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摘 要:在初学数学分析时,共有二十八种极限概念,这些极限概念是数学分析的基础,学生对各种极限概念的理解程度直接影响到对这门课程学习的成败。教师在教学过程中要引导学生将各种极限概念的定性描述准确地转化为定量描述,并能深刻理解,逐渐灵活运用。
关键词:数学分析 极限概念 教学
中图分类号:G6 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)04(c)-0147-02
《数学分析》课程是大学数学系一门重要的基础课,对这门课程学习的好坏,直接影响到学生思维能力的形成及对后续课程的接受能力。学生从高中刚入大学,学习内容从原来的具体到抽象、从离散到连续、从有限到无限,使学生感到《数学分析》很难,特别是刚开始接触各种极限概念的定量描述,理解起来很吃力.而数学分析这门课程就其自身而言,有着理论上的严密性和前后的连贯性,极限概念是数学分析的基石,学生对各种极限概念的理解程度直接影响到对这门课程学习的成败。本人在教学过程中,深刻体会到关于极限概念教学的重要性。
在初学数学分析时,就有二十八种极限概念(包括正常极限和非正常极限),教师在教学过程中的任务是引导学生将这二十八种极限概念从定性描述准确地转化为定量描述。并使学生对各种极限概念的定量描述能深刻理解,逐渐灵活运用。
1 正常极限概念
1.1 数列极限概念
数列极限的概念是最开始要学习的极限概念,如果学生对这个概念能准确理解的话,对于理解接下来要学习的函数极限概念就容易多了,所以对数列极限概念的教学至关重要。
首先观察数列::
特征:当无限增大时,无限接近于
此时称该数列收敛于0,或称0为该数列的极限。
“无限增大”和“无限接近”是对数列变化性态的一种形象描述,是定性的说明,而不是定量的描述,这在数学上无法进行严谨地论证。所以我们要定量地描述该数列的特征。
例如:(1)对于要使只需即数列从第项开始,以后所有项都满足这一要求。亦即对于存在正整数当时,有
(2)对于要使只需即对于存在正整数当时,有
(3)对于要使只需即对于存在正整数当时,有
一个比一个小,最小,但毕竟是确定的数。要描述“无限接近于即任意小,并保持任意小。”必须对任何无论怎么小的正数从某项开始都能做到
该数列特征的定量描述:对于任意给定总存在正整数当时,有
强调1:“对于任意给定”说明“无限接近于”,正是因为正数具有任意性,不等式才表明接近于0的无限性。
强调2:“总存在正整数当时,”说明总存在第项,在项以后的所有项都有
通过该例子,使学生理解数列极限的定量描述,然后给出数列极限的定义。
定义:设是数列,为定数。若对于任意给定的总存在正整数使得当时,有则称数列收敛于,定数称为该数列的极限,记为或[1～2]。
强调:(1)的二重性;(2)的相应性;(3)的凝聚性。
从几何意义上看,
“当时,有”意味着:所有下标大于的项都落在内,而在之外,数列中的项至多只有项.若在之外,数列中的项只有有限个,设这有限项的最大下标为,则当时,从而数列极限的另一种描述:
定义1.1:设是数列,为定数。若对于任意给定的数列中至多有有限项落在外,则称数列收敛于,定数称为数列的极限[1]。
1.2 函数极限概念
(1)趋于时的函数极限。
定性描述:当无限增大时,函数的函数值无限接近定数。
定量描述:对于任意给定的总存在正数使得当时,有
定义:设在上有定义,为定数。若对于任意给定的总存在正数使得当时,有则称函数当趋于时以为极限,记作或[1]。
(2)趋于时的函数极限。
定性描述:当无限减小时,函数的函数值无限接近定数
定量描述:对于任意给定的总存在正数使得当时,有
定义:设在上有定义,为定数。若对于任意给定的总存在正数使得当时,有则称函数当趋于时以为极限,记作 或[1]。
(3)趋于时的函数极限。
定性描述:当无限增大时,函数的函数值无限接近定数。
定量描述:对于任意给定的总存在正数使得当时,有
定义:设在上有定义,为定数.若对于任意给定的总存在正数使得当时,有则称函数当趋于时以为极限,记作 或[1]。
三者的关系:
(4)趋于时的函数极限。
定性描述:当无限接近时,函数的函数值无限接近定数。
定量描述:对于任意给定的总存在正数使得当时,有
定义:设在内有定义,为定数。若对于任意给定的总存在正数使得当时,有则称函数当趋于时以为极限,记作或[1]。
(5)趋于时的函数极限
定性描述:当大(小)于,且无限接近时,函数的函数值无限接近定数。
定量描述:对于任意给定的总存在正数使得当()时,有
定义:设在()内有定义,为定数。若对于任意给定的总存在正数使得当()时,有则称函数当趋于时以为极限,记作或(或)[1]。
三者的关系:
2 非正常极限概念
非正常极限共有21种,教师在课堂上应重点讲授至少三种,然后引导学生举一反三,将其它种类的非正常极限准确地定量描述出来。
2.1 趋于时的函数极限为
定性描述:当无限接近时,无限增大。
定量描述:对于任意给定的总存在正数使得当时,有
定义2.1:设在内有定义。若对于任意给定的总存在正数使得当时,有则称函数当时有非正常极限记为或[2]。
2.2 趋于时的函数极限为
定性描述:当无限接近时,无限增大(减小)。
定量描述:对于任意给定的总存在正数使得当时,有
定义2.2:设在内有定义。若对于任意给定的总存在正数使得当时,有则称函数当时有非正常极限记为()或()[2]。
说明:若或必有但当时,不一定有,也不一定有,教师应举反例加强学生理解。
非正常极限还有18种,例如:
趋于时数列的极限为。
定义2.3:设是数列,若对于任意给定的总存在正整数使得当时,有则称数列有非正常极限记为或[2]。
在教学过程中,要引导学生对各个极限定义的否定准确叙述,并练习应用。
若这最初学习的二十八种极限概念学生能准确理解的话,就为数学分析这门课程的进一步学习打下了坚实的基础。
参考文献
[1] 华东师范大学数学系.数学分析(第3版)上册[M].高等教育出版社,2004.
[2] 陈纪修,於崇华,金路.数学分析(第2版)上册[M].高等教育出版社,2004.
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
关键词:数学分析 极限概念 教学
中图分类号:G6 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)04(c)-0147-02
《数学分析》课程是大学数学系一门重要的基础课,对这门课程学习的好坏,直接影响到学生思维能力的形成及对后续课程的接受能力。学生从高中刚入大学,学习内容从原来的具体到抽象、从离散到连续、从有限到无限,使学生感到《数学分析》很难,特别是刚开始接触各种极限概念的定量描述,理解起来很吃力.而数学分析这门课程就其自身而言,有着理论上的严密性和前后的连贯性,极限概念是数学分析的基石,学生对各种极限概念的理解程度直接影响到对这门课程学习的成败。本人在教学过程中,深刻体会到关于极限概念教学的重要性。
在初学数学分析时,就有二十八种极限概念(包括正常极限和非正常极限),教师在教学过程中的任务是引导学生将这二十八种极限概念从定性描述准确地转化为定量描述。并使学生对各种极限概念的定量描述能深刻理解,逐渐灵活运用。
1 正常极限概念
1.1 数列极限概念
数列极限的概念是最开始要学习的极限概念,如果学生对这个概念能准确理解的话,对于理解接下来要学习的函数极限概念就容易多了,所以对数列极限概念的教学至关重要。
首先观察数列::
特征:当无限增大时,无限接近于
此时称该数列收敛于0,或称0为该数列的极限。
“无限增大”和“无限接近”是对数列变化性态的一种形象描述,是定性的说明,而不是定量的描述,这在数学上无法进行严谨地论证。所以我们要定量地描述该数列的特征。
例如:(1)对于要使只需即数列从第项开始,以后所有项都满足这一要求。亦即对于存在正整数当时,有
(2)对于要使只需即对于存在正整数当时,有
(3)对于要使只需即对于存在正整数当时,有
一个比一个小,最小,但毕竟是确定的数。要描述“无限接近于即任意小,并保持任意小。”必须对任何无论怎么小的正数从某项开始都能做到
该数列特征的定量描述:对于任意给定总存在正整数当时,有
强调1:“对于任意给定”说明“无限接近于”,正是因为正数具有任意性,不等式才表明接近于0的无限性。
强调2:“总存在正整数当时,”说明总存在第项,在项以后的所有项都有
通过该例子,使学生理解数列极限的定量描述,然后给出数列极限的定义。
定义:设是数列,为定数。若对于任意给定的总存在正整数使得当时,有则称数列收敛于,定数称为该数列的极限,记为或[1～2]。
强调:(1)的二重性;(2)的相应性;(3)的凝聚性。
从几何意义上看,
“当时,有”意味着:所有下标大于的项都落在内,而在之外,数列中的项至多只有项.若在之外,数列中的项只有有限个,设这有限项的最大下标为,则当时,从而数列极限的另一种描述:
定义1.1:设是数列,为定数。若对于任意给定的数列中至多有有限项落在外,则称数列收敛于,定数称为数列的极限[1]。
1.2 函数极限概念
(1)趋于时的函数极限。
定性描述:当无限增大时,函数的函数值无限接近定数。
定量描述:对于任意给定的总存在正数使得当时,有
定义:设在上有定义,为定数。若对于任意给定的总存在正数使得当时,有则称函数当趋于时以为极限,记作或[1]。
(2)趋于时的函数极限。
定性描述:当无限减小时,函数的函数值无限接近定数
定量描述:对于任意给定的总存在正数使得当时,有
定义:设在上有定义,为定数。若对于任意给定的总存在正数使得当时,有则称函数当趋于时以为极限,记作 或[1]。
(3)趋于时的函数极限。
定性描述:当无限增大时,函数的函数值无限接近定数。
定量描述:对于任意给定的总存在正数使得当时,有
定义:设在上有定义,为定数.若对于任意给定的总存在正数使得当时,有则称函数当趋于时以为极限,记作 或[1]。
三者的关系:
(4)趋于时的函数极限。
定性描述:当无限接近时,函数的函数值无限接近定数。
定量描述:对于任意给定的总存在正数使得当时,有
定义:设在内有定义,为定数。若对于任意给定的总存在正数使得当时,有则称函数当趋于时以为极限,记作或[1]。
(5)趋于时的函数极限
定性描述:当大(小)于,且无限接近时,函数的函数值无限接近定数。
定量描述:对于任意给定的总存在正数使得当()时,有
定义:设在()内有定义,为定数。若对于任意给定的总存在正数使得当()时,有则称函数当趋于时以为极限,记作或(或)[1]。
三者的关系:
2 非正常极限概念
非正常极限共有21种,教师在课堂上应重点讲授至少三种,然后引导学生举一反三,将其它种类的非正常极限准确地定量描述出来。
2.1 趋于时的函数极限为
定性描述:当无限接近时,无限增大。
定量描述:对于任意给定的总存在正数使得当时,有
定义2.1:设在内有定义。若对于任意给定的总存在正数使得当时,有则称函数当时有非正常极限记为或[2]。
2.2 趋于时的函数极限为
定性描述:当无限接近时,无限增大(减小)。
定量描述:对于任意给定的总存在正数使得当时,有
定义2.2:设在内有定义。若对于任意给定的总存在正数使得当时,有则称函数当时有非正常极限记为()或()[2]。
说明:若或必有但当时,不一定有,也不一定有,教师应举反例加强学生理解。
非正常极限还有18种,例如:
趋于时数列的极限为。
定义2.3:设是数列,若对于任意给定的总存在正整数使得当时,有则称数列有非正常极限记为或[2]。
在教学过程中,要引导学生对各个极限定义的否定准确叙述,并练习应用。
若这最初学习的二十八种极限概念学生能准确理解的话,就为数学分析这门课程的进一步学习打下了坚实的基础。
参考文献
[1] 华东师范大学数学系.数学分析(第3版)上册[M].高等教育出版社,2004.
[2] 陈纪修,於崇华,金路.数学分析(第2版)上册[M].高等教育出版社,2004.
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”