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[摘要] 基于BDS法和替代数据法，对布伦特原油现货价、大庆原油现货价以及NYMEX天然气期货价和亨利中心天然气现货价的日数据进行了非线性特征检验。研究表明，上述能源价格收益率不服从正态分布，存在长相关特征并具有一定的非线性结构。在替代数据法检验时发现，嵌入维数小于6时，上述能源价格的原始数据和替代数据没有显著性差异，表明在维数低于6时，可以用少于6个经济变量进行线性模拟，以对相关能源价格进行短期预测，以便为中国能源政策制定及能源行业的科学发展提供有益启示。
[关键词] 石油价格；天然气价格；BDS检验；替代数据法；随机游走；独立同分布假设
[中图分类号]F407.22[文献标识码]A[文章编号] 1673-5595（2014）04-0001-05
能源价格一直是经济研究者关注的重要课题，由于能源市场参与主体的多元化，不同理性的参与主体的影响会在能源价格上有所体现，因此，能源价格影响因素的复杂性和综合性表明能源价格是一个多维的非线性系统，如果只是通过线性多元回归模型进行预测往往预测精度难以保证，因此必须对能源价格进行非线性特征研究以便探寻能源价格的一般性内在规律和非线性特征。目前对石油价格和天然气价格非线性特征的研究并不多，主要集中在石油价格的分形特征和混沌特征的研究方面。比如，孟刚等利用1976—2004年的世界平均石油价格进行了研究，认为石油价格市场是一个分形市场。[1]王洲等在非线性系统及复杂性理论框架内，采用相空间重构技术定量地研究了石油价格的混沌特性，并且对石油价格进行了预测。[2]魏学薛等以美国市场西德州轻质原油（WTI）价格和北海布伦特（Brent）原油价格为研究对象进行了研究，得出结论：国际石油价格收益率序列不是独立同分布序列，有一定的非线性结构并且价格波动呈现群聚性特点。[3]何凌云、李君臣等以Brent和WTI原油价格为研究对象，应用R/S分析法研究了上述原油价格的分形特征，得到了相应的Hurst指数，并且发现了价格系统对信息的长期记忆性。[45]
可以看出，近年来关于能源价格非线性特征的研究不多。目前BDS（Brock Dechert Scheinkman）法和替代数据法是应用比较广泛的非线性特征研究方法。鉴于此，本文利用BDS法和替代数据法，以布伦特原油现货价（BrentOil）、大庆原油现货价（DaqingOil）以及NYMEX天然气期货价（NYMEXGas）和亨利中心天然气现货价（HenryGas）为研究对象，研究上述能源价格的非线性特征，为进一步寻找石油和天然气价格的内在的规律性以及今后的能源价格的非线性预测提供一些有益的启示。
一、方法论
（一）BDS法
能源价格时间序列往往是自相关的，要消除其自相关的影响，通常拟合p阶自回归模型，在选择合适的阶数p后，计算自回归模型的残差序列，判断该残差序列的BDS统计量是否为独立同分布。如果检验结论不是独立同分布，则意味着能源价格序列在某个显著水平下是内在非线性的。
（二）替代数据法
替代数据法主要由检验统计量和零假设构成。其基本逻辑是根据原始时间序列的均值和方差等线性性质，构建零假设，即构建相应的高斯线性随机过程，该随机过程产生相应的替代数据。通过对比原始数据与替代数据的检验统计量来说明原始数据中是否存在确定性的非线性特征。
1. 零假设
零假设1： 原始数据由独立同分布（IID）的随机变量产生。
该假设根据高斯型的随机变量分布产生替代数据，并且替代数据和原始数据的均值、方差和幅值分布等特性一致，但是替代数据不具有原始数据之间的关联性。该零假设用于分析原始时间序列是否存在确定性成分。
零假设2： 原始数据是由均值、方差和频谱线性相关高斯过程所产生。
该零假设的目的在于检验原始数据是否存在非线性成分，替代数据的生成有两种方式：一种是用自回归模型产生替代数据，另一种是用随机化相位方法来生成该假设的替代数据。其思想是通过重构原始数据的功率谱以保证替代数据同原始数据的线性相关性。本文采用Lei M给出的改进算法产生相应的替代数据[7]，重构原始数据的Fourier频谱。首先对原始数据进行Fourier变换：
该零假设产生的替代数据和原始数据的幅值分布一致，而且替代数据也具有原始数据的静态、单调非线性性质。所产生的替代数据是非线性的，而这种非线性不是由动力系统产生的。[8]
2. 检验统计量
如果原始数据与基于零假设所产生的替代数据的检验统计值显著不同，则该零假设被拒绝，说明两者有本质不同。否则，该零假设不被拒绝，说明原始数据与零假设基本一致。检验统计量有两种形式，即中枢性和非中枢性检验统计量。Theiler等建议采用中枢的、与替代数据的产生方法无关的检验统计量。[9]本文选择关联维数作为检验原油和天然气价格的检验统计量。
C（l）=1n2∑ni=1∑nj=1θ（l-Xi-Xj），
D2=liml→0lnC（l）lnl
其中，‖·‖是Euclidean范数；θ是Heaviside函数，即如果r≤0，则 θ（r）=0；如果r>0，则θ（r）=1；Xi是时间序列重构相空间后的第i行向量。在本文中，根据自互相关函数估计延迟时间，重构相空间的延迟选为1，嵌入维数2～15。
二、实证研究
（一）数据选择和处理
由于获取数据的有限性，本文选取布伦特原油现货价、大庆原油现货价以及NYMEX天然气期货价和亨利中心天然气现货价的日数据为研究对象，数据来源于WIND数据库。用于实证分析的是上述能源的日数据时间序列的对数收益率序列，即生成原始数据，这样可以将时间序列的趋势去掉。
（二）数据的统计分析 由表1看出，布伦特原油现货价、大庆原油现货价以及NYMEX天然气期货价和亨利中心天然气现货价的收益率序列的峰度和偏度系数分别不等于3和0。大庆原油现货价和布伦特原油现货价收益率的偏度小于零，说明低于平均收益率的天数要略小于高于平均收益率的天数，而NYMEX天然气期货价和亨利中心天然气现货价收益率的偏度大于0，说明低于平均收益率的天数要略大于高于平均收益率的天数。以上能源价格收益率的JB统计量在1%的显著性水平下拒绝收益率服从正态分布的假定，且有“尖峰厚尾”特征。因此拒绝原假设，即四种能源价格收益率序列不服从正态分布，存在长相关特征并具有一定的非线性结构，这同有效市场假说是相悖的。下面运用基于BDS法和替代数据法对以上四种能源价格收益率进行非线性特征研究。
（三）BDS法非线性特征检验
在实证研究中，BDS检验需要选取一个适当的参数ε值。其中选取ε值的一个标准：ε取值太大会高估嵌入空间中向量间的贴近程度，ε取值太小会导致过度接受零假设。对于大样本（N>500）情况，Brock等建议取值为序列标准差的05、075、10、15和20倍。因此，利用上述BDS统计分析法，ε取值为05、075和10，嵌入维数为2～10。
由表2可以看出，当ε=05、075、10时，随着嵌入维数的增大，BDS统计值均显著增加，这说明上述BDS统计值均拒绝时间残差序列是独立同分布序列的IID假设，从而说明上述能源价格时间序列中具有一定的非线性结构，存在非线性的相关关系，为了准确地描述能源价格时间序列的变动，必须使用非线性模型。值得注意的是，当ε=05、075和10时，NYMEX天然气期货价和亨利中心天然气现货价的BDS统计值大于布伦特原油现货价和大庆原油现货价的BDS统计值，说明相较布伦特原油现货价和大庆原油现货价而言，NYMEX天然气期货价和亨利中心天然气现货价的非线性特征相对要强。
（四）替代数据法的非线性特征检验
虽然BDS法能够对时间序列进行非线性特征检验，但是BDS法无法判断被检验的序列是确定性还是非确定性非线性序列，而替代数据法能够很好地弥补这一缺陷。因此，本文进一步对上述能源价格时间序列采用替代数据法的三种零假设和关联维数统计量进行检验。
首先，对上述能源价格时间序列进行零假设1检验。根据零假设1，在置信度为95%时，替代数据集产生39组数据。与原始数据一样，替代数据具有同样的方差、均值和概率分布。但是替代数据不具有原始数据之间的关联性。由图1可看出，随着嵌入维数不断增加，原始数据和替代数据的关联维数有显著性差异，这说明原始数据不是由独立同分布（IID）的随机变量产生的，即零假设1被拒绝。结果显示上述能源价格包含了确定性成分，但还不能确定这种确定性是线性的还是非线性的。因此，进一步假设四种能源价格与零假设2一致。
根据零假设2，四种能源价格的替代数据与原始数据具有相同的功率谱，但是不包含非线性确定性成分。由图2可看出，随着嵌入维数不断增加，原始数据和替代数据的关联维数有显著性差异，这说明原始数据不是由均值、方差和频谱线性相关高斯过程所产生，即零假设2被拒绝。这意味着原始数据具有非线性确定性成分。但是，还不能确定这种非线性是否来自于非线性动力系统。为此，将进一步假设原始数据与零假设3一致。
根据零假设3，四种能源价格的替代数据与原始数据具有相同的功率谱和概率分布。由图3可看出，随着嵌入维数不断增加，上述四种能源价格的原始数据和替代数据的关联维数有显著性差异，这说明原始数据不是由线性相关的随机过程经静态非线性变换所产生，即零假设3被拒绝。结果显示该原始数据的非线性特征是内在的和确定性的。图1由零假设1产生的替代数据和原始数据比较图2由零假设2产生的替代数据和原始数据比较图3由零假设3产生的替代数据和原始数据比较由图1、图2、图3可看出，随着嵌入维数的不断增加，原始数据的关联维数增长变得缓慢，而替代数据的关联维数倾向于快速地增加。这一结果表明上述能源价格来自于复杂的非线性系统。同时还可以进一步看出，嵌入维数小于6时，上述能源价格的原始数据和替代数据没有显著性差异，因此，嵌入维数低于6时，上述四种能源价格时间序列可以用少于6个经济变量进行线性模拟短期预测。
三、结论
基于BDS法和替代数据法，本文对布伦特原油现货价（BrentOil）、大庆原油现货价（DaqingOil）以及NYMEX天然气期货价（NYMEXGas）和亨利中心天然气现货价（HenryGas）进行了非线性特征检验，得出以下结论：
第一，从基本统计量分析可以看出，四种能源价格峰度和偏度系数分别不等于3和0，其中大庆原油现货价和布伦特原油现货价收益率的偏度小于零，说明低于平均收益率的天数要略小于高于平均收益率的天数，而NYMEX天然气期货价和亨利中心天然气现货价收益率的偏度大于0，说明低于平均收益率的天数要略大于高于平均收益率的天数。四种能源价格都存在“尖峰厚尾”的特征，即以上原油和天然气价格收益率序列不服从正态分布，存在长相关特征并具有一定的非线性结构，这同有效市场假说是相悖的。
第二，从BDS法检验结果看，当ε=05、075和10时，随着嵌入维数的增加，BDS统计值均显著增大，并且相关统计量在5%的显著性水平下拒绝独立同分布的零假设，表明上述四种能源价格时间序列中具有一定的非线性结构，存在非线性的相关关系。同时可以看出，相较布伦特原油现货价和大庆原油现货价而言，NYMEX天然气期货价和亨利中心天然气现货价的非线性特征相对要强。
第三，从替代数据法的非线性特征结论看，随着嵌入维数的不断增加，原始数据的关联维数增长变得缓慢，而替代数据的关联维数倾向于快速增加。这一结果表明上述四种能源价格来自于复杂的非线性系统。同时在嵌入维数小于6时，上述四种能源价格的原始数据和替代数据没有显著性差异，因此，在嵌入维数低于6时，上述四种能源价格时间序列可以用少于6个经济变量进行线性模拟短期预测。
[参考文献]
[1] 孟刚，唐雄，张意翔. 国际石油市场的分形特征与价格突变分析[J].统计与决策，2006（12）：5354.
[2] 王洲，马燕林. 国际石油价格时间序列的混沌分析与预测[J]. 资源科学，2008（12）：17911796.
[3] 魏学薛，任彪. 国际原油价格非线性结构的BDS检验[J]. 统计与管理，2009（1）：5758.
[4] 何凌云，郑丰. 基于R/S分析的原油价格系统的分形特征研究[J]. 复杂系统与复杂性科学，2005（10）：4651.
[5] 李君臣，董秀成，高建. 世界原油价格的不确定性研究——基于R/S方法的世界原油价格非线性分析[J]. 价格理论与实践，2009（6）：5354.
[6] BROCK W A， W D DECHERT， J ASCHEINKMAN， et al. Test for Independence Based on the Correlation Dimension[J]. Econometrie Reviews， 1996，15（3）：197235.
[7] LEI M， WANG Z Z， FENG Z J. Detecting nonlinearity of action surface EMG signal[J]. Physics Letters A， 2010，290（56）：297303.
[8] J THEILER， DEAN PRICHARD. ConstrainedRealization MonteCarlo Method for Hypothesis Testing [J]. Physica D， 1996，94：201211.
[9] J THEILER， STEPHEN EUBANK， ANDRE LONGTIN， et al. Testing for Nonlinearity in Time Series： the Method of Surrogate Data[J]. Physica D， 1992，58：7794.
[责任编辑：张岩林]
[关键词] 石油价格；天然气价格；BDS检验；替代数据法；随机游走；独立同分布假设
[中图分类号]F407.22[文献标识码]A[文章编号] 1673-5595（2014）04-0001-05
能源价格一直是经济研究者关注的重要课题，由于能源市场参与主体的多元化，不同理性的参与主体的影响会在能源价格上有所体现，因此，能源价格影响因素的复杂性和综合性表明能源价格是一个多维的非线性系统，如果只是通过线性多元回归模型进行预测往往预测精度难以保证，因此必须对能源价格进行非线性特征研究以便探寻能源价格的一般性内在规律和非线性特征。目前对石油价格和天然气价格非线性特征的研究并不多，主要集中在石油价格的分形特征和混沌特征的研究方面。比如，孟刚等利用1976—2004年的世界平均石油价格进行了研究，认为石油价格市场是一个分形市场。[1]王洲等在非线性系统及复杂性理论框架内，采用相空间重构技术定量地研究了石油价格的混沌特性，并且对石油价格进行了预测。[2]魏学薛等以美国市场西德州轻质原油（WTI）价格和北海布伦特（Brent）原油价格为研究对象进行了研究，得出结论：国际石油价格收益率序列不是独立同分布序列，有一定的非线性结构并且价格波动呈现群聚性特点。[3]何凌云、李君臣等以Brent和WTI原油价格为研究对象，应用R/S分析法研究了上述原油价格的分形特征，得到了相应的Hurst指数，并且发现了价格系统对信息的长期记忆性。[45]
可以看出，近年来关于能源价格非线性特征的研究不多。目前BDS（Brock Dechert Scheinkman）法和替代数据法是应用比较广泛的非线性特征研究方法。鉴于此，本文利用BDS法和替代数据法，以布伦特原油现货价（BrentOil）、大庆原油现货价（DaqingOil）以及NYMEX天然气期货价（NYMEXGas）和亨利中心天然气现货价（HenryGas）为研究对象，研究上述能源价格的非线性特征，为进一步寻找石油和天然气价格的内在的规律性以及今后的能源价格的非线性预测提供一些有益的启示。
一、方法论
（一）BDS法
能源价格时间序列往往是自相关的，要消除其自相关的影响，通常拟合p阶自回归模型，在选择合适的阶数p后，计算自回归模型的残差序列，判断该残差序列的BDS统计量是否为独立同分布。如果检验结论不是独立同分布，则意味着能源价格序列在某个显著水平下是内在非线性的。
（二）替代数据法
替代数据法主要由检验统计量和零假设构成。其基本逻辑是根据原始时间序列的均值和方差等线性性质，构建零假设，即构建相应的高斯线性随机过程，该随机过程产生相应的替代数据。通过对比原始数据与替代数据的检验统计量来说明原始数据中是否存在确定性的非线性特征。
1. 零假设
零假设1： 原始数据由独立同分布（IID）的随机变量产生。
该假设根据高斯型的随机变量分布产生替代数据，并且替代数据和原始数据的均值、方差和幅值分布等特性一致，但是替代数据不具有原始数据之间的关联性。该零假设用于分析原始时间序列是否存在确定性成分。
零假设2： 原始数据是由均值、方差和频谱线性相关高斯过程所产生。
该零假设的目的在于检验原始数据是否存在非线性成分，替代数据的生成有两种方式：一种是用自回归模型产生替代数据，另一种是用随机化相位方法来生成该假设的替代数据。其思想是通过重构原始数据的功率谱以保证替代数据同原始数据的线性相关性。本文采用Lei M给出的改进算法产生相应的替代数据[7]，重构原始数据的Fourier频谱。首先对原始数据进行Fourier变换：
该零假设产生的替代数据和原始数据的幅值分布一致，而且替代数据也具有原始数据的静态、单调非线性性质。所产生的替代数据是非线性的，而这种非线性不是由动力系统产生的。[8]
2. 检验统计量
如果原始数据与基于零假设所产生的替代数据的检验统计值显著不同，则该零假设被拒绝，说明两者有本质不同。否则，该零假设不被拒绝，说明原始数据与零假设基本一致。检验统计量有两种形式，即中枢性和非中枢性检验统计量。Theiler等建议采用中枢的、与替代数据的产生方法无关的检验统计量。[9]本文选择关联维数作为检验原油和天然气价格的检验统计量。
C（l）=1n2∑ni=1∑nj=1θ（l-Xi-Xj），
D2=liml→0lnC（l）lnl
其中，‖·‖是Euclidean范数；θ是Heaviside函数，即如果r≤0，则 θ（r）=0；如果r>0，则θ（r）=1；Xi是时间序列重构相空间后的第i行向量。在本文中，根据自互相关函数估计延迟时间，重构相空间的延迟选为1，嵌入维数2～15。
二、实证研究
（一）数据选择和处理
由于获取数据的有限性，本文选取布伦特原油现货价、大庆原油现货价以及NYMEX天然气期货价和亨利中心天然气现货价的日数据为研究对象，数据来源于WIND数据库。用于实证分析的是上述能源的日数据时间序列的对数收益率序列，即生成原始数据，这样可以将时间序列的趋势去掉。
（二）数据的统计分析 由表1看出，布伦特原油现货价、大庆原油现货价以及NYMEX天然气期货价和亨利中心天然气现货价的收益率序列的峰度和偏度系数分别不等于3和0。大庆原油现货价和布伦特原油现货价收益率的偏度小于零，说明低于平均收益率的天数要略小于高于平均收益率的天数，而NYMEX天然气期货价和亨利中心天然气现货价收益率的偏度大于0，说明低于平均收益率的天数要略大于高于平均收益率的天数。以上能源价格收益率的JB统计量在1%的显著性水平下拒绝收益率服从正态分布的假定，且有“尖峰厚尾”特征。因此拒绝原假设，即四种能源价格收益率序列不服从正态分布，存在长相关特征并具有一定的非线性结构，这同有效市场假说是相悖的。下面运用基于BDS法和替代数据法对以上四种能源价格收益率进行非线性特征研究。
（三）BDS法非线性特征检验
在实证研究中，BDS检验需要选取一个适当的参数ε值。其中选取ε值的一个标准：ε取值太大会高估嵌入空间中向量间的贴近程度，ε取值太小会导致过度接受零假设。对于大样本（N>500）情况，Brock等建议取值为序列标准差的05、075、10、15和20倍。因此，利用上述BDS统计分析法，ε取值为05、075和10，嵌入维数为2～10。
由表2可以看出，当ε=05、075、10时，随着嵌入维数的增大，BDS统计值均显著增加，这说明上述BDS统计值均拒绝时间残差序列是独立同分布序列的IID假设，从而说明上述能源价格时间序列中具有一定的非线性结构，存在非线性的相关关系，为了准确地描述能源价格时间序列的变动，必须使用非线性模型。值得注意的是，当ε=05、075和10时，NYMEX天然气期货价和亨利中心天然气现货价的BDS统计值大于布伦特原油现货价和大庆原油现货价的BDS统计值，说明相较布伦特原油现货价和大庆原油现货价而言，NYMEX天然气期货价和亨利中心天然气现货价的非线性特征相对要强。
（四）替代数据法的非线性特征检验
虽然BDS法能够对时间序列进行非线性特征检验，但是BDS法无法判断被检验的序列是确定性还是非确定性非线性序列，而替代数据法能够很好地弥补这一缺陷。因此，本文进一步对上述能源价格时间序列采用替代数据法的三种零假设和关联维数统计量进行检验。
首先，对上述能源价格时间序列进行零假设1检验。根据零假设1，在置信度为95%时，替代数据集产生39组数据。与原始数据一样，替代数据具有同样的方差、均值和概率分布。但是替代数据不具有原始数据之间的关联性。由图1可看出，随着嵌入维数不断增加，原始数据和替代数据的关联维数有显著性差异，这说明原始数据不是由独立同分布（IID）的随机变量产生的，即零假设1被拒绝。结果显示上述能源价格包含了确定性成分，但还不能确定这种确定性是线性的还是非线性的。因此，进一步假设四种能源价格与零假设2一致。
根据零假设2，四种能源价格的替代数据与原始数据具有相同的功率谱，但是不包含非线性确定性成分。由图2可看出，随着嵌入维数不断增加，原始数据和替代数据的关联维数有显著性差异，这说明原始数据不是由均值、方差和频谱线性相关高斯过程所产生，即零假设2被拒绝。这意味着原始数据具有非线性确定性成分。但是，还不能确定这种非线性是否来自于非线性动力系统。为此，将进一步假设原始数据与零假设3一致。
根据零假设3，四种能源价格的替代数据与原始数据具有相同的功率谱和概率分布。由图3可看出，随着嵌入维数不断增加，上述四种能源价格的原始数据和替代数据的关联维数有显著性差异，这说明原始数据不是由线性相关的随机过程经静态非线性变换所产生，即零假设3被拒绝。结果显示该原始数据的非线性特征是内在的和确定性的。图1由零假设1产生的替代数据和原始数据比较图2由零假设2产生的替代数据和原始数据比较图3由零假设3产生的替代数据和原始数据比较由图1、图2、图3可看出，随着嵌入维数的不断增加，原始数据的关联维数增长变得缓慢，而替代数据的关联维数倾向于快速地增加。这一结果表明上述能源价格来自于复杂的非线性系统。同时还可以进一步看出，嵌入维数小于6时，上述能源价格的原始数据和替代数据没有显著性差异，因此，嵌入维数低于6时，上述四种能源价格时间序列可以用少于6个经济变量进行线性模拟短期预测。
三、结论
基于BDS法和替代数据法，本文对布伦特原油现货价（BrentOil）、大庆原油现货价（DaqingOil）以及NYMEX天然气期货价（NYMEXGas）和亨利中心天然气现货价（HenryGas）进行了非线性特征检验，得出以下结论：
第一，从基本统计量分析可以看出，四种能源价格峰度和偏度系数分别不等于3和0，其中大庆原油现货价和布伦特原油现货价收益率的偏度小于零，说明低于平均收益率的天数要略小于高于平均收益率的天数，而NYMEX天然气期货价和亨利中心天然气现货价收益率的偏度大于0，说明低于平均收益率的天数要略大于高于平均收益率的天数。四种能源价格都存在“尖峰厚尾”的特征，即以上原油和天然气价格收益率序列不服从正态分布，存在长相关特征并具有一定的非线性结构，这同有效市场假说是相悖的。
第二，从BDS法检验结果看，当ε=05、075和10时，随着嵌入维数的增加，BDS统计值均显著增大，并且相关统计量在5%的显著性水平下拒绝独立同分布的零假设，表明上述四种能源价格时间序列中具有一定的非线性结构，存在非线性的相关关系。同时可以看出，相较布伦特原油现货价和大庆原油现货价而言，NYMEX天然气期货价和亨利中心天然气现货价的非线性特征相对要强。
第三，从替代数据法的非线性特征结论看，随着嵌入维数的不断增加，原始数据的关联维数增长变得缓慢，而替代数据的关联维数倾向于快速增加。这一结果表明上述四种能源价格来自于复杂的非线性系统。同时在嵌入维数小于6时，上述四种能源价格的原始数据和替代数据没有显著性差异，因此，在嵌入维数低于6时，上述四种能源价格时间序列可以用少于6个经济变量进行线性模拟短期预测。
[参考文献]
[1] 孟刚，唐雄，张意翔. 国际石油市场的分形特征与价格突变分析[J].统计与决策，2006（12）：5354.
[2] 王洲，马燕林. 国际石油价格时间序列的混沌分析与预测[J]. 资源科学，2008（12）：17911796.
[3] 魏学薛，任彪. 国际原油价格非线性结构的BDS检验[J]. 统计与管理，2009（1）：5758.
[4] 何凌云，郑丰. 基于R/S分析的原油价格系统的分形特征研究[J]. 复杂系统与复杂性科学，2005（10）：4651.
[5] 李君臣，董秀成，高建. 世界原油价格的不确定性研究——基于R/S方法的世界原油价格非线性分析[J]. 价格理论与实践，2009（6）：5354.
[6] BROCK W A， W D DECHERT， J ASCHEINKMAN， et al. Test for Independence Based on the Correlation Dimension[J]. Econometrie Reviews， 1996，15（3）：197235.
[7] LEI M， WANG Z Z， FENG Z J. Detecting nonlinearity of action surface EMG signal[J]. Physics Letters A， 2010，290（56）：297303.
[8] J THEILER， DEAN PRICHARD. ConstrainedRealization MonteCarlo Method for Hypothesis Testing [J]. Physica D， 1996，94：201211.
[9] J THEILER， STEPHEN EUBANK， ANDRE LONGTIN， et al. Testing for Nonlinearity in Time Series： the Method of Surrogate Data[J]. Physica D， 1992，58：7794.
[责任编辑：张岩林]