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摘 要：通过分析 X 射线 180 次旋转方向固定，其衰减路径在空间上可积，建立基于直接傅里叶反变换法投影的重建模型，得出图像函数，调节理论得出的傅里叶反变换公式以适应离散、有噪声应用的需求，建立二维离散傅里叶逆变换模型，得出未知介质的图像和位置。
关键词：投影重建图像；傅里叶变换与逆变换；插值法
一、问题的背景
CT是利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，获取样品内部的结构信息，并且不破坏样品的一项较先进的扫描技术。因此，CT 技术在影像技术领域占据着重要作用。一种典型的二维 CT 系统是由平行入射的 X 射线和 512 个探测器单元组成，X 射线垂直于探测器平面且相对位置固定不变，整个发射-接收系统绕某固定旋转中心逆时针旋转 180 次。对每一个 X 射线方向，在具有 512 个等距单元的探测器上测量经固定不动的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量，并经增益等处理后得到 180 组接收信息。
二、问题的分析
二维 CT 系统检测样品的过程可以理解为 512 条相互平行的 X 射线与探测器上 512个等距单元一一对应且相对位置固定，检测样品时接收-发射系统与样品可看作在一个平面，扫描物体时 CT 系统绕固定旋转中心平行于样品托盘逆时针转动扫描并且托盘固定不动。
分析扫描的数据，发现数据均呈现两边小中间大的规律，此可得出介质的检测数据在空间分布具有可积分的特性。利用可积分特性采用基于直傅里叶反变换法投影的重建模型，重建出未知介质的几何形状。
三、模型的建立与求解
建立连续型傅里叶变换重建法，利用反变换公式解未知数，需注意该模型的已知量和未知量均为连续实数，结合实际调节傅里叶反变换公式以适应离散、有噪声的应用需求。由 X 射线发射源经过介质吸收、衰减后到探测器的直线为其中，g（s，θ）是 f（x，y）沿 t 方向的投影
=
以单位圆为例，上式表示当直线（s， ），落在单位圆内部时t（s）= ， 当直线（s， ）落在单位圆外部时g（s， ）=0， >1。
3.1 未知介质 I 图像及位置的确定
图像投影重建的过程是退化过程和复原过程，投影时丢失了沿射线方向的分辨
能力即退化过程，重建时又恢复了二维空间的分辨能力即复原过程。其原理如下：
求图像密度函数f（x，y）2、通过 Radon变换获取密度函数的投影函数 3、对投影函数进行一维傅里叶变换 4、在频域空间内插值处理，使极坐标系栅格化，由极坐标的f（ ， ）求出笛卡尔坐标的 F（u，v）5、得到二维空间密度图像函数的傅里叶变换6、进行傅里叶反变换 7、得到密度函数图像。
将数据导入matlab中会生成一个密度函数 f（x，y），则该函数的二维傅里叶变换为
F（u，v） f（x，y）exp[ j2（ux vy）]dxdy
函數对应的图形在x 轴上的投影为：gy（x）
密度函数f（x，y）经Radon变换得到投影函数，如下：
图中定义旋转坐标：s=xcosq+ysinq，t= -xsinq+ycosq。将函数投影的直线定为x轴，投影通过对距离为s1的一组平行线t 进行函数积分，积分路径沿直线s1= x cosq+ y sinq进行，投影可表示为Rf（s，q）。
对投影函数进行一维傅里叶变换，在变换前需要对数据进行扩充处理，即扩大栅格的接收距离，扩大到2n，扩大部分填充为0。在栅格的接收方向上将实际数据移动到两端，中间部分为填充的 0。投影函数的一维傅里叶变换的极坐标G（r，q）为G（r， ）=
此时需将数据反向处理：中间的数据移动到两端，两端的数据移动到中间。进行二维插值，栅格接收方向如图所示，第一象限和第二象限的极半径为负，极坐标G（r，）栅格化为笛卡尔坐标F（u，v）。
进行指数变换：令urcos，vrsin 。此时，点（u，v）在一条距原点距离为 r 的一条直线，且直线斜率ktan，投影变换将与二维变换中的一直线有相同的傅氏变换，即二维傅里叶变换为 F（u，v）=G（r， ）
再次移动数据，直流分量移动到中央，中心是低频，向外是高频。二维傅里叶变换后又将数据反向移动得到目标图像 为
考虑数据情况，调节理论得出的傅里叶反变换公式以适应离散、有噪声应用的需求。设{h（x，y）|x=0，…，m-1；y=0，…n-1}为二维图像信号，其离散傅里叶变换及其逆变换分别为
因为二维离散傅里叶变换有可分离性，故可视其由沿x，y 轴方向的两个一维傅里叶变换构成。
其中， 表示y轴方向的一维傅里叶变换， 表示x 轴方向的一维傅里叶变换，
同理，二维离散傅里叶逆变换亦可视为由沿 u，v轴方向的两个一维傅里叶变换构成。
四、模型的评价与推广
模型考虑了数据的离散性，将二维连续傅里叶反变换调节为二维离散傅里叶逆变换，更能适应离散、有噪声应用的需求，具有广泛实用性。投影重建模型求解过程中使用的傅里叶反变换法虽然便于求解，但是成像效果相对于卷积投影法，干涉投影法有所欠缺，后期可以做更深入的讨论。
参考文献
[1]张贤明，MATLAB 语言及应用案例[M]，南京：东南大学出版社，2010.
[2]曾更生.医学图像重建入门[J].北京：高等教育出版社，2009：135，148.21
（作者单位：重庆交通大学）
关键词：投影重建图像；傅里叶变换与逆变换；插值法
一、问题的背景
CT是利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，获取样品内部的结构信息，并且不破坏样品的一项较先进的扫描技术。因此，CT 技术在影像技术领域占据着重要作用。一种典型的二维 CT 系统是由平行入射的 X 射线和 512 个探测器单元组成，X 射线垂直于探测器平面且相对位置固定不变，整个发射-接收系统绕某固定旋转中心逆时针旋转 180 次。对每一个 X 射线方向，在具有 512 个等距单元的探测器上测量经固定不动的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量，并经增益等处理后得到 180 组接收信息。
二、问题的分析
二维 CT 系统检测样品的过程可以理解为 512 条相互平行的 X 射线与探测器上 512个等距单元一一对应且相对位置固定，检测样品时接收-发射系统与样品可看作在一个平面，扫描物体时 CT 系统绕固定旋转中心平行于样品托盘逆时针转动扫描并且托盘固定不动。
分析扫描的数据，发现数据均呈现两边小中间大的规律，此可得出介质的检测数据在空间分布具有可积分的特性。利用可积分特性采用基于直傅里叶反变换法投影的重建模型，重建出未知介质的几何形状。
三、模型的建立与求解
建立连续型傅里叶变换重建法，利用反变换公式解未知数，需注意该模型的已知量和未知量均为连续实数，结合实际调节傅里叶反变换公式以适应离散、有噪声的应用需求。由 X 射线发射源经过介质吸收、衰减后到探测器的直线为其中，g（s，θ）是 f（x，y）沿 t 方向的投影
=
以单位圆为例，上式表示当直线（s， ），落在单位圆内部时t（s）= ， 当直线（s， ）落在单位圆外部时g（s， ）=0， >1。
3.1 未知介质 I 图像及位置的确定
图像投影重建的过程是退化过程和复原过程，投影时丢失了沿射线方向的分辨
能力即退化过程，重建时又恢复了二维空间的分辨能力即复原过程。其原理如下：
求图像密度函数f（x，y）2、通过 Radon变换获取密度函数的投影函数 3、对投影函数进行一维傅里叶变换 4、在频域空间内插值处理，使极坐标系栅格化，由极坐标的f（ ， ）求出笛卡尔坐标的 F（u，v）5、得到二维空间密度图像函数的傅里叶变换6、进行傅里叶反变换 7、得到密度函数图像。
将数据导入matlab中会生成一个密度函数 f（x，y），则该函数的二维傅里叶变换为
F（u，v） f（x，y）exp[ j2（ux vy）]dxdy
函數对应的图形在x 轴上的投影为：gy（x）
密度函数f（x，y）经Radon变换得到投影函数，如下：
图中定义旋转坐标：s=xcosq+ysinq，t= -xsinq+ycosq。将函数投影的直线定为x轴，投影通过对距离为s1的一组平行线t 进行函数积分，积分路径沿直线s1= x cosq+ y sinq进行，投影可表示为Rf（s，q）。
对投影函数进行一维傅里叶变换，在变换前需要对数据进行扩充处理，即扩大栅格的接收距离，扩大到2n，扩大部分填充为0。在栅格的接收方向上将实际数据移动到两端，中间部分为填充的 0。投影函数的一维傅里叶变换的极坐标G（r，q）为G（r， ）=
此时需将数据反向处理：中间的数据移动到两端，两端的数据移动到中间。进行二维插值，栅格接收方向如图所示，第一象限和第二象限的极半径为负，极坐标G（r，）栅格化为笛卡尔坐标F（u，v）。
进行指数变换：令urcos，vrsin 。此时，点（u，v）在一条距原点距离为 r 的一条直线，且直线斜率ktan，投影变换将与二维变换中的一直线有相同的傅氏变换，即二维傅里叶变换为 F（u，v）=G（r， ）
再次移动数据，直流分量移动到中央，中心是低频，向外是高频。二维傅里叶变换后又将数据反向移动得到目标图像 为
考虑数据情况，调节理论得出的傅里叶反变换公式以适应离散、有噪声应用的需求。设{h（x，y）|x=0，…，m-1；y=0，…n-1}为二维图像信号，其离散傅里叶变换及其逆变换分别为
因为二维离散傅里叶变换有可分离性，故可视其由沿x，y 轴方向的两个一维傅里叶变换构成。
其中， 表示y轴方向的一维傅里叶变换， 表示x 轴方向的一维傅里叶变换，
同理，二维离散傅里叶逆变换亦可视为由沿 u，v轴方向的两个一维傅里叶变换构成。
四、模型的评价与推广
模型考虑了数据的离散性，将二维连续傅里叶反变换调节为二维离散傅里叶逆变换，更能适应离散、有噪声应用的需求，具有广泛实用性。投影重建模型求解过程中使用的傅里叶反变换法虽然便于求解，但是成像效果相对于卷积投影法，干涉投影法有所欠缺，后期可以做更深入的讨论。
参考文献
[1]张贤明，MATLAB 语言及应用案例[M]，南京：东南大学出版社，2010.
[2]曾更生.医学图像重建入门[J].北京：高等教育出版社，2009：135，148.21
（作者单位：重庆交通大学）