【摘要】 本文研究无限区间上非线性Volterra延迟积分微分方程(VDIDEs)隐式Euler法的稳定性。文章首先给出了VDIDEs真解稳定及渐近稳定的充分条件，然后证明了隐式Euler法应用于上述问题得到的数值方法具有相同的特性。
　　【关键词】 Volterra延迟积分微分方程；隐式Euler法；稳定性；渐近稳定性
　　
　　Numerical stability of Implicit euler method fornmonlinear volterra Delay Integro-Differential Equations
　　ZHANGZhuofei YANXiukun
　　【Abstract】 This paper is concerned with the numerical stability of implicit Euler method for Volterra delay integro-differential equations(VDIDEs).Sufficient conditions for VDIDEs to be stable and asymptotically- stable are derived. It is proven that the implicit Euler method presereves the same properties .
　　【Key words】 Volterra delay integro-differential equations;Implicit Euler method;Stability; Asymptotic stability
　　
　　【中图分类号】：G633.6【文献标识码】：A 【文章编号】：1009-9646(2008)04-0168-03
　　设<•，•>是欧氏空间CN中的内积，•是由该内积导出的范数，考虑Volterra延迟积分微分方程(VDIDEs)初值问题
　　y'(t)=f(t,y(t),y(t-τ)），∫tt-τg(t,θ,y(θ)，dθ),t≥0y(t)=φ(t)-τ≤t≤0(1.1)
　　这里延迟量τ>0是实常数，f:[（0,+∞）×CN×CN×CN→CN，g：R×R×CN→CN, 和φ：[-τ，0]→CN是给定的充分光滑的映射，这里及下文总假定初值问题(1.1)有唯一真解y（t）。
　　VDIDEs在许多领域有广泛应用(^[5,7,9]等)，由于解析解一般难以获得，因此其数值处理的研究显得十分必要。几十年来，众多学者致力于VDIDEs算法理论的研究，取得了大量研究成果(^[1-4,6,10]等)。最近，Koto^[8]针对问题(1.1)的线性情形给出了真解渐近稳定的充分条件并讨论了Runge- Kutta方法的渐近稳定性；张诚坚等^[11]就问题(1.1)的特殊形式研究了真解的稳定性及BDF方法的数值稳定性.本文针对问题(1.1)的一般情形研究隐式Euler法的数值稳定性。文章首先给出了VDIDEs真解稳定及渐近稳定的充分条件，然后证明隐式Euler法应用于上述问题得到的数值方法具有相同的特性。
　　1Volterra延迟积分微分方程的稳定性
　　为研究VDIDEs初值问题(1.1)的稳定性，我们引入相应的扰动问题。
　　z'(t)=f(t,z(t),z(t-τ)），∫tt-τg(t,θ,z(θ)dθ),t≥0z(t)=φ(t)-τ≤t≤0， (2.1)
　　这里φ:[-τ,0]→CN是给定的充分光滑的映射，并记问题(2.1)的唯一真解为z(t)。
　　对于初值问题(1.1)和(2.1)，我们设映射f和g满足条件
　　
　　2,γ).
　　注意VDIDEs是Volterra泛函微分方程(VFPDs)的一个重要类型，将文^[12]的定理2.1和定理2.2应用到VDIDEs，易知如下定理真确：
　　定理2.1 设Volterra延迟积分微分方程初值问题(1.1)和(2.1)均属于问题类D（a，β1+β2，γ），那么
　　
　　定理2.1中的(2.5)和(2.6)式分别表征初值问题(1.1)的稳定性及渐近稳定性。
　　2 隐式Euler法的数值稳定性
　　将求解常微分方程的隐式 法应用于VDIDEs初值问题(1.1)，有
　　
　　定理3.1 方法(3.1)-(3.2)按定步长h=τ/m(m是正整数)分别用于求解D(a，β1+β2,γτ)类初值问题(1.1)和(2.1)所得到的数值解为yn和zn，那么
　　
　　上式两边分别与wn+1作内积，由条件(2.2)-(2.4)并利用Cauchy-Schwartz不等式得
　　
　　由此完成(2)的证明及定理3.1的证明。
　　
　　参考文献
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　　收稿日期：2008-4-20
　　
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