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【摘要】本文作者结合多年概率论与数理统计教学经验，总结了在概率论与数理统计课程中使用案例教学方法的要点，并通过两个具体案例说明概念的引入和案例使用的方法。
【关键词】概率论与数理统计 案例 应用
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）10-0105-02
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科，是认识各种随机现象的基础，它通过对随机现象的观察找出内在的规律性，并对内在规律进行定量分析给出理论。概率论与数理统计具有明显的实际背景和广阔的应用空间，在教学中适当引入案例，通过分析实际案例，可以调动学生学习的主动性和积极性，更好地掌握这门课程。
1.案例教学的要点
1.1案例教学与理论教学相辅相成
案例是为教学服务的，一定要处理好主次关系，只有理解基本概念和基本理论，才能展开案例讨论。将讲授式授课和案例教学结合起来，这样既能够使学生系统掌握理论知识，又能够应用所学的知识去分析和解决一些实际问题。
1.2案例的选择
案例的选择要做到有的放矢，尽量选择和课程内容密切相关并能联系学生专业实际的案例，也可以选择一些社会生活中学生有浓厚兴趣的数学问题；案例要具有代表性，要能够从案例的解决过程中得出一般的规律，并通过案例的分析让学生学到方法论；案例的难易程度要适中，这样才能在有限的课堂时间内完成教学。
1.3案例在课堂教学中的使用
在保证完成正常教学进度的前提下插入案例，做到案例教学与课堂知识的有机结合。 教师可以从案例出发引入概率统计的相关概念、基本原理、统计方法，也可以选择合适案例来说明概率统计原理与方法的应用。
2.由问题引出概念
在概率论与数理统计课堂教学中引入知识时，由问题出发引出新的概念、公式、定理，这样，教师能很好地利用学生已有的或较易理解的知识进行教学，学生也能通过已经学过的或较易理解的知识去接受和掌握新的知识和规律。比如在介绍数学期望定义时，我们采用由实际问题引入，然后给出离散型随机变量数学期望的定义。
首先提出案例：某车间对工人的生产情况进行考察，我们先观察小张100天的生产情况。其中32天没有出废品；30天每天出一件废品；17天每天出两件废品；21天每天出三件废品。那么小张在100中每天平均废品数为多少？（ 这里假设小张每天出废品数不超过3件）
学生很容易应用算数知识得到这100天中每天的平均废品数为：
接下来让学生思考如下问题：若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天会不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数会不会也是1.27呢？
学生回答：“不一定。”教师问：“为什么不一定呢？”学生回答：“因为小张每天生产的废品数具有随机性。”这样教师可以进一步引导，设车工小张每天生产的废品数x是一个随机变量。如何定义x的平均值呢？
可以想象，一般来说，若统计n天，其中n0天没有出废品；n1天每天出一件废品；n2天每天出两件废品；n3天每天出三件废品。可以得到n天中每天的平均废品数为：
这是以频率为权的加权平均。当n很大时，频率接近于概率，所以我们在求废品数x的平均值时，用概率代替频率，得平均值为：
这是以概率为权的加权平均，这样得到的确定的数就是随机变量x的平均值。于是请学生给出平均值的定义，从而引出数学期望。
数学期望定义：设x是离散型随机变量，它的分布率是P{X=xk}=pk k=1，2，…，若级数xkpk绝对收敛，则称级数xkpk的和为随机变量X的数学期望又称为均值，记为E（X）， 即E（X）
像这样通过实际案例引入概念，使学生经历这个解决问题的过程之后加深对基础知识的理解。
3.应用案例举例
对于概率论与数理统计知识的应用，可以选择一些源于课本又高于课本的案例，引导学生去思考，根据所学知识解决实际问题，下面以“手机话费套餐选择问题”为例。
设某通讯公司有若干种手机月话费套餐如下：
3.1神州行大众套餐
3.1.1市话费为月包干费10元，送每月100分钟市话费；
3.1.2市话费为月包干费20元，送每月200分钟市话费；
3.1.3市话费为月包干费30元，送每月300分钟市话费；
3.1.4市话费为月包干费50元，送每月500分钟市话费。
其他费用有来电显示费每月5元，超过包干市话时间后，呼入呼出每分钟0.4元；国内漫游每分钟0.6元；移动公司内短信每条0.1元；聯通及小灵通短信每条0.15元等。这些费用对四种套餐都是一致的。
3.2新顺心卡
市话费为每分钟0.15元，500次被叫为每分钟0.02元，来电显示费每月5元，省内漫游每分钟0.8元，不能进行省际漫游。
检查一段时间内（如一年）某用户每月的市话通话总时间的取值情况如下（单位：分钟）：
试问该用户怎样选择上述套餐可以使每月的话费最省？
这一案例中蕴含了很多概率论与数理统计的知识，比如随机变量的分布，正态分布，随机变量函数的数学期望，中心极限定理，统计样本的选取，样本均值，样本方差等。
令Y表示某用户的手机在一个月内呼叫或被呼叫的市话时间总数（单位：分钟）。则Y为随机变量。
由中心极限定理知，该手机用户每月市话时间大致服从正态分布。从上述样本知，
令Y表示某用户一个月的手机市话费则依据不同的缴费方式，如神州行大众套餐，可得随机变量Y与X的函数关系如下：
此处，常数c分别取100分钟，200分钟，300分钟和500分钟。
问题的本质转化为计算手机话费的期望值，期望值较低的付费就较合理。由上述关系式很容易算得随机变量Y的期望值。
另外，新顺心卡的期望值：
由此可见，若忽略漫游、短信等其他费用，仅考虑市话费，根据历史数据，可以认为该手机用户选择每月20元话费包干时的理想消费值最低，故应该选择每月20元话费包干。
总之，案例教学法不但适用于教学主题的导入，也适用于对教学内容的深化和补充，好的案例不但能培养学生学习的兴趣，使学生变被动学习为主动学习，而且能进一步加深学生对学习内容的理解和掌握，从而达到提高课堂教学效果的目的。
参考文献：
[1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2008
[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京：北京高等教育出版社，2007
[3]冯小杰.浅谈“案例教学”的实践操作[J].科教文汇，2008.11
[4]喻方元，李立安.大学数学应用案例分析[J].大学数学课程报告论坛，2006
[5]傅文玥.案例教学法在《概率论与数理统计》教学中的应用[J].教法研究，2012
【关键词】概率论与数理统计 案例 应用
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）10-0105-02
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科，是认识各种随机现象的基础，它通过对随机现象的观察找出内在的规律性，并对内在规律进行定量分析给出理论。概率论与数理统计具有明显的实际背景和广阔的应用空间，在教学中适当引入案例，通过分析实际案例，可以调动学生学习的主动性和积极性，更好地掌握这门课程。
1.案例教学的要点
1.1案例教学与理论教学相辅相成
案例是为教学服务的，一定要处理好主次关系，只有理解基本概念和基本理论，才能展开案例讨论。将讲授式授课和案例教学结合起来，这样既能够使学生系统掌握理论知识，又能够应用所学的知识去分析和解决一些实际问题。
1.2案例的选择
案例的选择要做到有的放矢，尽量选择和课程内容密切相关并能联系学生专业实际的案例，也可以选择一些社会生活中学生有浓厚兴趣的数学问题；案例要具有代表性，要能够从案例的解决过程中得出一般的规律，并通过案例的分析让学生学到方法论；案例的难易程度要适中，这样才能在有限的课堂时间内完成教学。
1.3案例在课堂教学中的使用
在保证完成正常教学进度的前提下插入案例，做到案例教学与课堂知识的有机结合。 教师可以从案例出发引入概率统计的相关概念、基本原理、统计方法，也可以选择合适案例来说明概率统计原理与方法的应用。
2.由问题引出概念
在概率论与数理统计课堂教学中引入知识时，由问题出发引出新的概念、公式、定理，这样，教师能很好地利用学生已有的或较易理解的知识进行教学，学生也能通过已经学过的或较易理解的知识去接受和掌握新的知识和规律。比如在介绍数学期望定义时，我们采用由实际问题引入，然后给出离散型随机变量数学期望的定义。
首先提出案例：某车间对工人的生产情况进行考察，我们先观察小张100天的生产情况。其中32天没有出废品；30天每天出一件废品；17天每天出两件废品；21天每天出三件废品。那么小张在100中每天平均废品数为多少？（ 这里假设小张每天出废品数不超过3件）
学生很容易应用算数知识得到这100天中每天的平均废品数为：
接下来让学生思考如下问题：若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天会不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数会不会也是1.27呢？
学生回答：“不一定。”教师问：“为什么不一定呢？”学生回答：“因为小张每天生产的废品数具有随机性。”这样教师可以进一步引导，设车工小张每天生产的废品数x是一个随机变量。如何定义x的平均值呢？
可以想象，一般来说，若统计n天，其中n0天没有出废品；n1天每天出一件废品；n2天每天出两件废品；n3天每天出三件废品。可以得到n天中每天的平均废品数为：
这是以频率为权的加权平均。当n很大时，频率接近于概率，所以我们在求废品数x的平均值时，用概率代替频率，得平均值为：
这是以概率为权的加权平均，这样得到的确定的数就是随机变量x的平均值。于是请学生给出平均值的定义，从而引出数学期望。
数学期望定义：设x是离散型随机变量，它的分布率是P{X=xk}=pk k=1，2，…，若级数xkpk绝对收敛，则称级数xkpk的和为随机变量X的数学期望又称为均值，记为E（X）， 即E（X）
像这样通过实际案例引入概念，使学生经历这个解决问题的过程之后加深对基础知识的理解。
3.应用案例举例
对于概率论与数理统计知识的应用，可以选择一些源于课本又高于课本的案例，引导学生去思考，根据所学知识解决实际问题，下面以“手机话费套餐选择问题”为例。
设某通讯公司有若干种手机月话费套餐如下：
3.1神州行大众套餐
3.1.1市话费为月包干费10元，送每月100分钟市话费；
3.1.2市话费为月包干费20元，送每月200分钟市话费；
3.1.3市话费为月包干费30元，送每月300分钟市话费；
3.1.4市话费为月包干费50元，送每月500分钟市话费。
其他费用有来电显示费每月5元，超过包干市话时间后，呼入呼出每分钟0.4元；国内漫游每分钟0.6元；移动公司内短信每条0.1元；聯通及小灵通短信每条0.15元等。这些费用对四种套餐都是一致的。
3.2新顺心卡
市话费为每分钟0.15元，500次被叫为每分钟0.02元，来电显示费每月5元，省内漫游每分钟0.8元，不能进行省际漫游。
检查一段时间内（如一年）某用户每月的市话通话总时间的取值情况如下（单位：分钟）：
试问该用户怎样选择上述套餐可以使每月的话费最省？
这一案例中蕴含了很多概率论与数理统计的知识，比如随机变量的分布，正态分布，随机变量函数的数学期望，中心极限定理，统计样本的选取，样本均值，样本方差等。
令Y表示某用户的手机在一个月内呼叫或被呼叫的市话时间总数（单位：分钟）。则Y为随机变量。
由中心极限定理知，该手机用户每月市话时间大致服从正态分布。从上述样本知，
令Y表示某用户一个月的手机市话费则依据不同的缴费方式，如神州行大众套餐，可得随机变量Y与X的函数关系如下：
此处，常数c分别取100分钟，200分钟，300分钟和500分钟。
问题的本质转化为计算手机话费的期望值，期望值较低的付费就较合理。由上述关系式很容易算得随机变量Y的期望值。
另外，新顺心卡的期望值：
由此可见，若忽略漫游、短信等其他费用，仅考虑市话费，根据历史数据，可以认为该手机用户选择每月20元话费包干时的理想消费值最低，故应该选择每月20元话费包干。
总之，案例教学法不但适用于教学主题的导入，也适用于对教学内容的深化和补充，好的案例不但能培养学生学习的兴趣，使学生变被动学习为主动学习，而且能进一步加深学生对学习内容的理解和掌握，从而达到提高课堂教学效果的目的。
参考文献：
[1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2008
[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京：北京高等教育出版社，2007
[3]冯小杰.浅谈“案例教学”的实践操作[J].科教文汇，2008.11
[4]喻方元，李立安.大学数学应用案例分析[J].大学数学课程报告论坛，2006
[5]傅文玥.案例教学法在《概率论与数理统计》教学中的应用[J].教法研究，2012