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摘 要：就数学课堂教学效果来看，信息技术教育环境下的数学探究学习尚没有发挥其真正作用。笔者认为根本的原因还在于教师对数学探究学习缺乏深入的认识，从根本上转变教师的教学理念，也才有可能使探究学习实施落到实处，从被动执行到自觉行为，从注重形式到关注实质。
关键词：信息技术；数学；探究性学习
中图分类号： G434 文献标识码：A 文章编号：1673-8454（2008）10-0035-03
为什么要进行探究学习？在数学教学中引导学生进行探究学习是否必要？是否是“走过场”或“做秀”？从与教学一线教师交流反馈的情况来看，大多数教师存在这样的疑惑。笔者认为如果不从根本上认识数学探究学习的意义，教师的教学理念不转变，那么数学探究学习的实施只能沦为“走过场”或“做秀”。为此有必要从数学知识观和数学观的视角探讨数学探究学习的本体论基础和认识论基础。因为，数学探究活动能否卓有成效地展开，关键还在于教师的正确指导和迁移默化的影响，这就要求教师首先应当具有探究学习所需的正确教学观。
数学概念学习的基本过程是：接触到新的数学对象，学生首先根据自己的观察抽取对象的主要特征，然后提取相关经验结构与新的数学对象类比，若吻合，则保留原有概念，但扩充了原有概念的范例，这本质上是概念同化的过程；若不吻合，则修改原有概念以使其适应新的信息，这是一个概念顺应的过程。新概念产生后必须经过应用阶段的检验才能被学生接受，若应用成功，新概念框架形成；若不成功，则还需要进一步的检验和修正。可见，这是一个主动建构、逐渐形成的过程。大多数的数学概念的学习是适于采用探究学习方式进行的。这一探究的过程大致涉及四个阶段，如图2所示。
2.数学原理的探究学习
数学原理的学习主要是在概念学习的基础上，对概念间的关系或一些并不明显的数学事实进行“再发现”与认同的过程。其基本过程如图3所示。
3.数学问题解决的探究学习
由于解题是数学学习的主要特征，数学问题解决的探究学习自然也就成为数学课堂探究学习的主要形式，即使一些概念、原理的学习也离不开数学的解题活动。实际上，解决数学问题的过程本质上就是一个探究过程，这可以反映在解决数学问题的几个主要阶段中，如图4所示。
表征问题，即要探寻问题所呈现的信息的实质以及相关联系，这是一个反复揣摩、逐步精致的求索过程；规划并实行，即是根据对问题的理解调动自己头脑中已有的“解题知识块”，并进行必要的重组或“再构造”，规划出解题路径并尝试执行，这是一个深入思考、不断摸索的过程；反思与拓展，则可以从图5中把握其探究过程的实质。
四、利用计算机进行数学探究性学习的案例设计——拿破仑定理的设计
1. 创设情景，提出问题
问题是数学的心脏，是数学活动的开端，它起源于情境，情境是其产生的沃土，没有情境就不可能提出问题。可见创设情境提出问题是课堂教学模式的起点，起着激发学生兴趣，引发思考的作用。利用PowerPoint在大屏幕上播放拿破仑的图片，介绍他的丰功伟绩：拿破仑不仅是个伟大的军事家、政治家，而且还是个痴迷的数学爱好者，并提出了“拿破仑问题”，使学生产生明确的探究目标。拿破仑问题是这样的：平面上任意△ABC以AB、BC、CA为边分别向外做三个等边三角形△ABC＇，△BCA＇，△CAB＇，D、E、F分别为它们的中心，那么△DEF是什么三角形?(问题不仅是激发学生求知欲望的前提,而且还是学生理解和吸收知识的前提)三分钟思考,然后小组讨论,如图6所示。
2. 活动尝试，提出猜想
学生们个个聚精会神，睁大眼睛盯着屏幕。通过肉眼观察，很多学生都认为是等边三角形，利用几何画板工具，对三边进行了测量，三边相等。有的学生怀疑是不是由于△ABC的某种特殊的位置关系造成的。于是任意拖动A、B、C三点，改变△ABC的形状，学生们屏住呼吸，仔细盯着DE、DF、EF的变化，发现随着A、B、C三点位置的变化，DE、DF、EF始终保持相等，即△DEF是一个等边三角形，学生情绪开始高涨。
拖动A、B、C的动态的变化过程是在传统的纸、笔、黑板、粉笔的教学环境下所无法实现的，计算机的几何画板软件，给我们提供了一个动态的平台（只要拖动一点，就能展示一个变化的图形世界，并且在运动变化中几何关系保持不变）和精确的测量工具，使得我们的探究活动得以顺利开展，而且传统的教学过程基本缺少这样学生主动去发现的过程，结论总是以教师讲授的方式传授给学生，学生处于被动的接受知识的状态。
教师对于学生的猜想给予鼓励，给出拿破仑定理。定理的内容是这样的：以平面上任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个等边三角形的中心构成一个正三角形。接着教师进一步启发学生：“定理的结论我们首先通过眼睛观察，然后借助几何画板的拖动工具、测量工具来验证，这代表我们的探究结束了吗？我们接下来要给出严格的证明。”
3.师生合作，完成证明
数学要猜想，但不能止于猜想，证明是科学发现中不可或缺的关键环节。在教师的启发引导下，同学们给出如下证明（见图7）。
假设⊙E和⊙F交于P点，连接线段AP，BP，CP，四边形APCB＇和四边形BPCA＇是共圆的。根据圆内四边形对角互补：又∵∠B＇=60°，∴∠APC=120°；同理∠BPC=120°，故∠APB=120°。∵∠A＇=60°，∴四边形APBC＇共圆。又∵ED⊥PB，AP⊥DF，∴∠D=360°- 120°- 90°- 90°=60°；同理∠E=∠F=60°，∴△DEF是等边三角形。
4.开展实验，深层探究
探索奥秘是人的天性，课堂教学最重要的是埋下一颗探索、创新的种子。教师请同学们再仔细观察图形，激励学生站在伟人的肩上走的更远一些。“大家动手做做看，互相讨论一下，譬如减弱定理中的某些条件，定理的结论还能否成立呢？”（只有使问题存在于整个教学过程中，才能从根本上保证教学过程的连续性和有效性，同时营造讨论的气氛，因为讨论是探究的“催化剂”。）
一个学生发现用鼠标拖动C点，让C点落在线段AB中间，用测量工具测得仍为等边三角形，结论仍然成立，并解释道：定理中是任意三角形，现在让A、B、C三点共线，且C点是AB中点，不够成三角形了，但结论仍然成立。另一学生补充道：C点不一定是AB中点也行，C点只要落在AB上，结论就是成立的。见图8，又一学生反驳道：我有不同意见，当C点与B点重合时，结论就不成立了，△DEF根本就不存在了（大部分学生表示怀疑，但又不知如何解释）他胸有成竹的解释道：当C点和B点重合时A＇是不存在的，所以△A＇BC不存在，那么它的中心E就不存在了，故△DEF是不存在的。
稍过片刻，马上有学生站起来说：不对，△DEF是存在的，在标准的拿破仑定理图上，拖动C点向B点靠近，△A＇BC越来越小，越来越趋于B点，故E点也趋于B点（学生丰富的联想，大胆的猜测，通过计算机加以演示和验证，计算机再次为学生提供了广阔的探究空间，在传统的教学中教师是很难讲清B点和E点是重合的。）当B点和E点重合时，△A＇BC就退化成B点了，所以E点与B点是重合的，连接DB、FB，△DFB即△DEF，它仍然是等边三角形。面对这几个同学有理有据、形象直观的“展示”，同学们报以热烈的掌声，此情此景更激发了学生探究发现的欲望和动机。有的学生还提到了△A＇BC和△ABC＇全等。
利用计算机几何画板的优势，教师启发学生根据图形的对称性将向外侧作图改为向内侧作图，学生们发现结论仍然成立。
计算机提供了一个十分理想的让学生积极发现问题、探索问题的“做数学”的环境，学生可以利用它来做数学实验，进而获取真正的数学经验，而不是抽象的数学结论。课上没有让学生完成上述证明，而是利用计算机，继续让学生探究该问题。有的学生提出：定理中是向外作等边三角形，那么向外做正方形、正五边形、正六边形，会有什么结论呢？似乎不像想象中的那么完美，得不到什么规律。又有学生提出，可不可以将内部的任意三角形换成任意四边形呢？问题的提出，吸引着学生积极地思考，在多维变换在开拓思维，使他们的思维活动在问题牵引下处于高度兴奋状态，在探究的海洋中遨游。
5.总结概括，形成结论
通过前面的实验探索，师生共同总结得出完善的拿破仑定理：平面上任意三点，分别以每两点为边同时向外（或向内）作等边三角形，等边三角形的中心仍构成等边三角形。在教师进一步指导再学生总结出如下推论：
（1）当内部为平行四边形时：外接正n边形的中心连线也构成平行四边形。
（2）当内部为矩形时：外接正n边形的中心连线构成菱形。
（3）当内部为菱形中心连线时：也构成平行四边形。
（4）当内部为正方形时：外接正n边形的中心连线也构成正方形。
学生们惊叹到：数学简直太奇妙了！建立在一系列“实验”的基础上，使得数学变得不再抽象和枯燥了，而且探索得来的知识最难忘、最深刻，比教师直接给出的更有效，学生体会到“发现”的真正乐趣。
关键词：信息技术；数学；探究性学习
中图分类号： G434 文献标识码：A 文章编号：1673-8454（2008）10-0035-03
为什么要进行探究学习？在数学教学中引导学生进行探究学习是否必要？是否是“走过场”或“做秀”？从与教学一线教师交流反馈的情况来看，大多数教师存在这样的疑惑。笔者认为如果不从根本上认识数学探究学习的意义，教师的教学理念不转变，那么数学探究学习的实施只能沦为“走过场”或“做秀”。为此有必要从数学知识观和数学观的视角探讨数学探究学习的本体论基础和认识论基础。因为，数学探究活动能否卓有成效地展开，关键还在于教师的正确指导和迁移默化的影响，这就要求教师首先应当具有探究学习所需的正确教学观。
数学概念学习的基本过程是：接触到新的数学对象，学生首先根据自己的观察抽取对象的主要特征，然后提取相关经验结构与新的数学对象类比，若吻合，则保留原有概念，但扩充了原有概念的范例，这本质上是概念同化的过程；若不吻合，则修改原有概念以使其适应新的信息，这是一个概念顺应的过程。新概念产生后必须经过应用阶段的检验才能被学生接受，若应用成功，新概念框架形成；若不成功，则还需要进一步的检验和修正。可见，这是一个主动建构、逐渐形成的过程。大多数的数学概念的学习是适于采用探究学习方式进行的。这一探究的过程大致涉及四个阶段，如图2所示。
2.数学原理的探究学习
数学原理的学习主要是在概念学习的基础上，对概念间的关系或一些并不明显的数学事实进行“再发现”与认同的过程。其基本过程如图3所示。
3.数学问题解决的探究学习
由于解题是数学学习的主要特征，数学问题解决的探究学习自然也就成为数学课堂探究学习的主要形式，即使一些概念、原理的学习也离不开数学的解题活动。实际上，解决数学问题的过程本质上就是一个探究过程，这可以反映在解决数学问题的几个主要阶段中，如图4所示。
表征问题，即要探寻问题所呈现的信息的实质以及相关联系，这是一个反复揣摩、逐步精致的求索过程；规划并实行，即是根据对问题的理解调动自己头脑中已有的“解题知识块”，并进行必要的重组或“再构造”，规划出解题路径并尝试执行，这是一个深入思考、不断摸索的过程；反思与拓展，则可以从图5中把握其探究过程的实质。
四、利用计算机进行数学探究性学习的案例设计——拿破仑定理的设计
1. 创设情景，提出问题
问题是数学的心脏，是数学活动的开端，它起源于情境，情境是其产生的沃土，没有情境就不可能提出问题。可见创设情境提出问题是课堂教学模式的起点，起着激发学生兴趣，引发思考的作用。利用PowerPoint在大屏幕上播放拿破仑的图片，介绍他的丰功伟绩：拿破仑不仅是个伟大的军事家、政治家，而且还是个痴迷的数学爱好者，并提出了“拿破仑问题”，使学生产生明确的探究目标。拿破仑问题是这样的：平面上任意△ABC以AB、BC、CA为边分别向外做三个等边三角形△ABC＇，△BCA＇，△CAB＇，D、E、F分别为它们的中心，那么△DEF是什么三角形?(问题不仅是激发学生求知欲望的前提,而且还是学生理解和吸收知识的前提)三分钟思考,然后小组讨论,如图6所示。
2. 活动尝试，提出猜想
学生们个个聚精会神，睁大眼睛盯着屏幕。通过肉眼观察，很多学生都认为是等边三角形，利用几何画板工具，对三边进行了测量，三边相等。有的学生怀疑是不是由于△ABC的某种特殊的位置关系造成的。于是任意拖动A、B、C三点，改变△ABC的形状，学生们屏住呼吸，仔细盯着DE、DF、EF的变化，发现随着A、B、C三点位置的变化，DE、DF、EF始终保持相等，即△DEF是一个等边三角形，学生情绪开始高涨。
拖动A、B、C的动态的变化过程是在传统的纸、笔、黑板、粉笔的教学环境下所无法实现的，计算机的几何画板软件，给我们提供了一个动态的平台（只要拖动一点，就能展示一个变化的图形世界，并且在运动变化中几何关系保持不变）和精确的测量工具，使得我们的探究活动得以顺利开展，而且传统的教学过程基本缺少这样学生主动去发现的过程，结论总是以教师讲授的方式传授给学生，学生处于被动的接受知识的状态。
教师对于学生的猜想给予鼓励，给出拿破仑定理。定理的内容是这样的：以平面上任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个等边三角形的中心构成一个正三角形。接着教师进一步启发学生：“定理的结论我们首先通过眼睛观察，然后借助几何画板的拖动工具、测量工具来验证，这代表我们的探究结束了吗？我们接下来要给出严格的证明。”
3.师生合作，完成证明
数学要猜想，但不能止于猜想，证明是科学发现中不可或缺的关键环节。在教师的启发引导下，同学们给出如下证明（见图7）。
假设⊙E和⊙F交于P点，连接线段AP，BP，CP，四边形APCB＇和四边形BPCA＇是共圆的。根据圆内四边形对角互补：又∵∠B＇=60°，∴∠APC=120°；同理∠BPC=120°，故∠APB=120°。∵∠A＇=60°，∴四边形APBC＇共圆。又∵ED⊥PB，AP⊥DF，∴∠D=360°- 120°- 90°- 90°=60°；同理∠E=∠F=60°，∴△DEF是等边三角形。
4.开展实验，深层探究
探索奥秘是人的天性，课堂教学最重要的是埋下一颗探索、创新的种子。教师请同学们再仔细观察图形，激励学生站在伟人的肩上走的更远一些。“大家动手做做看，互相讨论一下，譬如减弱定理中的某些条件，定理的结论还能否成立呢？”（只有使问题存在于整个教学过程中，才能从根本上保证教学过程的连续性和有效性，同时营造讨论的气氛，因为讨论是探究的“催化剂”。）
一个学生发现用鼠标拖动C点，让C点落在线段AB中间，用测量工具测得仍为等边三角形，结论仍然成立，并解释道：定理中是任意三角形，现在让A、B、C三点共线，且C点是AB中点，不够成三角形了，但结论仍然成立。另一学生补充道：C点不一定是AB中点也行，C点只要落在AB上，结论就是成立的。见图8，又一学生反驳道：我有不同意见，当C点与B点重合时，结论就不成立了，△DEF根本就不存在了（大部分学生表示怀疑，但又不知如何解释）他胸有成竹的解释道：当C点和B点重合时A＇是不存在的，所以△A＇BC不存在，那么它的中心E就不存在了，故△DEF是不存在的。
稍过片刻，马上有学生站起来说：不对，△DEF是存在的，在标准的拿破仑定理图上，拖动C点向B点靠近，△A＇BC越来越小，越来越趋于B点，故E点也趋于B点（学生丰富的联想，大胆的猜测，通过计算机加以演示和验证，计算机再次为学生提供了广阔的探究空间，在传统的教学中教师是很难讲清B点和E点是重合的。）当B点和E点重合时，△A＇BC就退化成B点了，所以E点与B点是重合的，连接DB、FB，△DFB即△DEF，它仍然是等边三角形。面对这几个同学有理有据、形象直观的“展示”，同学们报以热烈的掌声，此情此景更激发了学生探究发现的欲望和动机。有的学生还提到了△A＇BC和△ABC＇全等。
利用计算机几何画板的优势，教师启发学生根据图形的对称性将向外侧作图改为向内侧作图，学生们发现结论仍然成立。
计算机提供了一个十分理想的让学生积极发现问题、探索问题的“做数学”的环境，学生可以利用它来做数学实验，进而获取真正的数学经验，而不是抽象的数学结论。课上没有让学生完成上述证明，而是利用计算机，继续让学生探究该问题。有的学生提出：定理中是向外作等边三角形，那么向外做正方形、正五边形、正六边形，会有什么结论呢？似乎不像想象中的那么完美，得不到什么规律。又有学生提出，可不可以将内部的任意三角形换成任意四边形呢？问题的提出，吸引着学生积极地思考，在多维变换在开拓思维，使他们的思维活动在问题牵引下处于高度兴奋状态，在探究的海洋中遨游。
5.总结概括，形成结论
通过前面的实验探索，师生共同总结得出完善的拿破仑定理：平面上任意三点，分别以每两点为边同时向外（或向内）作等边三角形，等边三角形的中心仍构成等边三角形。在教师进一步指导再学生总结出如下推论：
（1）当内部为平行四边形时：外接正n边形的中心连线也构成平行四边形。
（2）当内部为矩形时：外接正n边形的中心连线构成菱形。
（3）当内部为菱形中心连线时：也构成平行四边形。
（4）当内部为正方形时：外接正n边形的中心连线也构成正方形。
学生们惊叹到：数学简直太奇妙了！建立在一系列“实验”的基础上，使得数学变得不再抽象和枯燥了，而且探索得来的知识最难忘、最深刻，比教师直接给出的更有效，学生体会到“发现”的真正乐趣。