论文部分内容阅读
从特殊到一般是人类认识客观事物的一种规律．对于一个一般性的问题，先研究它的某些特殊情形，从而获得解决问题的途径，使问题得以“突破”，这种解决问题的策略称为特殊化策略，共性孕育在个性之中．人们总是首先认识了许多不同事物的特殊本质，然后才有可能更进一步地进行概括工作，认识各种事物的共同本质．特殊化策略，正是特殊与一般的辩证关系在解题中的灵活运用，它生动地体现了认识过程中以退为进的思想方法．
“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用．”（希尔伯特语）．对个别特殊情况 的讨论，常能凸现问题的关键，揭示问题的本质．
将一般问题特殊化，通常并不难，只须将被研究的对象添加某些限制或适当加强某些条件即可．特殊化策略在数学解题中发挥着重要的作用．
1发现数学规律
由于矛盾的普遍性存在于矛盾的特殊性之中，因此，我们可以利用特殊化策略去猜想、发现真理，归纳出一般性的结论．它为我们解决一般性问题奠定了基础，指明了方向．
纵观数学的发展史，许多数学问题的发现都来源于特殊化策略，著名的哥德巴赫猜想，就是在对特殊事例的观察、分析基础上猜想发现的；费马大定理，也是从特殊入手提出，然后设法证明的；还有四色定理……．可以说没有特殊化的归纳猜想，就没有数学的发现，也就没有科学发展的今天．
例1求s=13+23+33+…+n3的值．
分析：看到这道题时，一时无从下手．可让n取一些特殊值，从实验、观察入手．
当n分别取1，2，3，4，5时，可得：
13=1=12，
13+23=9=32，
13+23+33=36=62，
13+23+33+43=100=102，
13+23+33+43+53=225=152，
……
在实验的基础上进行观察，并找到右边平方数的底数与左边立方和的底数之间的关系．
因为 1=1， 3=1+2， 6=1+2+3， 10=1+2+3+4， 15=1+2+3+4+5，……
所以 an=1+2+…+n=1/2n(n+1) (n∈N+)．从而不难发现：13+23+33+…+n3=1/4n2(n+1)2．
在上述实验过程中，由n的一些特殊值，通过实验、观察，发现内在规律，从而发现原题的结果，这一结果可用数学归纳法进行严格的证明，使发现的结果得到最后确认．
数学问题经过特殊化处理后，常常能帮助我们获得该问题某一侧面的信息，这样经过几次特殊化后，就能得到较多的信息，从而有助于找到解决问题的方法．
2直接探求结论
有些与定值、定点、定直线有关的问题，可以用特殊化策略将问题引向极端，舍弃题中不确定的因素，直接探求这个定值、定点、定直线，从而使解题有明确的方向．
对于定值问题运用特殊化策略可以先求出定值，然后再用此定值检验结果是否正确．
本题特殊情形的验证也是证明的一部分，因为非特殊情形的证明方法不适用于k=0或k不存在的特殊情形．
3启示解题思路
问题的特殊化往往表现为问题的简单化．人们对这些简单情形的考察有助于启示解决原问题的思路．
对于元素较多，呈现的情况比较复杂的问题，我们可以先从元素较少的简单情况进行研究，然后以此为起点去解答较多元素的原题，它常能起到“退一步，进两步”的作用．
特殊情况通常比一般情况要直观、简单、原始，易找到解决的方法和途径，而一般问题的解法思路往往与特殊情形的解法思路非常相似，甚或完全一致．所以特殊情形的解决会给一般性解决指引方向、提供思路，换句话说，不太困难的、特殊的辅助问题常常作为解决更困难的具有一般性原问题的铺路石．
所以 tanα1＜sinα1+sinα2+…+sinαn/cosα1+cosα2+…+cosαn＜tanαn．
通过对特殊情况的讨论，可使问题变得更加明朗．但是，在通常情况下，对特殊情况的讨论不能代替一般情况的研究，要得到一般性结论，还须就一般情况加以证明．
4检验数学命题
数学中并非每个命题都为真．有的命题，虽从多方面进行了严密的推理，但仍不能得到结论．因此，很自然地，人们对这个命题的真伪产生怀疑，从而设法否定这个命题．怎样推翻一个命题呢？只要举出一个符合命题的条件而不符合该命题的结论的特例——反例，就可以了．
在数学史上，有不少著名命题被否定，都是反例的功劳．
反例是十分简明的否定，也是极有说服力的肯定．反例的作用不仅用以否定命题，而且也是发现数学真理的一种重要手段．它在数学学习与研究中起着不可估量的作用．美国当代数学家盖尔鲍姆说得好：“数学由两大类——证明和反例组成，而数学发现也是朝着两个主要目标——提出证明和构造反例．”举反例有利于培养学生的发散思维能力，克服思维的片面性，做到深入探索、有所发现，养成严谨、踏实、一丝不苟的学风．
对于某些结论否定型问题，从正面证明它不成立一般不容易，而举一个反例往往能迅速地解决问题．
例4每个三角形有三边、三角共6个元素，若两个三角形各有5个元素分别相等，这两个三角形是否全等？为什么？
分析：从题目所给的条件看，可以模糊地猜想这两个三角形全等．因此若能特殊化地找到一个反例，就可能推翻全等的结论，否则就要着手证明全等．
事实上，可构造如下反例：
设△ABC的三边为a=8,b=12,c=18,而△A′B′C′的三边为a′=12, b′=18, c′=27．显然有a/a′=b/b′=c/c′=2/3，即 △ABC∽△A′B′C′，所以 ∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′．又b=a′,c=b′，即这两个三角形各有5个元素分别相等，但显然这两个三角形不全等．所以题中所指的两个三角形不一定全等．这说明“分别相等”与“对应相等”是不同的．
判断一个一般性命题是否成立，有时可考虑采用特殊化策略，即选择符合命题条件的特殊情况（特殊值、特殊图形、特殊关系等），去验证命题是否成立．尤其解答某些单项选择题、填空题，用特殊化策略往往简单易行．
5等价化归问题
在解决有关数学问题时，适当地将注意力倾注在对象的某个特殊方面上，往往是有益的．例如，问题的对称性，有助于问题的漂亮解决．对称性往往可引出“不失一般性……”之类的语言，在解决问题时实现一般向特殊的等价化归．
例5设a、b、c为三角形的三边．求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc．
分析：容易看出，欲证的不等式是关于a、b、c对称的．由于三角形三边作为实数一定可依次按大小顺序排列起来，因此，不失一般性，我们可假设a≥b≥c．在此基础上，只须计算出［a2(b+c-a)-abc］+［b2(c+a-b)-abc］+［c2(a+b-c)-abc］≤0即可．
事实上，a2(b+c-a)-abc=ab(a-c)+a2(c-a)=a(a-b)(c-a)≤0,
［b2(c+a-b)-abc］+［c2(a+b-c)-abc］=
b(b-c)(a-b)+c(c-a)(b-c)=
(b-c)［a(b-c)-(b2-c2)］=
(b-c)2［a-(b+c)］≤0．
从而原不等式获证．
添加条件a≥b≥c后，使关于任意三角形的问题转化为有限制条件的三角形问题，即一般向特殊的等价转化．
参考文献
1阴东升、卞瑞玲、徐本顺．数学中的特殊化与一般化．南京：江苏教育出版社，1995
2何华兴主编．数学思想方法．上海：百家出版社，2002
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用．”（希尔伯特语）．对个别特殊情况 的讨论，常能凸现问题的关键，揭示问题的本质．
将一般问题特殊化，通常并不难，只须将被研究的对象添加某些限制或适当加强某些条件即可．特殊化策略在数学解题中发挥着重要的作用．
1发现数学规律
由于矛盾的普遍性存在于矛盾的特殊性之中，因此，我们可以利用特殊化策略去猜想、发现真理，归纳出一般性的结论．它为我们解决一般性问题奠定了基础，指明了方向．
纵观数学的发展史，许多数学问题的发现都来源于特殊化策略，著名的哥德巴赫猜想，就是在对特殊事例的观察、分析基础上猜想发现的；费马大定理，也是从特殊入手提出，然后设法证明的；还有四色定理……．可以说没有特殊化的归纳猜想，就没有数学的发现，也就没有科学发展的今天．
例1求s=13+23+33+…+n3的值．
分析：看到这道题时，一时无从下手．可让n取一些特殊值，从实验、观察入手．
当n分别取1，2，3，4，5时，可得：
13=1=12，
13+23=9=32，
13+23+33=36=62，
13+23+33+43=100=102，
13+23+33+43+53=225=152，
……
在实验的基础上进行观察，并找到右边平方数的底数与左边立方和的底数之间的关系．
因为 1=1， 3=1+2， 6=1+2+3， 10=1+2+3+4， 15=1+2+3+4+5，……
所以 an=1+2+…+n=1/2n(n+1) (n∈N+)．从而不难发现：13+23+33+…+n3=1/4n2(n+1)2．
在上述实验过程中，由n的一些特殊值，通过实验、观察，发现内在规律，从而发现原题的结果，这一结果可用数学归纳法进行严格的证明，使发现的结果得到最后确认．
数学问题经过特殊化处理后，常常能帮助我们获得该问题某一侧面的信息，这样经过几次特殊化后，就能得到较多的信息，从而有助于找到解决问题的方法．
2直接探求结论
有些与定值、定点、定直线有关的问题，可以用特殊化策略将问题引向极端，舍弃题中不确定的因素，直接探求这个定值、定点、定直线，从而使解题有明确的方向．
对于定值问题运用特殊化策略可以先求出定值，然后再用此定值检验结果是否正确．
本题特殊情形的验证也是证明的一部分，因为非特殊情形的证明方法不适用于k=0或k不存在的特殊情形．
3启示解题思路
问题的特殊化往往表现为问题的简单化．人们对这些简单情形的考察有助于启示解决原问题的思路．
对于元素较多，呈现的情况比较复杂的问题，我们可以先从元素较少的简单情况进行研究，然后以此为起点去解答较多元素的原题，它常能起到“退一步，进两步”的作用．
特殊情况通常比一般情况要直观、简单、原始，易找到解决的方法和途径，而一般问题的解法思路往往与特殊情形的解法思路非常相似，甚或完全一致．所以特殊情形的解决会给一般性解决指引方向、提供思路，换句话说，不太困难的、特殊的辅助问题常常作为解决更困难的具有一般性原问题的铺路石．
所以 tanα1＜sinα1+sinα2+…+sinαn/cosα1+cosα2+…+cosαn＜tanαn．
通过对特殊情况的讨论，可使问题变得更加明朗．但是，在通常情况下，对特殊情况的讨论不能代替一般情况的研究，要得到一般性结论，还须就一般情况加以证明．
4检验数学命题
数学中并非每个命题都为真．有的命题，虽从多方面进行了严密的推理，但仍不能得到结论．因此，很自然地，人们对这个命题的真伪产生怀疑，从而设法否定这个命题．怎样推翻一个命题呢？只要举出一个符合命题的条件而不符合该命题的结论的特例——反例，就可以了．
在数学史上，有不少著名命题被否定，都是反例的功劳．
反例是十分简明的否定，也是极有说服力的肯定．反例的作用不仅用以否定命题，而且也是发现数学真理的一种重要手段．它在数学学习与研究中起着不可估量的作用．美国当代数学家盖尔鲍姆说得好：“数学由两大类——证明和反例组成，而数学发现也是朝着两个主要目标——提出证明和构造反例．”举反例有利于培养学生的发散思维能力，克服思维的片面性，做到深入探索、有所发现，养成严谨、踏实、一丝不苟的学风．
对于某些结论否定型问题，从正面证明它不成立一般不容易，而举一个反例往往能迅速地解决问题．
例4每个三角形有三边、三角共6个元素，若两个三角形各有5个元素分别相等，这两个三角形是否全等？为什么？
分析：从题目所给的条件看，可以模糊地猜想这两个三角形全等．因此若能特殊化地找到一个反例，就可能推翻全等的结论，否则就要着手证明全等．
事实上，可构造如下反例：
设△ABC的三边为a=8,b=12,c=18,而△A′B′C′的三边为a′=12, b′=18, c′=27．显然有a/a′=b/b′=c/c′=2/3，即 △ABC∽△A′B′C′，所以 ∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′．又b=a′,c=b′，即这两个三角形各有5个元素分别相等，但显然这两个三角形不全等．所以题中所指的两个三角形不一定全等．这说明“分别相等”与“对应相等”是不同的．
判断一个一般性命题是否成立，有时可考虑采用特殊化策略，即选择符合命题条件的特殊情况（特殊值、特殊图形、特殊关系等），去验证命题是否成立．尤其解答某些单项选择题、填空题，用特殊化策略往往简单易行．
5等价化归问题
在解决有关数学问题时，适当地将注意力倾注在对象的某个特殊方面上，往往是有益的．例如，问题的对称性，有助于问题的漂亮解决．对称性往往可引出“不失一般性……”之类的语言，在解决问题时实现一般向特殊的等价化归．
例5设a、b、c为三角形的三边．求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc．
分析：容易看出，欲证的不等式是关于a、b、c对称的．由于三角形三边作为实数一定可依次按大小顺序排列起来，因此，不失一般性，我们可假设a≥b≥c．在此基础上，只须计算出［a2(b+c-a)-abc］+［b2(c+a-b)-abc］+［c2(a+b-c)-abc］≤0即可．
事实上，a2(b+c-a)-abc=ab(a-c)+a2(c-a)=a(a-b)(c-a)≤0,
［b2(c+a-b)-abc］+［c2(a+b-c)-abc］=
b(b-c)(a-b)+c(c-a)(b-c)=
(b-c)［a(b-c)-(b2-c2)］=
(b-c)2［a-(b+c)］≤0．
从而原不等式获证．
添加条件a≥b≥c后，使关于任意三角形的问题转化为有限制条件的三角形问题，即一般向特殊的等价转化．
参考文献
1阴东升、卞瑞玲、徐本顺．数学中的特殊化与一般化．南京：江苏教育出版社，1995
2何华兴主编．数学思想方法．上海：百家出版社，2002
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文