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摘要
中程无线功率传输（WPT）可以采用几种不同的方式实现，如通过电感或电容耦合、谐振或非谐振网络实现。本文主要研究了通过感应耦合谐振器实现的WPT链路，而且只着重研究了利用2个谐振器的链路（直接链路）并工作在主谐振频率下的情况。研究结果表明，当工作在主谐振频率下，可以根据网络参数来对传输效率或负载功率进行优化。
关键词中等传输距离；无线功率传输链路；电感耦合；谐振/非谐振网络；最优化
中图分类号TN01
文献标志码A
收稿日期20161128
作者简介Mauro Mongiardo，男，博士，教授，IEEE Fellow，研究方向为无线能量传输和计算电磁学。mauro.mongiardo@unipg.it
Giuseppina Monti，女，博士，讲师，研究方向为无线能量传输。giuseppina.monti@unisalento.it
1DE， University of Perugia，Perugia 06123，Italy
2南京理工大学电子工程与光电技术学院，南京，210094
3DEI，School of Information Technology，University of Bologna，Bologna 40126，Italy
4DII，University of Salento，Lecce 73100，Italy
0 引言
第一次无线功率传输（WPT）的演示可追溯到1891年，是特斯拉开发电容耦合的一个实验。近年来，WPT技术获得了新的关注，其中采用电感耦合系统谐振器以实现中程无线功率传输（WPT）[110]也得到了特别的关注。一般来说，不同的应用场合具有不同的要求，如在传输距离、效率和负载功率方面。因此，已有文献提出并研究了不同的架构和操作方式。例如，研究使用附加谐振器的间接耦合方案，不直接将发射端连接到负载端，以延长整个链路的传输距离[1112]。在这些方案中，同步谐振器（中继元素）被添加在发送谐振器和接收谐振器之间[1318]。
针对使用直接方案谐振的WPT链路情况（即对于只有2个谐振器的情况），研究者讨论了实现最大化负载功率或传输效率的可能性，该问题已经在文献[1920]中解决。需要特别指出的是，在文献[19]中已经证明，对于给定的WPT链路，不可能同时获得最大化负载功率和效率，也就是说，最大化负载功率和最大化效率对应着不同的负载。另一方面，在文献[20]中已经表明，当设计的WPT链路必须用于实现特定输入阻抗和负载并使其性能最优化时，仅存在一个最优设计，能够同时允许最大化传输效率和负载功率。值得强调的是，在文献[1920]中，假定WPT链路的2个谐振器具有相同频率的谐振ω0，简称为主谐振，同时假定其为工作频率。根据文献[1921]的理论分析，这种工作方式导致了系统的性能由磁耦合系数决定。因此，采用耦合独立的工作方式是一个极具吸引力的选择。文献[21]提出的负载功率和传输效率是磁耦合独立的。这种工作方式可以采用强耦合的WPT链路，通过调节使其工作在2个次级谐振频率上来实现。更具体地说，次谐振频率仅仅只是在耦合系数高于某个阈值时才存在。
人们对用来分析基于电感/电容耦合的WPT链路的方法也进行了一些研究。在早期的研究中，使用谐振方案来最大化感应/电容WPT链路的效率，都是基于耦合模式理论[1，22]的。但是，最近发表的论文已经表明，对于在工作频率低于几百兆赫的系统，可以通过使用集总电路理论进行建模，将WPT链路作为集总元件的二端口网络[19，23]，从而可以得到准确的结果。
本文的贡献为，使用集总电路理论讨论分析工作在主谐振频率（即作为发射器和接收器的2个同步谐振器的谐振频率）处谐振感应式WPT链路的性能。下面将会给出具体的分析并予以讨论，以获得实现最大化负载功率或效率的相关公式。
文本结构如下：在第1节介绍WPT链路的网络表示式；在第2节讨论2种工作方式的谐振感应链路；第3节给出能实现最优化WPT链路性能的表达式。 最后，对谐振感应WPT链路的性能进行实验测试及相关分析。
1 二端口网络表示式
此處针对一个用于无线功率传输的从发射端到负载的线性互易链路进行分析。采用网络形式，将WPT链路表示成一个互易的二端口网络。为了引入关键的变量，假设电源在端口1上，负载在端口2上，ZL=RL+jXL。根据图1，从电源端传输到二端口网络的有功输入功率Pin可以表示为
2 工作模式的分类
到目前为止，已经考虑了通用的双端口网络的情况。在WPT中，最常用的一种结构是耦合电感器和适当的补偿电容，如图3所示。所谓的补偿电容是指在所选择的工作频率f0=ω0/（2π）下实现串联谐振。这有助于考虑对于给定情况下的输入阻抗特性。下面给出一个例子，表1中列出了相关参数值，其输入阻抗与归一化频率u=ω/ω0的关系如图4所示。注意到，当输入电抗Xin在u=1时，即在主谐振频率下总是为零。对于高耦合系数k的情况，除了上述的频率外，输入电抗还在其他2个频率处为零，称之为次级谐振频率。
对所选例子，只考虑负载上的功率和传输效率也同样具有指导意义。从图5可以看出，效率η随着耦合系数的增大而增加。但是，与直觉相反的是功率的变化：随着耦合系数的减小而增大。下面将会看到，这种现象与负载电阻RL的选择紧密相关。对于一个给定的负载电阻，存在一个k值，称作临界耦合kc，能够实现最大化的负载功率。或者，相反地，对于给定耦合系数k值，存在优化的电阻值以实现最佳负载功率和最佳效率。
完全同步的谐振器是纯理想的。实际上，2个谐振器的谐振频率（ω1和ω2）总会有所不同。通过引入参数a=ω1/ω2，可以描绘出不同a值下输入电抗的变化。图6给出了不同a值时的情况。我们注意到，当a减小时，主谐振频率增加，但是，当a值超过某个值之后，这种情况将不再存在，如观察到的a=0.96的情况。上述的这种a值下，仍然会存在一个频率值使得电抗部分消失，但是这个频率对应于分叉频率u1，这种情况将在论文第2部分中讨论。 对于a>1，情况也是类似的，如图7所示。在这种情况下，随着a增加，电抗曲线下移。对于a=1.02，仅存在上部谐振频率，对应于上部分叉频率u2，使得电抗部分消失。
通过理论分析可知，输入电阻和二端口网络的输入功率不随a参数的变化而变化。相反，效率和负载功率取决于a，如图8所示。
3 WPT Link的优化设计
在本节中，通过回顾文献[1920]中的结果，对在主谐振频率下工作的谐振感应WPT链路的优化设计进行了探讨。最优化性能设计的表达式是基于最大化负载功率（传输到负载的最大功率MPDL的解决方案）或效率（最大功率传递效率MPTE的解决方案）2种情况。考虑2个不同的问题：
1）对于给定WPT链路，找到对应的负载值，使传输到负载的功率最大化或效率最大化[19]；
2）对于给定的负载，找到最佳参数，以实现特定输入阻抗及最佳性能[20]。
3.1 最优化负载
参考图2，考虑利用阻抗矩阵描述的二端口网络，本文解决了其最优网络配置（即实现最优化性能的源和负载）问题。为了简化表达式，引入以下参数：
对于最大功率传递理论，实现最大化负载功率的优化负载，即负载实现MPDL解，是通过戴维南定理所计算出的输入阻抗（即当端口1短路，在端口2看到的阻抗）的复共轭。对于MPTE解决方案，它可以通过使效率表达式对负载阻抗的实部（RL）和虚部（XL）的偏导数等于零来计算。2个解决方案已在文献[19]中计算，相关公式列在表2中。文献[19]表明，需要使用不同的复数负载来实现MPDL或MPTE方案。另外，文献[19]中的结果证明，2种方案均需要在端口1上串联同一补偿电抗Xc1，以实现最大的功率传递。相应的优化设计如图9所示。从表2中可以看出，当网络参数给定时，可以有2种不同的最优解决方案，即MPDL和MPTE。这意味着，对于给定的网络，不可能同时在负载上获得最大化的功率和傳输效率。
下面给出一个简单的应用例子，考虑2个耦合电感器L1，L2的情况。假设阻抗矩阵的项是Z11=R1+jωL1，Z12=jωM和Z22=R2+jωL2。在这种情况下，通过使用表2中的公式，不难验证：串联到端口1和端口2的补偿电抗Xc1和Xc2的表达式在MPDL和MPTE 2种方案中是相同的。特殊情况，假设Xc1和Xc2为
根据式（14）—（15），串联到端口1和端口2的补偿电抗是电容器，它可以使发射器和接收器谐振在工作频率ω0处。用于实现MPDL（RpL）和MPTE（ReL）的负载电阻的表达式为
对于一般的二端口情况，公式已经罗列在表2中，显然，用以实现MPDL方案和MPTE方案所需要的电阻负载不同。
3.2 在特定的源和负载时的最优化
在大多数WPT实际应用中，电源是给定的，并希望连接输入阻抗Zin的网络工作在最优状态。另外，在大多数情况下，负载也是指定的。因此，感兴趣的问题是找到最优WPT链路设计，实现特定的输入阻抗Zin和给定电阻性负载RL下实现最优化性能，这个问题已经在文献[20]中得到解决。研究表明，当给定负载R0，对输入阻抗为Zin的WPT链路进行设计时，只有一个最优化设计可以同时实现最大负载功率和效率。事实上，从式（7）可以看出，指定输入阻抗Zin的值，则相当于指定有效输入功率Pin。因此，从式（3）可以看到，在这种情况下，最大化效率η等效于最大化负载功率PL。最优化参数设计可以根据二端口网络的共轭镜像阻抗的定义获得。
4 实验设计
为了实验测定WPT链路的性能，在文献[25]中已经搭建了测量系统。如图11所示，这种系统的测量对象为初级有效功率、负载有效功率和效率。为
此，在所考虑的电路中获得3个节点处的正弦电压，表示为V1，V2和VL。间接利用分流电阻器Rshunt两端的电压降来测量输入电流I1，以进行能量传输的性能评估。分流电阻的值应该尽可能低，以避免对效率产生负面影响，从而影响测量精度。考虑到负载为纯电阻，通过测量负载两端的电压降，就可以测量输出电流。
在输入端，信号是由函数发生器产生的具有振幅0.5Vpp的正弦信号，频率范围设置为[15 kHz 35 kHz]，500 Hz步长，并通过缓冲器连接到WPT电路中。 A NI PCI5105数据采集板（DAQ）用于数字化3个考虑的电压V1，V2和VL。在电路中，每个相应节点连接到DAQ通道中。3个通道为同步采样1 MSa/s，分辨率为12位，范围为6 V。对于每个频率，数据存储时间为10 ms。在PC上使用正弦拟合算法来数字处理样本。通过上述方法获得其相量，并用于WPT参数估计。
5 实验结果
5.1 试验装置
试验中使用的是2个空心圆形线圈，如图12所示，直径为140 mm，20圈。线圈的标准电感为128 μH。基于这种线圈，为了实现2个谐振器具有相同的标称谐振频率24.48 kHz，可以将标称值为330 nF
的离散电容器与线圈串联。
分流电阻的标称值为Rshunt=1 Ω，而负载电阻的标称值为RL=5 Ω。分流电阻和负载电阻在进行WPT系统试验前，先使用万用表的四线电阻测量模式来测量其电阻值。
如图11的框图所示，OPA541功率运算放大器作为单位增益电压缓冲器。这种器件提供了所需的低阻抗电源，以便更好地表征WPT系统。需要注意的是，标准的50 Ω网络分析仪不能用于这种特定的电路测量，因为它会影响功率传输能力。
5.2 试验结果
本试验在不同的距离进行了数据采集，以分析谐振器之间的传输耦合系数的变化对负载功率的影响。测量的传输效率η随频率变化的关系如图13的左图所示。此外，负载功率PL的测量结果说明，随着距离增加，2个共振合并为一个，符合耦合谐振器理论，如图13的右图所示。 6 總结
本文采用等效二端口网络的方法对一个谐振感应WPT链路进行了分析。链路工作在主谐振频率下，考虑并解决了2个重要的问题：1）在链路固定的情况下，找到最优源阻抗和负载阻抗；2）给定源和负载，目标是找到最优设计的WPT链路。研究已经表明，对于给定的链路，不可能同时实现最大化负载功率和传输效率。对于一个给定的电阻性负载，如果想要涉及一个优化的链路，以实现特定的输入阻抗值并获得优化的性能，只有一种可能的设计能同时实现最大效率和最大功率传输。我们搭建了实验装置，用以估测WPT链路的性能，并对上述的研究结果进行了有效的验证。
参考文献
References
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中程无线功率传输（WPT）可以采用几种不同的方式实现，如通过电感或电容耦合、谐振或非谐振网络实现。本文主要研究了通过感应耦合谐振器实现的WPT链路，而且只着重研究了利用2个谐振器的链路（直接链路）并工作在主谐振频率下的情况。研究结果表明，当工作在主谐振频率下，可以根据网络参数来对传输效率或负载功率进行优化。
关键词中等传输距离；无线功率传输链路；电感耦合；谐振/非谐振网络；最优化
中图分类号TN01
文献标志码A
收稿日期20161128
作者简介Mauro Mongiardo，男，博士，教授，IEEE Fellow，研究方向为无线能量传输和计算电磁学。mauro.mongiardo@unipg.it
Giuseppina Monti，女，博士，讲师，研究方向为无线能量传输。giuseppina.monti@unisalento.it
1DE， University of Perugia，Perugia 06123，Italy
2南京理工大学电子工程与光电技术学院，南京，210094
3DEI，School of Information Technology，University of Bologna，Bologna 40126，Italy
4DII，University of Salento，Lecce 73100，Italy
0 引言
第一次无线功率传输（WPT）的演示可追溯到1891年，是特斯拉开发电容耦合的一个实验。近年来，WPT技术获得了新的关注，其中采用电感耦合系统谐振器以实现中程无线功率传输（WPT）[110]也得到了特别的关注。一般来说，不同的应用场合具有不同的要求，如在传输距离、效率和负载功率方面。因此，已有文献提出并研究了不同的架构和操作方式。例如，研究使用附加谐振器的间接耦合方案，不直接将发射端连接到负载端，以延长整个链路的传输距离[1112]。在这些方案中，同步谐振器（中继元素）被添加在发送谐振器和接收谐振器之间[1318]。
针对使用直接方案谐振的WPT链路情况（即对于只有2个谐振器的情况），研究者讨论了实现最大化负载功率或传输效率的可能性，该问题已经在文献[1920]中解决。需要特别指出的是，在文献[19]中已经证明，对于给定的WPT链路，不可能同时获得最大化负载功率和效率，也就是说，最大化负载功率和最大化效率对应着不同的负载。另一方面，在文献[20]中已经表明，当设计的WPT链路必须用于实现特定输入阻抗和负载并使其性能最优化时，仅存在一个最优设计，能够同时允许最大化传输效率和负载功率。值得强调的是，在文献[1920]中，假定WPT链路的2个谐振器具有相同频率的谐振ω0，简称为主谐振，同时假定其为工作频率。根据文献[1921]的理论分析，这种工作方式导致了系统的性能由磁耦合系数决定。因此，采用耦合独立的工作方式是一个极具吸引力的选择。文献[21]提出的负载功率和传输效率是磁耦合独立的。这种工作方式可以采用强耦合的WPT链路，通过调节使其工作在2个次级谐振频率上来实现。更具体地说，次谐振频率仅仅只是在耦合系数高于某个阈值时才存在。
人们对用来分析基于电感/电容耦合的WPT链路的方法也进行了一些研究。在早期的研究中，使用谐振方案来最大化感应/电容WPT链路的效率，都是基于耦合模式理论[1，22]的。但是，最近发表的论文已经表明，对于在工作频率低于几百兆赫的系统，可以通过使用集总电路理论进行建模，将WPT链路作为集总元件的二端口网络[19，23]，从而可以得到准确的结果。
本文的贡献为，使用集总电路理论讨论分析工作在主谐振频率（即作为发射器和接收器的2个同步谐振器的谐振频率）处谐振感应式WPT链路的性能。下面将会给出具体的分析并予以讨论，以获得实现最大化负载功率或效率的相关公式。
文本结构如下：在第1节介绍WPT链路的网络表示式；在第2节讨论2种工作方式的谐振感应链路；第3节给出能实现最优化WPT链路性能的表达式。 最后，对谐振感应WPT链路的性能进行实验测试及相关分析。
1 二端口网络表示式
此處针对一个用于无线功率传输的从发射端到负载的线性互易链路进行分析。采用网络形式，将WPT链路表示成一个互易的二端口网络。为了引入关键的变量，假设电源在端口1上，负载在端口2上，ZL=RL+jXL。根据图1，从电源端传输到二端口网络的有功输入功率Pin可以表示为
2 工作模式的分类
到目前为止，已经考虑了通用的双端口网络的情况。在WPT中，最常用的一种结构是耦合电感器和适当的补偿电容，如图3所示。所谓的补偿电容是指在所选择的工作频率f0=ω0/（2π）下实现串联谐振。这有助于考虑对于给定情况下的输入阻抗特性。下面给出一个例子，表1中列出了相关参数值，其输入阻抗与归一化频率u=ω/ω0的关系如图4所示。注意到，当输入电抗Xin在u=1时，即在主谐振频率下总是为零。对于高耦合系数k的情况，除了上述的频率外，输入电抗还在其他2个频率处为零，称之为次级谐振频率。
对所选例子，只考虑负载上的功率和传输效率也同样具有指导意义。从图5可以看出，效率η随着耦合系数的增大而增加。但是，与直觉相反的是功率的变化：随着耦合系数的减小而增大。下面将会看到，这种现象与负载电阻RL的选择紧密相关。对于一个给定的负载电阻，存在一个k值，称作临界耦合kc，能够实现最大化的负载功率。或者，相反地，对于给定耦合系数k值，存在优化的电阻值以实现最佳负载功率和最佳效率。
完全同步的谐振器是纯理想的。实际上，2个谐振器的谐振频率（ω1和ω2）总会有所不同。通过引入参数a=ω1/ω2，可以描绘出不同a值下输入电抗的变化。图6给出了不同a值时的情况。我们注意到，当a减小时，主谐振频率增加，但是，当a值超过某个值之后，这种情况将不再存在，如观察到的a=0.96的情况。上述的这种a值下，仍然会存在一个频率值使得电抗部分消失，但是这个频率对应于分叉频率u1，这种情况将在论文第2部分中讨论。 对于a>1，情况也是类似的，如图7所示。在这种情况下，随着a增加，电抗曲线下移。对于a=1.02，仅存在上部谐振频率，对应于上部分叉频率u2，使得电抗部分消失。
通过理论分析可知，输入电阻和二端口网络的输入功率不随a参数的变化而变化。相反，效率和负载功率取决于a，如图8所示。
3 WPT Link的优化设计
在本节中，通过回顾文献[1920]中的结果，对在主谐振频率下工作的谐振感应WPT链路的优化设计进行了探讨。最优化性能设计的表达式是基于最大化负载功率（传输到负载的最大功率MPDL的解决方案）或效率（最大功率传递效率MPTE的解决方案）2种情况。考虑2个不同的问题：
1）对于给定WPT链路，找到对应的负载值，使传输到负载的功率最大化或效率最大化[19]；
2）对于给定的负载，找到最佳参数，以实现特定输入阻抗及最佳性能[20]。
3.1 最优化负载
参考图2，考虑利用阻抗矩阵描述的二端口网络，本文解决了其最优网络配置（即实现最优化性能的源和负载）问题。为了简化表达式，引入以下参数：
对于最大功率传递理论，实现最大化负载功率的优化负载，即负载实现MPDL解，是通过戴维南定理所计算出的输入阻抗（即当端口1短路，在端口2看到的阻抗）的复共轭。对于MPTE解决方案，它可以通过使效率表达式对负载阻抗的实部（RL）和虚部（XL）的偏导数等于零来计算。2个解决方案已在文献[19]中计算，相关公式列在表2中。文献[19]表明，需要使用不同的复数负载来实现MPDL或MPTE方案。另外，文献[19]中的结果证明，2种方案均需要在端口1上串联同一补偿电抗Xc1，以实现最大的功率传递。相应的优化设计如图9所示。从表2中可以看出，当网络参数给定时，可以有2种不同的最优解决方案，即MPDL和MPTE。这意味着，对于给定的网络，不可能同时在负载上获得最大化的功率和傳输效率。
下面给出一个简单的应用例子，考虑2个耦合电感器L1，L2的情况。假设阻抗矩阵的项是Z11=R1+jωL1，Z12=jωM和Z22=R2+jωL2。在这种情况下，通过使用表2中的公式，不难验证：串联到端口1和端口2的补偿电抗Xc1和Xc2的表达式在MPDL和MPTE 2种方案中是相同的。特殊情况，假设Xc1和Xc2为
根据式（14）—（15），串联到端口1和端口2的补偿电抗是电容器，它可以使发射器和接收器谐振在工作频率ω0处。用于实现MPDL（RpL）和MPTE（ReL）的负载电阻的表达式为
对于一般的二端口情况，公式已经罗列在表2中，显然，用以实现MPDL方案和MPTE方案所需要的电阻负载不同。
3.2 在特定的源和负载时的最优化
在大多数WPT实际应用中，电源是给定的，并希望连接输入阻抗Zin的网络工作在最优状态。另外，在大多数情况下，负载也是指定的。因此，感兴趣的问题是找到最优WPT链路设计，实现特定的输入阻抗Zin和给定电阻性负载RL下实现最优化性能，这个问题已经在文献[20]中得到解决。研究表明，当给定负载R0，对输入阻抗为Zin的WPT链路进行设计时，只有一个最优化设计可以同时实现最大负载功率和效率。事实上，从式（7）可以看出，指定输入阻抗Zin的值，则相当于指定有效输入功率Pin。因此，从式（3）可以看到，在这种情况下，最大化效率η等效于最大化负载功率PL。最优化参数设计可以根据二端口网络的共轭镜像阻抗的定义获得。
4 实验设计
为了实验测定WPT链路的性能，在文献[25]中已经搭建了测量系统。如图11所示，这种系统的测量对象为初级有效功率、负载有效功率和效率。为
此，在所考虑的电路中获得3个节点处的正弦电压，表示为V1，V2和VL。间接利用分流电阻器Rshunt两端的电压降来测量输入电流I1，以进行能量传输的性能评估。分流电阻的值应该尽可能低，以避免对效率产生负面影响，从而影响测量精度。考虑到负载为纯电阻，通过测量负载两端的电压降，就可以测量输出电流。
在输入端，信号是由函数发生器产生的具有振幅0.5Vpp的正弦信号，频率范围设置为[15 kHz 35 kHz]，500 Hz步长，并通过缓冲器连接到WPT电路中。 A NI PCI5105数据采集板（DAQ）用于数字化3个考虑的电压V1，V2和VL。在电路中，每个相应节点连接到DAQ通道中。3个通道为同步采样1 MSa/s，分辨率为12位，范围为6 V。对于每个频率，数据存储时间为10 ms。在PC上使用正弦拟合算法来数字处理样本。通过上述方法获得其相量，并用于WPT参数估计。
5 实验结果
5.1 试验装置
试验中使用的是2个空心圆形线圈，如图12所示，直径为140 mm，20圈。线圈的标准电感为128 μH。基于这种线圈，为了实现2个谐振器具有相同的标称谐振频率24.48 kHz，可以将标称值为330 nF
的离散电容器与线圈串联。
分流电阻的标称值为Rshunt=1 Ω，而负载电阻的标称值为RL=5 Ω。分流电阻和负载电阻在进行WPT系统试验前，先使用万用表的四线电阻测量模式来测量其电阻值。
如图11的框图所示，OPA541功率运算放大器作为单位增益电压缓冲器。这种器件提供了所需的低阻抗电源，以便更好地表征WPT系统。需要注意的是，标准的50 Ω网络分析仪不能用于这种特定的电路测量，因为它会影响功率传输能力。
5.2 试验结果
本试验在不同的距离进行了数据采集，以分析谐振器之间的传输耦合系数的变化对负载功率的影响。测量的传输效率η随频率变化的关系如图13的左图所示。此外，负载功率PL的测量结果说明，随着距离增加，2个共振合并为一个，符合耦合谐振器理论，如图13的右图所示。 6 總结
本文采用等效二端口网络的方法对一个谐振感应WPT链路进行了分析。链路工作在主谐振频率下，考虑并解决了2个重要的问题：1）在链路固定的情况下，找到最优源阻抗和负载阻抗；2）给定源和负载，目标是找到最优设计的WPT链路。研究已经表明，对于给定的链路，不可能同时实现最大化负载功率和传输效率。对于一个给定的电阻性负载，如果想要涉及一个优化的链路，以实现特定的输入阻抗值并获得优化的性能，只有一种可能的设计能同时实现最大效率和最大功率传输。我们搭建了实验装置，用以估测WPT链路的性能，并对上述的研究结果进行了有效的验证。
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