【摘要】血液检测作为一种发现病毒非常有效的方式，在各种检测和实验中普遍应用。然而，使用不同的抽检方案检测效率完全不同，本文通过建立一种数学模型，简化了求化验次数的概率，并找到了一种比较有效的检测方式。
　　【关键词】血液检测;数学模型;检测方式
　　一、问题提出
　　科学家为研究对某病毒有效的疫苗，通过小鼠进行毒性和药效实验，已知5只小鼠中有1只患有这种病毒引起的疾病，需要通过检测血液来确定患病的小鼠血液化验结果呈阳性的即为患病小鼠，呈阴性即没患病。下面是两种化验方案：
　　方案甲：逐个化验，直到能确定患病小鼠为止。
　　方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验。若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病小鼠为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验。
　　试通过检验次数的期望值判断哪一个方案的效率更高，并说明理由。
　　问题解决：设检测次数为随机变量X，则X的可能取值为1，2，3，4.
　　故方案甲化验次数X的分布列为：
　　设方案乙化验次数为Y，则Y可能取值为2，3。
　　Y=2时的情况为先验三只结果为阳性，再从中逐一检验时，恰好一次检验出，或先验三只结果为阴性，再从其他两只中取出一只检验;
　　Y=3时的情况为先验三只结果为阳性，再从中逐一检验时，第一次检验为阴性。则
　　故方案乙化验次数Y的分布列为：
　　则， 所以乙方案的效率更高。
　　在解决这个问题过程中，求化验次数概率过程比较麻烦，容易出错，下面笔者设计一个数学模型来求解化验次数概率。
　　二、模型建立
　　在5只小鼠中，其中有1只阳性，4只阴性，实际上就是把1个贴有阴性的小球，4个贴有阳性的小球放在五个位置上，每一种摆放方式就是一个基本事件，则共有=5个基本事件，求检测次数的概率就是古典概型问题，检验m（m=1，2…5）次的概率就是m次包含基本事件的个数除以5，通过表格建立数学模型，所以基本事件列举如下：
　　通过以上表格建立模型检验次数和分布列就非常清楚了。
　　三、模型运用
　　如果上述问题种的5只小鼠中1只患有疾病发展为2只患有疾病，哪种方案效率更高呢？
　　模型運用：在5只小鼠中，其中有2只阳性，3只阴性，实际上就是把2个贴有阳性的小球3个贴有阴性的小球放在5个位置上，每一种摆放方式就是一个基本事件，则共有=10个基本事件，所以基本事件列举如下：
　　四、模型推广提升
　　如果n只小鼠中有只患有这种病毒引起的疾病，判断哪一个方案的效率更高？
　　模型推广：在n只小鼠中，其中有2只阳性，n-2只阴性，实际上就是把2个贴有阳性的小球和3个贴有阴性的小球放在n个位置上，每一种摆放方式就是一个基本事件，则共有个基本事件，所以基本事件列举如下：
　　所以对于方案甲X的分布列为：
　　所以对于方案乙Y的分布列为：
　　当n≤6时，EXEY 。
　　即有不超过6个样本时，选择逐一检测比较快，效率高。
　　即有超过6个样本时，选择先分3个一组检验，然后再逐一检测，效率高。
　　五、结束语
　　对于检测问题本质就是组合问题，对于n个样本中有k个患者就是有种组合，求检测次数的概率就是古典概型问题，检验m次的概率就是m次包含基本事件的个数比上，通过表格建立数学模型，这样就能够很好地解决实际生活中的问题。
　　参考文献：
　　[1]刘绍学.2021年高中数学选修2-3人教版教材教科书[M].人民教育出版社，2009.
　　责任编辑  罗良英