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笔者听了一堂“线性规划”课。从同行们的言语中，感受到对它的不屑。但在我眼中，这却是一堂“看似遗憾，实却精彩”的数学课。现以其教学实录为例，谈谈自己的感想。
1. 教学设计框架
2. 教学实录
2.1构建数学模型
师：现在我们一起来解决实际生产中遇到的这么一个问题……(停留几分钟读题、思考)
师：解决问题应该以什么作为突破口？
生：当然是所要求的问题。
师：对。那本题的问题是什么？能否具体一点？和哪些量有关？
……
师：这是一个实际问题，能否用数学语言来描述它们之间的关系？
生1：……
师：嗯，不错。已知条件还告诉我们哪些信息？它们之间有什么联系？能否也将它们转化成数学语言？(详细过程略)
师：对。具体来说，就是……
生：……
师：好。回过头检查一下还有没有漏掉的条件？
生：好像没有了，条件都用完了。
生：(恍然大悟)哦，还要注意x、y要有实际意义,还得非负。
师：很好!……这和我们以前见过的最值问题有什么不同？
……
师：对。变量最高次数都是一次……把这类问题称为线性规划问题。
生：(心情很愉快)哦！原来如此。
2.2 数学模型求解
2.2.1问题转化
师：我们的问题转化为在这个约束条件下，求z=3x 2y的最大值。怎样求呢?
生2：前面我们学过这个约束条件它表示一个平面区域，先把平面区域表示出来再作打算。
师：还想到了什么？
生2：我在想：图像和目标函数有什么联系？一个是图像，另一个是函数式。
师：你能发现这点已经很不错了。(停顿一会儿)一个是形，一个是数，怎样统一？
生3：(突然发现)z=3x 2y的图像也是直线。
师：何以见得？能给大家解释一下吗？
……
师：能在坐标系下找出z的几何意义吗?
生4：将目标函数改写成截距式……
师：很好！很好！到此我们所求的问题就可以转化成怎样的问题？大家能不能将其叙述一下？
生：问题就转化为……
2.2.2具体求解
学生动手求解，师巡视，选择具有代表性的三位学生在黑板上展示他们求解过程。生A图像不正确且没有答案，生B图像与答案均不正确，生C全正确。
2.2.3反思优化
师请三位同学解释解题过程，生A讲述了自己的难点。
师：生C，你能给生A作示范，怎样从图像上看答案吗？(稍后继续提问)生B、生C为什么同样的方法却得到两种不同结果呢？(生B通过自我反思，发现是作图产生了误差。)
师：(追问)为什么会发生误差？
生B：因为我们作的是草图，没有严格用直尺来画，所以产生误差。
生5：如果都用直尺来画，那不是很花时间吗？
师：如何解决这个矛盾呢？(稍停)大家可以仔细想想，什么情况下发生误差的可能性最大？
生：当……
师：嗯。不错，直线靠得比较紧密的时候，用数学语言来描述就是……
生：就是斜率相差不大的时候。
师：非常好，抓住了问题的关键。事实上，我们作草图时就需要抓住它们直线斜率的关系。尤其是过临界点的时候……(师抓住机会，进行示范)
2.2.4思维发散
(1)本题还有没有其他解法？这些解法可以推广吗？
(2)如果目标函数斜率变化，结合图像，你能说出取得最大值的情形有几种吗？
2.3归纳总结
师生一起回顾建模、求解、反思过程，用精炼的语言总结出图解法求解的步骤及注意事项。
3. 对本节课的几点感悟
这堂课表面看确实有太多的遗憾：从课堂容量看，一节课仅仅讲了一个题；从教学环节看，少了练习与巩固这一重要环节；从高考备战看，连高考题的影子都没见。但从笔者的角度看，这才是一堂精彩的数学课，表现在以下几点：
3.1重视数学模型的构建
在教学中,“线性规划”往往被脱掉“应用”的外衣,用一个纯数学的问题代替直接进行求解、变形。而本堂课正体现课标的理念,以“问题为纽带”,引导学生如何将问题中涉及的信息用数学语言表述出来,如何构建一个数学模型。虽然本节课不是一堂真正意义上的数学建模课,但它这种“力求使学生体验数学在实际问题中的作用”“重视学生数学建模能力培养”的意识是非常可贵的。
3.2重视学生的思维过程
“注重提高学生的数学思维能力”是高中课程基本理念之一。了解学生真实的思维过程是提高数学思维能力的关键。本堂课：(1)教师通过追问，如“何以见得？能给大家解释一下吗”去挖掘学生深层次的想法；(2)鼓励学生“大声地出声想”，查找“受阻点”，如：生A，完成的情况很糟，但不是简单否定，而是给他机会说出难点所在；同时也给完成情况好的生C机会，作了一次较高水平的示范。通过这些方式，充分暴露学生的思维过程，发现问题，同时使学生不断对自己的思维进行反思调控，促进学生思维能力的提高。
3.3保持问题的复杂性，通过搭脚手架给予帮助
教师在教学过程中，始终保持问题的复杂性。当学生遇到困难时，(1)教师通过创设启发性的问题，如：“已知条件还告诉我们哪些信息？它们之间有什么联系”“一个是形，一个是数，该如何统一”，激发学生学习的主动性；(2)先让学生去想，动手去“犯错误”，在学生“最近发展区”精心创设问题情境，引导学生走出“低谷”。如：“作草图时要抓住直线斜率”这一环节，因为学生一般都习惯用描点法作图，而不会从“斜率”这点去思考，所以教师就通过设置“什么情况下发生误差的可能性最大”的问题，学生从中可以发现“直线靠得比较紧密的时候，发生误差的可能性最大”，从而顺利地将目光集中到“斜率”上了。
3.4重视学生反思
在教学过程中，教师不断通过问题来促使学生反思。如“回过头检查一下还有没有漏掉的条件？”在模型求解的最后一个环节，通过暴露问题和矛盾,促使学生对解题过程进行反思优化。最后对整堂课进行归纳总结,实际上也是一个反思的过程。
除此之外，教师也很注重及时反馈学生的回答，注重对学生成绩的肯定，增强学生解决问题的信心。笔者认为，偶尔组织一下这种别开生面、令人耳目一新的数学课，何尝不可呢？
参考文献：
[1]曹才翰,章建跃.数学教育心理学[M].北京:北京师范大学出版社,1999.
[2]喻平.数学教育心理学[M].南宁:广西教育出版社,2004.
[3]张奠宙.中国数学双基教学[M].上海:上海教育出版社.
[4]王策三.教学认识论[M]. 北京:北京师范大学出版社.
(西南大学数学与统计学院)
1. 教学设计框架
2. 教学实录
2.1构建数学模型
师：现在我们一起来解决实际生产中遇到的这么一个问题……(停留几分钟读题、思考)
师：解决问题应该以什么作为突破口？
生：当然是所要求的问题。
师：对。那本题的问题是什么？能否具体一点？和哪些量有关？
……
师：这是一个实际问题，能否用数学语言来描述它们之间的关系？
生1：……
师：嗯，不错。已知条件还告诉我们哪些信息？它们之间有什么联系？能否也将它们转化成数学语言？(详细过程略)
师：对。具体来说，就是……
生：……
师：好。回过头检查一下还有没有漏掉的条件？
生：好像没有了，条件都用完了。
生：(恍然大悟)哦，还要注意x、y要有实际意义,还得非负。
师：很好!……这和我们以前见过的最值问题有什么不同？
……
师：对。变量最高次数都是一次……把这类问题称为线性规划问题。
生：(心情很愉快)哦！原来如此。
2.2 数学模型求解
2.2.1问题转化
师：我们的问题转化为在这个约束条件下，求z=3x 2y的最大值。怎样求呢?
生2：前面我们学过这个约束条件它表示一个平面区域，先把平面区域表示出来再作打算。
师：还想到了什么？
生2：我在想：图像和目标函数有什么联系？一个是图像，另一个是函数式。
师：你能发现这点已经很不错了。(停顿一会儿)一个是形，一个是数，怎样统一？
生3：(突然发现)z=3x 2y的图像也是直线。
师：何以见得？能给大家解释一下吗？
……
师：能在坐标系下找出z的几何意义吗?
生4：将目标函数改写成截距式……
师：很好！很好！到此我们所求的问题就可以转化成怎样的问题？大家能不能将其叙述一下？
生：问题就转化为……
2.2.2具体求解
学生动手求解，师巡视，选择具有代表性的三位学生在黑板上展示他们求解过程。生A图像不正确且没有答案，生B图像与答案均不正确，生C全正确。
2.2.3反思优化
师请三位同学解释解题过程，生A讲述了自己的难点。
师：生C，你能给生A作示范，怎样从图像上看答案吗？(稍后继续提问)生B、生C为什么同样的方法却得到两种不同结果呢？(生B通过自我反思，发现是作图产生了误差。)
师：(追问)为什么会发生误差？
生B：因为我们作的是草图，没有严格用直尺来画，所以产生误差。
生5：如果都用直尺来画，那不是很花时间吗？
师：如何解决这个矛盾呢？(稍停)大家可以仔细想想，什么情况下发生误差的可能性最大？
生：当……
师：嗯。不错，直线靠得比较紧密的时候，用数学语言来描述就是……
生：就是斜率相差不大的时候。
师：非常好，抓住了问题的关键。事实上，我们作草图时就需要抓住它们直线斜率的关系。尤其是过临界点的时候……(师抓住机会，进行示范)
2.2.4思维发散
(1)本题还有没有其他解法？这些解法可以推广吗？
(2)如果目标函数斜率变化，结合图像，你能说出取得最大值的情形有几种吗？
2.3归纳总结
师生一起回顾建模、求解、反思过程，用精炼的语言总结出图解法求解的步骤及注意事项。
3. 对本节课的几点感悟
这堂课表面看确实有太多的遗憾：从课堂容量看，一节课仅仅讲了一个题；从教学环节看，少了练习与巩固这一重要环节；从高考备战看，连高考题的影子都没见。但从笔者的角度看，这才是一堂精彩的数学课，表现在以下几点：
3.1重视数学模型的构建
在教学中,“线性规划”往往被脱掉“应用”的外衣,用一个纯数学的问题代替直接进行求解、变形。而本堂课正体现课标的理念,以“问题为纽带”,引导学生如何将问题中涉及的信息用数学语言表述出来,如何构建一个数学模型。虽然本节课不是一堂真正意义上的数学建模课,但它这种“力求使学生体验数学在实际问题中的作用”“重视学生数学建模能力培养”的意识是非常可贵的。
3.2重视学生的思维过程
“注重提高学生的数学思维能力”是高中课程基本理念之一。了解学生真实的思维过程是提高数学思维能力的关键。本堂课：(1)教师通过追问，如“何以见得？能给大家解释一下吗”去挖掘学生深层次的想法；(2)鼓励学生“大声地出声想”，查找“受阻点”，如：生A，完成的情况很糟，但不是简单否定，而是给他机会说出难点所在；同时也给完成情况好的生C机会，作了一次较高水平的示范。通过这些方式，充分暴露学生的思维过程，发现问题，同时使学生不断对自己的思维进行反思调控，促进学生思维能力的提高。
3.3保持问题的复杂性，通过搭脚手架给予帮助
教师在教学过程中，始终保持问题的复杂性。当学生遇到困难时，(1)教师通过创设启发性的问题，如：“已知条件还告诉我们哪些信息？它们之间有什么联系”“一个是形，一个是数，该如何统一”，激发学生学习的主动性；(2)先让学生去想，动手去“犯错误”，在学生“最近发展区”精心创设问题情境，引导学生走出“低谷”。如：“作草图时要抓住直线斜率”这一环节，因为学生一般都习惯用描点法作图，而不会从“斜率”这点去思考，所以教师就通过设置“什么情况下发生误差的可能性最大”的问题，学生从中可以发现“直线靠得比较紧密的时候，发生误差的可能性最大”，从而顺利地将目光集中到“斜率”上了。
3.4重视学生反思
在教学过程中，教师不断通过问题来促使学生反思。如“回过头检查一下还有没有漏掉的条件？”在模型求解的最后一个环节，通过暴露问题和矛盾,促使学生对解题过程进行反思优化。最后对整堂课进行归纳总结,实际上也是一个反思的过程。
除此之外，教师也很注重及时反馈学生的回答，注重对学生成绩的肯定，增强学生解决问题的信心。笔者认为，偶尔组织一下这种别开生面、令人耳目一新的数学课，何尝不可呢？
参考文献：
[1]曹才翰,章建跃.数学教育心理学[M].北京:北京师范大学出版社,1999.
[2]喻平.数学教育心理学[M].南宁:广西教育出版社,2004.
[3]张奠宙.中国数学双基教学[M].上海:上海教育出版社.
[4]王策三.教学认识论[M]. 北京:北京师范大学出版社.
(西南大学数学与统计学院)