论文部分内容阅读
摘要随着中学数学教学改革的发展与深入,教学方法越来越受到重视。在教学过程中把课堂教学与学生学习情感、生活情境联系起来,在教学中恰当地创设课堂情境,往往能很好地落实数学理念,将实际问题抽象转化成数学模型,使学生在自主探索思考中建构有价值的数学知识,同时促进了学生的情感、知识、能力和谐发展。可见教学的方法具有多样性,数学教学工作可以说是一种艺术工作。
关键词中学数学教学 科学 艺术 数学本质
中图分类号:G633.6文献标识码:A
很少有人对数学这门学科进行深入的研究,比如数学的产生、发展和形成;具有哪些特殊性;数学在促进人类文明的过程中所起的作用;如何学好数学等等。笔者从数学的简洁性、数学的科学性、相通性三个方面进行探讨数学的特性进而探讨数学教学的艺术。
1 数学具有简洁性
数学语言非常简洁精确,它具有独特的价值,它是科学语言的基础。从宏观来说,人们常以“成千上万”来研究多,再多就是“百万”、“千万”了,更多则是“亿万”。可是,数学能作出更简洁也更明确、更有力的表示,比如说,1025、286243这样巨大的数字,一般语言就说不太清楚了。从微观来说,日常语言之中,“失之毫厘,廖以千里”,用一毫一厘来形容微小,还有形容体积之小的,时间之短的,距离之近的。但是,没有比10-15,10-45这样一些表达更能说明问题,它也更简洁、更明了。[a, b]仅由a、b、[ ]这三个数学符号表出,但如果比用一般语言描述就成为大于或等于a,小于或等于b的一切实数的集合。用数学语言来表达是这样的简洁、明晰。数学语言有其独特之处,有其独特的价值,它不仅是普通语言无法替代的,而且它构成了科学语言的基础。越来越多的科学门类用数学语言表述自己,这不仅是因为数学语言的简洁,而且是因为数学语言的精确及其思想的普遍性与深刻性。
2 数学具有科学性
数学符号是数学文字的主要形式,它是构成数学语言的基本成份。1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,这十个符号是全世界普遍采用的,它们表示了全部的数,书写、运算都十分方便。这10个符号常被称为阿拉伯数字,实际上却是印度人创造的,只是经过阿拉伯传到欧洲。这是印度对人类文明的一项重大贡献,这一贡献的意义也可能是今天的人们不易觉察的。但是,18世纪一位法国著名数学家曾说过:“用不多的记号表示全部的数的思想,赋予它的除了形式上的意义外,还有位置上的意义,它之所以如此绝妙非常,正是由于这种简易得难以估量。关于“位置上的意义”,指的是数字的进位表达。比如说110,它实际上是1€?00+1€?0+0,可是它只需简写成110就明白了。此外还有空位的问题,假若有个数字是1€?000+1€?00+0,那该怎么写呢?现在我们是很容易回答了,不就写为1101吗?可是,在最初的数字符号系统中是没有0这个符号的。有的用一个点来表示:11·0;有的用一个方格来表示;有的干脆就拉开一点写,表示空一位;……但这些写法的不准确、不方便是显而易见的。直到使用了0这个符号,问题才得以解决。而0这个符号比其他符号的出现晚了好几百年。如果看11000这个数字,我们能更清楚地体会到0这个符号的特殊意义。数学的简洁不只表现在数字符号上,还表现在其他符号上,表现在命题的表述和论证上,表现在它的逻辑体系上。数学符号有许多种,除了前面提到的数字符号外,还有代数的符号,通常用英文字母或希腊字母表示。在笛卡儿时代,以英文字母的开头几个表示已知数,如a、b、c、…,以英文字母的最后几个代表未知数,如x、y、z,或以a、b、c、…代表常数,以x、y、z代表变数。数字研究的对象已不只限于数,还研究形,△表示三角形,□表示四边形,⊙表示圆等等。还有一大类是关于运算的符号。+,-,€祝瑎魇撬脑蛟怂惴拧K裕斫馐У目蒲灾苯佑跋熳攀в镅缘闹柿浚跋熳攀Ъ笆Ы逃姆⒄埂?
3 数学具有通用性
数学语言与一般语言相比,它具有无民族性、无区域性,它是世界上唯一的通用语言。目前世界上的语言就多达2500~3000种,其中仅美洲语言即有1000多种,非洲语言也近1000种。但数学语言没有地区性、民族性。全世界因为地区之不同、民族之不同而有二、三千种语言(远远超过全世界国家的数目),可是,全世界的数学语言只有一种。从以上的探讨中我们可以发现,数学的科学、简洁,通用对数学的深入研究,不仅能促进数学及数学教育的发展,而且也能对人类精神文明和物质文明的进步起到积极作用。接下来根据数学的特点及数学要求,谈谈教学中的实践与认识。
首先,注重数学学习的过程,合理安排教学。数学概念和数学符号的形成一般包括逻辑过程、心理过程和教学过程三个环节。逻辑过程能够揭示概念之间的各种逻辑关系,便于对数学结构从整体上理解,有助于学生对数学本质的理解与认识。心理过程是指学生从学习数学语言到掌握数学语言的过程,这种过程往往是因人而异。数学符号和规则从现实世界得到其意义,又在更大的范围内作用于现实。学生只有在理解数学语言的来龙去脉及意义,而且熟练地掌握他们的各种用法,从而得到理性的认识之后,在数学学习中才能灵活地对它们进行各种等价叙述,并在一个抽象的符号系统中正确应用,从而达到对数学符号语言学习的最高水平。教学过程则是教师具体对某个数学符号进行讲解、分析、举例、考查的过程,教师在教学中要善于驾驭。
3.1 善于推敲叙述语句的关键词句
叙述语句是介绍数学概念的最基本的表达形式,其中每一个关键的字和词都有确切的意义,须仔细推敲,明确关键词句之间的依存和制约关系。例如平行线的概念“在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”中的关键词句有:“在同一平面内”,“不相交”,“两条直线”。教学时要着重说明平行线是反映直线之间的相互位置关系的,不能孤立地说某一条直线是平行线;要强调“在同一平面内”这个前提,可让学生观察不在同一平面内的两条直线也不相交;通过延长直线使学生理解“不相交”的正确含义。这样通过对关键词句的推敲、变更、删简,使学生认识到“在同一平面内”、“不相交的两条直线”这些关键词句不可欠缺,从而加深对平行线的理解。
3.2 深入探究符号的数学意义
符号是叙述语言的符号化,在引进一个新的数学符号时,首先要向学生介绍各种有代表性的具体模型,形成一定的感性认识;然后再根据定义,离开具体的模型对符号的实质进行理性的分析,使学生在抽象的水平上真正掌握概念(内涵和外延);最后又重新回到具体的模型,这里具体的模型在数学符号的教学中具有双重意义:一是作为一般化的起点,为引进抽象符号作准备;二是作为特殊化的途径,便于符号的应用。数学符号语言,由于其高度的集约性、抽象性、内涵的丰富性,往往难以读懂。这就要求学生对符号语言具有相当的理解能力,善于将简约的符号语言译成一般的数学语言,从而有利于问题的转化与处理。
3.3合理破译图形语言的数形关系
图形语言是一种视觉语言,通过图形给出某些条件,其特点是直观,便于观察与联想,观察题设图形的形状、位置、范围,联想相关的数量或方程,这是“破译”图形语言的数形关系的基本思想。例如,长方体的表面积教学,学生初次接触空间图形的平面直观图——这种特殊的图形语言,学生难于理解,教学时可采用以下步骤进行操作:①从模型到图形,即根据具体的模型画出直观图;②从图形到模型,即根据所画的直观图,用具体的模型表现出来,这样的设计重在建立图形与模型之间的视觉联系,为学生提供充分的感性认识,并使它们熟悉直观图的画法结构和特点;③从图形到符号,即把已有的直观图中的各种位置关系用符号表示;④从符号到图形,即根据符号所表示的条件,准确地画出相应的直观图。这两步设计是为了建立图像语言与符号语言之间的对应关系,利用图形语言来辅助思维,利用符号语言来表达思维。
其次,注重学习兴趣的培养。学习兴趣是学生对学习活动和学习对象的一种力求趋近的认识倾向。数学教学实践证明,愈是抽象甜言蜜语味的教材,愈需要教师以数学的艺术来激发学生的求知欲,唤起学生学习的兴趣,以提高学习的积极性。学生对所学知识的兴趣,对数学效果有着直接的影响。通过与学生的交谈、问卷调查反映出中学生的学习自觉性很大程度上仍依赖于其学习的兴趣。初中的数学开始设为几何、代数,而几何的趣味性较代数强,就问卷反映的情况看,70%的学生表示比较喜欢几何。另外,所有表示对数学不感兴趣的都是数学成绩在年级较差的学生,其数学成绩则排在中等位置。调查中还发现有37%的学生对数学是又爱又怕。这说明同学们都体会到数学的趣味性,但尚未培养起对数学的真正兴趣。那么,应该怎样培养学生数学的兴趣呢?
(1)以数学发展的历史培养学生兴趣。在广东某地做调查的过程中,通过与学生们的交谈了解到,学生仍有喜欢听故事的习惯。而且以与当天学习内容有关的数学小故事作为新课的“开场白”,容易引起学生的学习兴趣。据调查数据显示,24%的学生表示上数学课最能吸引其注意是老师讲一些数学的课外知识。因此,教师结合教材,在教学上适时、适当地向学生介绍一些数学史、古今中外数学家故事以及数学趣闻,能激发学生的兴趣和求知欲。诸如讲圆周率时,讲一讲祖冲之的成就;讲黄金分割时,介绍一下华罗庚的故事;在乘方概念引入课上,说一说印度国王想奖励国际象棋发明者,却给不出奖品的故事……通过数学史的学习,不仅可用数学家的勤奋治学精神激励学生努力学习,而且还帮助学生了解数学公式、概念等理论的创始与发展过程,特别是数学思维方法的形成,更有利于今后在学习中借鉴。
(2)以生动、幽默的语言引发学生兴趣。教师的语言艺术可以使抽象的概念、判断、定理具体化,深刻的道理通俗化,难懂的理论形象化,易于诱发学生兴趣。在教学中尽量用学生较为熟悉、容易理解,而且具有诱惑力的语言,这对引发学生学习兴趣和积极思维有良好的作用。巧妙地运用幽默的语言,不仅能活跃课堂气氛,不能帮助学生理解知识、强化意识。数学教师的良好艺术修养,影响着数学教学的趣味性。深入探讨数学的特性和本质用,有趣的内容配合艺术生动的语言,便会使数学课堂更加有趣,从而激发学生的求知欲。
(3)以数学的广泛应用培养学生兴趣。某调查发现,100%的学生能在二十秒内举出1~2个或多个实际生活中应用数学知识的例子。50%的学生表示上数学课最吸引他们注意的是老师提出一些生活上的实际问题,让大家用数学方法解决的时候。40%的学生表示喜欢用数学方法解决问题。初中的学生仍保留一些小学阶段较为直观的思维习惯,他们通过平常接触到的事物去理解记忆所学知识。随着年龄的增长,他们心理上越来越渴望获得别人的认同,又喜欢通过运用所学知识解决一些生活上的实际问题以证明自己的价值。因此引导学生观察和解决实际中的数学问题,是提出兴趣的重要方法,尤其是那些与学生有直接关系的数学问题,更能引起和培养学生的数学兴趣。在教学过程中注意指导学生应用所学的数学知识去解决日常生活、学习中的实际问题,努力架设起一座通向数学宫殿的兴趣之桥,使学生在这一实践过程中去发现兴趣的源泉,并在解决问题的同时感受到自己的劳动所取得的成就,体验到战胜困难后的欢乐。总之,在数学教学中有许多教学艺术是需要我们继续探究的。
参考文献
[1]张楚廷.数学文化[M].高等教育出版社,2006.
[2]张楚廷.数学文化[M].高等教育出版社,2000.
[3]邓东皋.数学与文化[M].北京大学出版社,1990.
[4]欧阳维诚.文学中的数学[M].湖南人民出版社,1998.
[5]王庆人.数学家谈数学本质[M].北京大学出版社,1989.
关键词中学数学教学 科学 艺术 数学本质
中图分类号:G633.6文献标识码:A
很少有人对数学这门学科进行深入的研究,比如数学的产生、发展和形成;具有哪些特殊性;数学在促进人类文明的过程中所起的作用;如何学好数学等等。笔者从数学的简洁性、数学的科学性、相通性三个方面进行探讨数学的特性进而探讨数学教学的艺术。
1 数学具有简洁性
数学语言非常简洁精确,它具有独特的价值,它是科学语言的基础。从宏观来说,人们常以“成千上万”来研究多,再多就是“百万”、“千万”了,更多则是“亿万”。可是,数学能作出更简洁也更明确、更有力的表示,比如说,1025、286243这样巨大的数字,一般语言就说不太清楚了。从微观来说,日常语言之中,“失之毫厘,廖以千里”,用一毫一厘来形容微小,还有形容体积之小的,时间之短的,距离之近的。但是,没有比10-15,10-45这样一些表达更能说明问题,它也更简洁、更明了。[a, b]仅由a、b、[ ]这三个数学符号表出,但如果比用一般语言描述就成为大于或等于a,小于或等于b的一切实数的集合。用数学语言来表达是这样的简洁、明晰。数学语言有其独特之处,有其独特的价值,它不仅是普通语言无法替代的,而且它构成了科学语言的基础。越来越多的科学门类用数学语言表述自己,这不仅是因为数学语言的简洁,而且是因为数学语言的精确及其思想的普遍性与深刻性。
2 数学具有科学性
数学符号是数学文字的主要形式,它是构成数学语言的基本成份。1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,这十个符号是全世界普遍采用的,它们表示了全部的数,书写、运算都十分方便。这10个符号常被称为阿拉伯数字,实际上却是印度人创造的,只是经过阿拉伯传到欧洲。这是印度对人类文明的一项重大贡献,这一贡献的意义也可能是今天的人们不易觉察的。但是,18世纪一位法国著名数学家曾说过:“用不多的记号表示全部的数的思想,赋予它的除了形式上的意义外,还有位置上的意义,它之所以如此绝妙非常,正是由于这种简易得难以估量。关于“位置上的意义”,指的是数字的进位表达。比如说110,它实际上是1€?00+1€?0+0,可是它只需简写成110就明白了。此外还有空位的问题,假若有个数字是1€?000+1€?00+0,那该怎么写呢?现在我们是很容易回答了,不就写为1101吗?可是,在最初的数字符号系统中是没有0这个符号的。有的用一个点来表示:11·0;有的用一个方格来表示;有的干脆就拉开一点写,表示空一位;……但这些写法的不准确、不方便是显而易见的。直到使用了0这个符号,问题才得以解决。而0这个符号比其他符号的出现晚了好几百年。如果看11000这个数字,我们能更清楚地体会到0这个符号的特殊意义。数学的简洁不只表现在数字符号上,还表现在其他符号上,表现在命题的表述和论证上,表现在它的逻辑体系上。数学符号有许多种,除了前面提到的数字符号外,还有代数的符号,通常用英文字母或希腊字母表示。在笛卡儿时代,以英文字母的开头几个表示已知数,如a、b、c、…,以英文字母的最后几个代表未知数,如x、y、z,或以a、b、c、…代表常数,以x、y、z代表变数。数字研究的对象已不只限于数,还研究形,△表示三角形,□表示四边形,⊙表示圆等等。还有一大类是关于运算的符号。+,-,€祝瑎魇撬脑蛟怂惴拧K裕斫馐У目蒲灾苯佑跋熳攀в镅缘闹柿浚跋熳攀Ъ笆Ы逃姆⒄埂?
3 数学具有通用性
数学语言与一般语言相比,它具有无民族性、无区域性,它是世界上唯一的通用语言。目前世界上的语言就多达2500~3000种,其中仅美洲语言即有1000多种,非洲语言也近1000种。但数学语言没有地区性、民族性。全世界因为地区之不同、民族之不同而有二、三千种语言(远远超过全世界国家的数目),可是,全世界的数学语言只有一种。从以上的探讨中我们可以发现,数学的科学、简洁,通用对数学的深入研究,不仅能促进数学及数学教育的发展,而且也能对人类精神文明和物质文明的进步起到积极作用。接下来根据数学的特点及数学要求,谈谈教学中的实践与认识。
首先,注重数学学习的过程,合理安排教学。数学概念和数学符号的形成一般包括逻辑过程、心理过程和教学过程三个环节。逻辑过程能够揭示概念之间的各种逻辑关系,便于对数学结构从整体上理解,有助于学生对数学本质的理解与认识。心理过程是指学生从学习数学语言到掌握数学语言的过程,这种过程往往是因人而异。数学符号和规则从现实世界得到其意义,又在更大的范围内作用于现实。学生只有在理解数学语言的来龙去脉及意义,而且熟练地掌握他们的各种用法,从而得到理性的认识之后,在数学学习中才能灵活地对它们进行各种等价叙述,并在一个抽象的符号系统中正确应用,从而达到对数学符号语言学习的最高水平。教学过程则是教师具体对某个数学符号进行讲解、分析、举例、考查的过程,教师在教学中要善于驾驭。
3.1 善于推敲叙述语句的关键词句
叙述语句是介绍数学概念的最基本的表达形式,其中每一个关键的字和词都有确切的意义,须仔细推敲,明确关键词句之间的依存和制约关系。例如平行线的概念“在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”中的关键词句有:“在同一平面内”,“不相交”,“两条直线”。教学时要着重说明平行线是反映直线之间的相互位置关系的,不能孤立地说某一条直线是平行线;要强调“在同一平面内”这个前提,可让学生观察不在同一平面内的两条直线也不相交;通过延长直线使学生理解“不相交”的正确含义。这样通过对关键词句的推敲、变更、删简,使学生认识到“在同一平面内”、“不相交的两条直线”这些关键词句不可欠缺,从而加深对平行线的理解。
3.2 深入探究符号的数学意义
符号是叙述语言的符号化,在引进一个新的数学符号时,首先要向学生介绍各种有代表性的具体模型,形成一定的感性认识;然后再根据定义,离开具体的模型对符号的实质进行理性的分析,使学生在抽象的水平上真正掌握概念(内涵和外延);最后又重新回到具体的模型,这里具体的模型在数学符号的教学中具有双重意义:一是作为一般化的起点,为引进抽象符号作准备;二是作为特殊化的途径,便于符号的应用。数学符号语言,由于其高度的集约性、抽象性、内涵的丰富性,往往难以读懂。这就要求学生对符号语言具有相当的理解能力,善于将简约的符号语言译成一般的数学语言,从而有利于问题的转化与处理。
3.3合理破译图形语言的数形关系
图形语言是一种视觉语言,通过图形给出某些条件,其特点是直观,便于观察与联想,观察题设图形的形状、位置、范围,联想相关的数量或方程,这是“破译”图形语言的数形关系的基本思想。例如,长方体的表面积教学,学生初次接触空间图形的平面直观图——这种特殊的图形语言,学生难于理解,教学时可采用以下步骤进行操作:①从模型到图形,即根据具体的模型画出直观图;②从图形到模型,即根据所画的直观图,用具体的模型表现出来,这样的设计重在建立图形与模型之间的视觉联系,为学生提供充分的感性认识,并使它们熟悉直观图的画法结构和特点;③从图形到符号,即把已有的直观图中的各种位置关系用符号表示;④从符号到图形,即根据符号所表示的条件,准确地画出相应的直观图。这两步设计是为了建立图像语言与符号语言之间的对应关系,利用图形语言来辅助思维,利用符号语言来表达思维。
其次,注重学习兴趣的培养。学习兴趣是学生对学习活动和学习对象的一种力求趋近的认识倾向。数学教学实践证明,愈是抽象甜言蜜语味的教材,愈需要教师以数学的艺术来激发学生的求知欲,唤起学生学习的兴趣,以提高学习的积极性。学生对所学知识的兴趣,对数学效果有着直接的影响。通过与学生的交谈、问卷调查反映出中学生的学习自觉性很大程度上仍依赖于其学习的兴趣。初中的数学开始设为几何、代数,而几何的趣味性较代数强,就问卷反映的情况看,70%的学生表示比较喜欢几何。另外,所有表示对数学不感兴趣的都是数学成绩在年级较差的学生,其数学成绩则排在中等位置。调查中还发现有37%的学生对数学是又爱又怕。这说明同学们都体会到数学的趣味性,但尚未培养起对数学的真正兴趣。那么,应该怎样培养学生数学的兴趣呢?
(1)以数学发展的历史培养学生兴趣。在广东某地做调查的过程中,通过与学生们的交谈了解到,学生仍有喜欢听故事的习惯。而且以与当天学习内容有关的数学小故事作为新课的“开场白”,容易引起学生的学习兴趣。据调查数据显示,24%的学生表示上数学课最能吸引其注意是老师讲一些数学的课外知识。因此,教师结合教材,在教学上适时、适当地向学生介绍一些数学史、古今中外数学家故事以及数学趣闻,能激发学生的兴趣和求知欲。诸如讲圆周率时,讲一讲祖冲之的成就;讲黄金分割时,介绍一下华罗庚的故事;在乘方概念引入课上,说一说印度国王想奖励国际象棋发明者,却给不出奖品的故事……通过数学史的学习,不仅可用数学家的勤奋治学精神激励学生努力学习,而且还帮助学生了解数学公式、概念等理论的创始与发展过程,特别是数学思维方法的形成,更有利于今后在学习中借鉴。
(2)以生动、幽默的语言引发学生兴趣。教师的语言艺术可以使抽象的概念、判断、定理具体化,深刻的道理通俗化,难懂的理论形象化,易于诱发学生兴趣。在教学中尽量用学生较为熟悉、容易理解,而且具有诱惑力的语言,这对引发学生学习兴趣和积极思维有良好的作用。巧妙地运用幽默的语言,不仅能活跃课堂气氛,不能帮助学生理解知识、强化意识。数学教师的良好艺术修养,影响着数学教学的趣味性。深入探讨数学的特性和本质用,有趣的内容配合艺术生动的语言,便会使数学课堂更加有趣,从而激发学生的求知欲。
(3)以数学的广泛应用培养学生兴趣。某调查发现,100%的学生能在二十秒内举出1~2个或多个实际生活中应用数学知识的例子。50%的学生表示上数学课最吸引他们注意的是老师提出一些生活上的实际问题,让大家用数学方法解决的时候。40%的学生表示喜欢用数学方法解决问题。初中的学生仍保留一些小学阶段较为直观的思维习惯,他们通过平常接触到的事物去理解记忆所学知识。随着年龄的增长,他们心理上越来越渴望获得别人的认同,又喜欢通过运用所学知识解决一些生活上的实际问题以证明自己的价值。因此引导学生观察和解决实际中的数学问题,是提出兴趣的重要方法,尤其是那些与学生有直接关系的数学问题,更能引起和培养学生的数学兴趣。在教学过程中注意指导学生应用所学的数学知识去解决日常生活、学习中的实际问题,努力架设起一座通向数学宫殿的兴趣之桥,使学生在这一实践过程中去发现兴趣的源泉,并在解决问题的同时感受到自己的劳动所取得的成就,体验到战胜困难后的欢乐。总之,在数学教学中有许多教学艺术是需要我们继续探究的。
参考文献
[1]张楚廷.数学文化[M].高等教育出版社,2006.
[2]张楚廷.数学文化[M].高等教育出版社,2000.
[3]邓东皋.数学与文化[M].北京大学出版社,1990.
[4]欧阳维诚.文学中的数学[M].湖南人民出版社,1998.
[5]王庆人.数学家谈数学本质[M].北京大学出版社,1989.