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初中数学有关最值问题，中考题中最为常见，这类问题的题型广泛，因而，解决问题的方法也要因题而异.下面结合近年来全国各地的中考试题，列举一些题型和解题方法，以供师生参考.
一、利用对称性求最值
根据两点之间线段最短可以求出两条线段之和的最小值.若两条线段在某条直线的同侧时，可以利用轴对称的性质将在某条直线同侧的两条线段转化成在该直线异侧的两条线段，进而求出最值.
例1 如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE PB的最小值为.
解析 连接DE，交AC于点P，连接BD.
∵点B与点D关于AC对称，∴DE的长即为PE PB的最小值.
∵AB=4，E是BC的中点，∴CE=2.
在Rt△CDE中，DE=CD2 CE2=42 22=25.
二、利用一次函数求最值
对于一次函数y=kx b，k值的正负影响函数的增减性，k<0时，图像从左向右下降，函数的值y随x的增大而减小，k>0，图像从左向右上升，y随x的增大而增大.在求最值問题时，要注意x的取值范围.
例2 某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑，经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3 000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80 000元.
（1）求购买1块电子白板和1台笔记本电脑各需多少元？
（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过2 700 000元，并且购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有哪几种购买方案？
（3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？
解析 （1）设购买1块电子白板需要x元，1台笔记本电脑需要y元，由题意得等量关系：①买1块电子白板的费用=买3台笔记本电脑的费用 3 000元，②购买4块电子白板的费用 5台笔记本电脑的费用=80 000元.由等量关系可得方程组，解方程组可得答案.
（2）设购买电子白板a块，则购买笔记本电脑（396-a）台，由题意得不等关系：①购买笔记本电脑的台数≤购买电子白板数量的3倍；②电子白板和笔记本电脑总费用≤2 700 000元，根据不等关系可得不等式组，解不等式组，求出整数解即可.
（3）由于电子白板贵，故少买电子白板，多买电脑，根据（2）中的方案确定买的电脑数与电子白板数，再算出总费用.
三、利用二次函数求最值
1.建立二次函数关系式后，利用配方法确定二次函数的顶点坐标，即可求出函数的最大值.
例3 如图，在一个矩形空地ABCD上修建一个矩形花坛AMPQ，要求点M在AB上，点Q在AD上，点P在对角线BD上.若AB=6 m，AD=4 m，设AM的长为x m，矩形AMPQ的面积为S平方米.
（1）求S与x的函数关系式；
（2）当x为何值时，S有最大值？请求出最大值.
解析 （1）由△PQD∽△BAD得DQDA=PQBA，把AQ用x表示，即可求出S与x的函数关系式.
（2）把函数关系式化为顶点式，根据二次函数的最值原理即可求出答案.
例4 （1）已知一元二次方程x2 px q=0（p2-4q≥0）的两根为x1，x2.求证：x1 x2=-p，x1·x2=q.
（2）已知抛物线y=x2 px q与x轴交于A，B两点，且过点（-1，-1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值.
解析 （1）∵a=1，b=p，c=q，p2-4q≥0，
∴x1 x2=-ba=-p，x1·x2=ca=q.
（2）把（-1，-1）代入y=x2 px q，得p-q=2，即q=p-2.
设抛物线y=x2 px q与x轴交于A，B的坐标分别为（x1，0），（x2，0）.
∵d=|x1-x2|，
∴d2=（x1-x2）2=（x1 x2）2-4x1·x2=p2-4q=p2-4p 8=（p-2）2 4.
∴当p=2时，d2的最小值是4.
2.利用二次函数的增减性和自变量的实际意义求最值：实际问题中二次函数的最值受自变量取值范围的限制，当顶点的横坐标在这个范围内时，可直接利用顶点坐标来求；当顶点的横坐标不在这个范围内时，要根据函数的增减性，求自变量取值范围两端点所对应的函数值为该函数的最值；求最值时，还要根据自变量的实际意义，如，商品数量只能为整数、人数为整数等，通过计算比较才能确定最值.
例5 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件.试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元，请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由.
解答 （1）由题意得，销售量=250-10（x-25）=-10x 500，则w=（x-20）（-10x 500）=-10x2 700x-10 000；
（2）w=-10x2 700x-10 000=-10（x-35）2 2 250.
∵-10<0，∴函数图像开口向下，w有最大值，
∴当x=35时，wmax=2 250，故当单价为35元时，该文具每天的利润最大.
（3）方案A利润高.理由如下：
方案A中，20 因为a=-10<0，对称轴为x=35，抛物线开口向下，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，故当x=30时，w有最大值，此时wA=2 000；
方案B中，x-20≥25，又-10x 500≥10，
故x的取值范围为：45≤x≤49，
∵函数w=-10（x-35）2 2 250，对称轴为x=35，
∴当x=45时，w有最大值，此时wB=1 250，
∵wA>wB，∴方案A利润更高.
关于最值问题，不胜枚举，本文仅以几道习题进行分析、解答和归类，希望有助于备考的师生！
一、利用对称性求最值
根据两点之间线段最短可以求出两条线段之和的最小值.若两条线段在某条直线的同侧时，可以利用轴对称的性质将在某条直线同侧的两条线段转化成在该直线异侧的两条线段，进而求出最值.
例1 如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE PB的最小值为.
解析 连接DE，交AC于点P，连接BD.
∵点B与点D关于AC对称，∴DE的长即为PE PB的最小值.
∵AB=4，E是BC的中点，∴CE=2.
在Rt△CDE中，DE=CD2 CE2=42 22=25.
二、利用一次函数求最值
对于一次函数y=kx b，k值的正负影响函数的增减性，k<0时，图像从左向右下降，函数的值y随x的增大而减小，k>0，图像从左向右上升，y随x的增大而增大.在求最值問题时，要注意x的取值范围.
例2 某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑，经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3 000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80 000元.
（1）求购买1块电子白板和1台笔记本电脑各需多少元？
（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过2 700 000元，并且购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有哪几种购买方案？
（3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？
解析 （1）设购买1块电子白板需要x元，1台笔记本电脑需要y元，由题意得等量关系：①买1块电子白板的费用=买3台笔记本电脑的费用 3 000元，②购买4块电子白板的费用 5台笔记本电脑的费用=80 000元.由等量关系可得方程组，解方程组可得答案.
（2）设购买电子白板a块，则购买笔记本电脑（396-a）台，由题意得不等关系：①购买笔记本电脑的台数≤购买电子白板数量的3倍；②电子白板和笔记本电脑总费用≤2 700 000元，根据不等关系可得不等式组，解不等式组，求出整数解即可.
（3）由于电子白板贵，故少买电子白板，多买电脑，根据（2）中的方案确定买的电脑数与电子白板数，再算出总费用.
三、利用二次函数求最值
1.建立二次函数关系式后，利用配方法确定二次函数的顶点坐标，即可求出函数的最大值.
例3 如图，在一个矩形空地ABCD上修建一个矩形花坛AMPQ，要求点M在AB上，点Q在AD上，点P在对角线BD上.若AB=6 m，AD=4 m，设AM的长为x m，矩形AMPQ的面积为S平方米.
（1）求S与x的函数关系式；
（2）当x为何值时，S有最大值？请求出最大值.
解析 （1）由△PQD∽△BAD得DQDA=PQBA，把AQ用x表示，即可求出S与x的函数关系式.
（2）把函数关系式化为顶点式，根据二次函数的最值原理即可求出答案.
例4 （1）已知一元二次方程x2 px q=0（p2-4q≥0）的两根为x1，x2.求证：x1 x2=-p，x1·x2=q.
（2）已知抛物线y=x2 px q与x轴交于A，B两点，且过点（-1，-1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值.
解析 （1）∵a=1，b=p，c=q，p2-4q≥0，
∴x1 x2=-ba=-p，x1·x2=ca=q.
（2）把（-1，-1）代入y=x2 px q，得p-q=2，即q=p-2.
设抛物线y=x2 px q与x轴交于A，B的坐标分别为（x1，0），（x2，0）.
∵d=|x1-x2|，
∴d2=（x1-x2）2=（x1 x2）2-4x1·x2=p2-4q=p2-4p 8=（p-2）2 4.
∴当p=2时，d2的最小值是4.
2.利用二次函数的增减性和自变量的实际意义求最值：实际问题中二次函数的最值受自变量取值范围的限制，当顶点的横坐标在这个范围内时，可直接利用顶点坐标来求；当顶点的横坐标不在这个范围内时，要根据函数的增减性，求自变量取值范围两端点所对应的函数值为该函数的最值；求最值时，还要根据自变量的实际意义，如，商品数量只能为整数、人数为整数等，通过计算比较才能确定最值.
例5 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件.试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元，请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由.
解答 （1）由题意得，销售量=250-10（x-25）=-10x 500，则w=（x-20）（-10x 500）=-10x2 700x-10 000；
（2）w=-10x2 700x-10 000=-10（x-35）2 2 250.
∵-10<0，∴函数图像开口向下，w有最大值，
∴当x=35时，wmax=2 250，故当单价为35元时，该文具每天的利润最大.
（3）方案A利润高.理由如下：
方案A中，20
方案B中，x-20≥25，又-10x 500≥10，
故x的取值范围为：45≤x≤49，
∵函数w=-10（x-35）2 2 250，对称轴为x=35，
∴当x=45时，w有最大值，此时wB=1 250，
∵wA>wB，∴方案A利润更高.
关于最值问题，不胜枚举，本文仅以几道习题进行分析、解答和归类，希望有助于备考的师生！