=0⑤
3.等分多项方程式的性质
Ⅰ方程左边有(n+1 )项,(其中缺第二项),右边等于0。
Ⅱ x按降幂排列,次数由n 逐项减1到0;常量r 则由0逐项加1到n。
Ⅲ任取n (n∈N* )时,运用方程通项公式就可产生一个含参数k 和r 的一元n 次方程式。因此,一般方程式是随n而变化的无限集合。
Ⅳ对一般方程式,由于所含参数k=tanα2 ,r>0 ,所以,只要在坐标平面上任取一点,就可将一般式转换为具体给定方程,因此,每个一般方程式都对应着给定方程式的无限集合。
4.应用
例1:当 n=5,n=6时,求一般方程式及其配套求根公式。
解Ⅰ、当n=5时,由②得:首项T1=a0x5=x5 (即a0=1 );第二项:T2=a1x4=0 (即a1=0);从第三项至末项,(即i=2、3、4、5);就可求出五次方程的一般式。
i=2,s=i2=1 ,h=i-22=0,p=2t=0, (t∈N* ,t从0 到h),q=(i-2)-2t=0
T3=a2x3 =(-1)scinki∑ht=0(-1)tcpi-1kq(k2+1)i-1rixn-i=-10k2(k2+1)r2x3
i=3,s=i+12=2,h=i-32=0,p=2t+1=1,q=(i-3)-2t=0
T4=a3x2=(-1)scinki∑ht=0(-1)tcpi-1kq(k2+1)i-1=20k3(k2+1)2r3x2
i=4,s=2,h=1,p=2t= 0(当t=0时)2(当t=1时),q=(i-2)-2t= 2(当t=0时)0(当t=1时)
T5=a4x=C45k4∑ht=0(-1)tCp3kq(k2+1)3r4x=5k4(k2-3)(k2+1)3r4x
i=5,s=3,h=1,p=2t+1=1,(t=0)3,(t=1),q=(i-3)-2t=2(当t=0时)0(当t=1) T6=(-1)3C55k5∑h=1t=0(-1)tCp4kq(k2+1)4r5= -4k5(k2-1)(k2+1)4r5
得:x5-10k2(k2+1)r2x3+20k3(k2+1)2r3x2+5k4(k2-3)(k2+1)3r4x-4k5(k2-1)(k2+1)4r5 ⑥
由④得:配套求根公式:
xi+1=-2r[cos110(a0+360°i)+cos310(a0+360°i)]sin12(a0+360°i)
Ⅱ、当n=6时:T1=a0x6=x6 (即a0=1), T2=a1x5=0(即 a1=0),从第三项到末项,(即i=2,3,4,5,6),应用公式②,依照上述方法得:
x6-15k2(k2+1)r2x4+40k3(k2+1)2r3x3+15k4(k2-3)(k2+1)3r4x2-6k5(4k2-4)(k2+1)4r5x-k6(k4-10k2+5)(k2+1)4r5x-k6(k4-10k2+5)(k2+1)5r6=0 ⑦
由③得其配套求根公式:
xi+1=-r[2cos16(a0+360°i)+2cos26(a0+360°i)+1]sin12(a0+360°i)
例2:用k=-(2+1) ,r=10,组成一个(C2型)的五次给定方程式,并用计算器进行求根和验算。
解:Ⅰ、求给定方程式:将k 和r 代入一般方程式⑥得:
x5-250(2+2)x3-2500(2+1)x+12500(22+3)=0
Ⅱ、转换:由k=tana2 a2=arctan[-(2+1)]=-67.5°a0=-135°
Ⅲ、求根:将a0和r的值代入⑥式的配套求根公式得:(其中i=0,1,2,3,4)
xi+1=-20[cos110(-135°-360°i)+cos310(-135°-360°i)]sin12(-135°-360°i)⑧
x1=32.01752351,x2=3.754500743,x3=-2.863772819
x4=-8.766115811,x5=-24.14213562
Ⅳ、验根:用根与系数的关系对⑧式进行检验:
a1=0,x1+x2+x3+x4+x5=0
a2=-250(2+2)=-853.5533906,
a2=x1(x2+x3+x4+x5)+x2(x3+x4+x5) +x3(x4+x5)+x4x5=-853.5533906
a3=-2500(2+1)=-6035.533906
a'3= x4x5(x1+x2+x3)+(x4+x5)(x1x2+x1x3+x2x3)+x1x2x3=6035.533905
a5=12500(22+3)=72855.33905
a'5= x1 x2 x2 x4 x5=-72855.33905
a4=6250(2+1)=15088.83476
a4=a'5(1x1+1x2+1x3+1x4+1x5)=15088.83476
例3:求下列六次方程的根:
x6-60(3+2)x4+160(3+2)x3+240(33+5)x2-192(73+12)x-64(43+7)=0⑨
解:Ⅰ、判别:一元n次方程的一般式(n∈N* ),是由等分函数曲线所转换的特殊方程式,它们分别为A、B、C、D四大类,每类分别由第一和第二型的实数方程,和第三型的复数方程所组成。每种型号都有其固定的特征,如在12型中,唯有C1 和C2 型缺第二项(T2=a1xn-1=0,即a1=0)。然而,C1 和C2 型又区别于在一般方程式中,当取n 时,由C1型方程的通项公式产生(n+1) 次一般方程式,而 C2型通过其方程通项公式却只能产生n次一般式。因此,用方程式⑨与六次方程的一般式⑦进行比较,它们互相吻合,这说明⑨是一般式⑦的给定方程式。
Ⅱ、转换:将一般式⑦和给定方程⑨中表示相应项a2和a4组成方程组,并求出参数k 和r的值,再将k可r 代入相应的a3项进一步验证。
-15k2k2+1r2=60(3+2)
15k4(k2-3)(k2+1)3r4=240(33+5)
r2=4(3+2)(k2+1)k2r4=16(33+5)(k2+1)3k4(k2-3)
r4=16(7+43(k2+1)2k4r4=16(33+5)(k2+1)3k4(k2-3)
(7+43)(k-3)=(33+5)(k2+1)(3+2)k2=26+153k2=(26+153)(3+2)(3-2)k2=(2+3)2k=±(2+3)
∵k=tana2a2=arctank=±75°
将k2=7+43 代入r2得:
r2=4(3+2)(8+43)7+43=16(3+2)27+43=16(49-48)=16
∴ r=4
将k=tan(±75°) 和r=4 代入一般式的a3,并与给定式的a3对照。
∵ a3=160(3+2)=597.1281292
a'3=40k3r3(k2+1)2 =597.1281292-597.1281292
∴a2 =arctan(2+3)=75°
a=150°
Ⅲ、求根:将a=150°,r=4代入⑦的求根公式得:
xi+1=-4[2cos16(150°+360°i)+2cos26(150°+360°i)+1]sin36(150°+360°i)
x1=-15.83419331,x2=-3.072818773,x3=-0.176711099,
x4=1.827375745,x5=4.419794498,x6=12.83655294
Ⅳ、验根:
a1=0,a'1=x1+x2+x3+x4+x5+x6=0.000000004
a2=-60(3+2)=-223.9230485
a'2=-(x21+x22+x23)-(x1x2+x1x3+x2x3)+x4x4+x4x6+x5x6=-223.9230483
a6=-64(43+7)=891.4050067
a'6=x1x2x3x4x5x6=-891.4050032
a5=-192(73+12)=-4631.876285
a'5=a'6(1x1+1x2+1x3+1x4+1x5+1x6)=4631.876286
结论:此类方程虽属于由曲线集转换的特殊高次方程,然而,十二种类型,就有十二种不同形式的通项公式随数字而产生的代数方程,且都具有配套求根公式,当正整数 有序地取值时,方程式就从简单到复杂有规律地变换着。数字是无限的,形式多样的特殊高次方程及求根公式等也是无穷无尽的。
参考文献
[1] 米家鑫,米昌明.《方程与曲线论[23]——演变公理体系》,《科技促进发展》2007年9月第9期,总34,7-15.
[2] 米家鑫,米昌明.《方程与曲线论[22]——图形、曲线、方程的数字模型》,《教育改革与发展》,世界华文传播媒体协会教育类核心期刊,2005年6月,总第三期,7-11.
[3] 米家鑫.《方程与曲线论[16]——等分方程定理( 型)》,贵州师范大学(自然科学版)2000,18,(3),52-54.
[4] 米家鑫.《方程与曲线论[17]——等分方程定理( 型)》,[J].贵州师范大学学报(自然科学版)2002,02,(1),74-77.
[5] C·N,诺渥塞洛夫,三角学专门教程(上,下)、高等学校教程,北京:高等教育出版社,1954.
[6] B·N,斯米尔诺夫、聂灵沼等译,高等学校教程,北京高等教育出版社,1979.
【关键词】等分方程定理 方程通项公式 配套求根公式 一般方程式 给定方程式
EQUATION AND CURVES——A Theorem for Equation of Devision
Mi Changming
(No. 1 Middle School , Anlong , Guizhou 552400)
【Abstract】To any positiue integer n , as we apply the theorem for equation of devision , that can produce a algebraic equation of nth degree in one unknown and a relevant unalgebraic radical formula.
【Key words】Equation of devision Formula for reduction of equation to a common term Radical formula for equations Definitive equation
引言:[1]和[2]是整理本课题的基础理论部分,提出几何学中新的公理体系——演变形概念、演变公理。该理念与欧氏几何的五组公理系统,不仅具有和谐性,还具有独立性和完备性。在该体系中通过两个分式恒等式,可转换为数字几何分角模型和数字函数曲线模型,从而形成图形和曲线的无限集合。具有规律的轨迹函数曲线,可转换为随数字而变化的代数方程模型,从而又形成了方程及其配套求根(解)公式的无限集合。[3]和[4]是代表多项式等分方程定理,在实数域和复数域中,对不同类型的特殊一元n次方程,应用配套公式求根,并用根与系数的关系进行检验。本文进一步提出多项式等分方程定理(C2型),它是上述特殊高次方程的继续和发展。定理的复杂性导致其证明十分烦琐,需极大的篇幅,因此,计划在今后出版的专著中进行论证。
1.等分方程定理(C2型)
Ⅰ方程式:a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+aixn-i+…+an-1x+an=0①
方程中n(n∈N* ),其左边各项为:首项:T1=a0xn (即a0=1),第二项: T2=a1xn-1=0(即a1=0),从第三项至末项,运用方程通项公式,可求出含参数 和 的一般方程式。
Ⅱ代数方程的通项公式:(i=0 ,1,2,…,n-1,n )
Ti+1=aixn-i=(-1)SCinKi∑hi=0(-1)tCPi-1KQ(K2+1)i-1rixn-i②
当i为偶数时 s=i2
h=i-22
p=2t
q=(i-2)-2t
当i为奇数时s=i+12
h=i-32
p=2t+1
q=(i-3)-2t
,参数k=tanα02 ,α0为被分角;r为分圆半径。
Ⅲ配套求根公式:( t∈N*)(i=0,1,2,…,n-1 )
当n为偶数时:(h=n-22 )
xi+1=-r[2∑ht=1costn(α0+360°i)+1]sin12(α0+360°i)③
当n为奇数时:(h=n-12 )
xi+1=-2r[∑ht=1cos2t-12n(α0+360°i)]sin12(α0+360°i)④
2.因式
由于配套公式所求的根,能满足于用根与系数的关系对方程式的检验。因此,可将上式写成因式的形式,即:
(x-x1)(x-x2)…(x-xn-1)(x-xn)=0⑤
3.等分多项方程式的性质
Ⅰ方程左边有(n+1 )项,(其中缺第二项),右边等于0。
Ⅱ x按降幂排列,次数由n 逐项减1到0;常量r 则由0逐项加1到n。
Ⅲ任取n (n∈N* )时,运用方程通项公式就可产生一个含参数k 和r 的一元n 次方程式。因此,一般方程式是随n而变化的无限集合。
Ⅳ对一般方程式,由于所含参数k=tanα2 ,r>0 ,所以,只要在坐标平面上任取一点,就可将一般式转换为具体给定方程,因此,每个一般方程式都对应着给定方程式的无限集合。
4.应用
例1:当 n=5,n=6时,求一般方程式及其配套求根公式。
解Ⅰ、当n=5时,由②得:首项T1=a0x5=x5 (即a0=1 );第二项:T2=a1x4=0 (即a1=0);从第三项至末项,(即i=2、3、4、5);就可求出五次方程的一般式。
i=2,s=i2=1 ,h=i-22=0,p=2t=0, (t∈N* ,t从0 到h),q=(i-2)-2t=0
T3=a2x3 =(-1)scinki∑ht=0(-1)tcpi-1kq(k2+1)i-1rixn-i=-10k2(k2+1)r2x3
i=3,s=i+12=2,h=i-32=0,p=2t+1=1,q=(i-3)-2t=0
T4=a3x2=(-1)scinki∑ht=0(-1)tcpi-1kq(k2+1)i-1=20k3(k2+1)2r3x2
i=4,s=2,h=1,p=2t= 0(当t=0时)2(当t=1时),q=(i-2)-2t= 2(当t=0时)0(当t=1时)
T5=a4x=C45k4∑ht=0(-1)tCp3kq(k2+1)3r4x=5k4(k2-3)(k2+1)3r4x
i=5,s=3,h=1,p=2t+1=1,(t=0)3,(t=1),q=(i-3)-2t=2(当t=0时)0(当t=1) T6=(-1)3C55k5∑h=1t=0(-1)tCp4kq(k2+1)4r5= -4k5(k2-1)(k2+1)4r5
得:x5-10k2(k2+1)r2x3+20k3(k2+1)2r3x2+5k4(k2-3)(k2+1)3r4x-4k5(k2-1)(k2+1)4r5 ⑥
由④得:配套求根公式:
xi+1=-2r[cos110(a0+360°i)+cos310(a0+360°i)]sin12(a0+360°i)
Ⅱ、当n=6时:T1=a0x6=x6 (即a0=1), T2=a1x5=0(即 a1=0),从第三项到末项,(即i=2,3,4,5,6),应用公式②,依照上述方法得:
x6-15k2(k2+1)r2x4+40k3(k2+1)2r3x3+15k4(k2-3)(k2+1)3r4x2-6k5(4k2-4)(k2+1)4r5x-k6(k4-10k2+5)(k2+1)4r5x-k6(k4-10k2+5)(k2+1)5r6=0 ⑦
由③得其配套求根公式:
xi+1=-r[2cos16(a0+360°i)+2cos26(a0+360°i)+1]sin12(a0+360°i)
例2:用k=-(2+1) ,r=10,组成一个(C2型)的五次给定方程式,并用计算器进行求根和验算。
解:Ⅰ、求给定方程式:将k 和r 代入一般方程式⑥得:
x5-250(2+2)x3-2500(2+1)x+12500(22+3)=0
Ⅱ、转换:由k=tana2 a2=arctan[-(2+1)]=-67.5°a0=-135°
Ⅲ、求根:将a0和r的值代入⑥式的配套求根公式得:(其中i=0,1,2,3,4)
xi+1=-20[cos110(-135°-360°i)+cos310(-135°-360°i)]sin12(-135°-360°i)⑧
x1=32.01752351,x2=3.754500743,x3=-2.863772819
x4=-8.766115811,x5=-24.14213562
Ⅳ、验根:用根与系数的关系对⑧式进行检验:
a1=0,x1+x2+x3+x4+x5=0
a2=-250(2+2)=-853.5533906,
a2=x1(x2+x3+x4+x5)+x2(x3+x4+x5) +x3(x4+x5)+x4x5=-853.5533906
a3=-2500(2+1)=-6035.533906
a'3= x4x5(x1+x2+x3)+(x4+x5)(x1x2+x1x3+x2x3)+x1x2x3=6035.533905
a5=12500(22+3)=72855.33905
a'5= x1 x2 x2 x4 x5=-72855.33905
a4=6250(2+1)=15088.83476
a4=a'5(1x1+1x2+1x3+1x4+1x5)=15088.83476
例3:求下列六次方程的根:
x6-60(3+2)x4+160(3+2)x3+240(33+5)x2-192(73+12)x-64(43+7)=0⑨
解:Ⅰ、判别:一元n次方程的一般式(n∈N* ),是由等分函数曲线所转换的特殊方程式,它们分别为A、B、C、D四大类,每类分别由第一和第二型的实数方程,和第三型的复数方程所组成。每种型号都有其固定的特征,如在12型中,唯有C1 和C2 型缺第二项(T2=a1xn-1=0,即a1=0)。然而,C1 和C2 型又区别于在一般方程式中,当取n 时,由C1型方程的通项公式产生(n+1) 次一般方程式,而 C2型通过其方程通项公式却只能产生n次一般式。因此,用方程式⑨与六次方程的一般式⑦进行比较,它们互相吻合,这说明⑨是一般式⑦的给定方程式。
Ⅱ、转换:将一般式⑦和给定方程⑨中表示相应项a2和a4组成方程组,并求出参数k 和r的值,再将k可r 代入相应的a3项进一步验证。
-15k2k2+1r2=60(3+2)
15k4(k2-3)(k2+1)3r4=240(33+5)
r2=4(3+2)(k2+1)k2r4=16(33+5)(k2+1)3k4(k2-3)
r4=16(7+43(k2+1)2k4r4=16(33+5)(k2+1)3k4(k2-3)
(7+43)(k-3)=(33+5)(k2+1)(3+2)k2=26+153k2=(26+153)(3+2)(3-2)k2=(2+3)2k=±(2+3)
∵k=tana2a2=arctank=±75°
将k2=7+43 代入r2得:
r2=4(3+2)(8+43)7+43=16(3+2)27+43=16(49-48)=16
∴ r=4
将k=tan(±75°) 和r=4 代入一般式的a3,并与给定式的a3对照。
∵ a3=160(3+2)=597.1281292
a'3=40k3r3(k2+1)2 =597.1281292-597.1281292
∴a2 =arctan(2+3)=75°
a=150°
Ⅲ、求根:将a=150°,r=4代入⑦的求根公式得:
xi+1=-4[2cos16(150°+360°i)+2cos26(150°+360°i)+1]sin36(150°+360°i)
x1=-15.83419331,x2=-3.072818773,x3=-0.176711099,
x4=1.827375745,x5=4.419794498,x6=12.83655294
Ⅳ、验根:
a1=0,a'1=x1+x2+x3+x4+x5+x6=0.000000004
a2=-60(3+2)=-223.9230485
a'2=-(x21+x22+x23)-(x1x2+x1x3+x2x3)+x4x4+x4x6+x5x6=-223.9230483
a6=-64(43+7)=891.4050067
a'6=x1x2x3x4x5x6=-891.4050032
a5=-192(73+12)=-4631.876285
a'5=a'6(1x1+1x2+1x3+1x4+1x5+1x6)=4631.876286
结论:此类方程虽属于由曲线集转换的特殊高次方程,然而,十二种类型,就有十二种不同形式的通项公式随数字而产生的代数方程,且都具有配套求根公式,当正整数 有序地取值时,方程式就从简单到复杂有规律地变换着。数字是无限的,形式多样的特殊高次方程及求根公式等也是无穷无尽的。
参考文献
[1] 米家鑫,米昌明.《方程与曲线论[23]——演变公理体系》,《科技促进发展》2007年9月第9期,总34,7-15.
[2] 米家鑫,米昌明.《方程与曲线论[22]——图形、曲线、方程的数字模型》,《教育改革与发展》,世界华文传播媒体协会教育类核心期刊,2005年6月,总第三期,7-11.
[3] 米家鑫.《方程与曲线论[16]——等分方程定理( 型)》,贵州师范大学(自然科学版)2000,18,(3),52-54.
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[6] B·N,斯米尔诺夫、聂灵沼等译,高等学校教程,北京高等教育出版社,1979.