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提 要：本文提出了一种新的预测旋转机械随机响应方法——人工神经网络方法。研究了这种神经网络结构的学习算法。为了保证快速学习收敛，应用Lyapunov函数得到一种自适应学习率方法。用这种方法对某直立转子的地震响应进行在线预测，计算机仿真结果表明，这种网络学习算法是有效的，并且是可行的。
关键词：自递归神经网络；学习率；转子响应
Predicting Random Response of High-speed Rotating Machine
by Artificial Neural Network
WANG Feng，XIONG Hua-lin
（NanChang转子随机响应的人工 Institute of Technology, Nanchang Jiangxi 330000,China）
Abstract:A new neural paradigm called Self-Recurrent Neural Network(SRNN) is presented here. The architecture of SRNN is a modified model of the fully connected recurrent neural network with one hidden layer, and the hidden layer is comprised of self-recurrent neurons. A generalized dynamic back-propagation algorithm(DBP) is developed. To guarantee convergence and for faster learning, an approach using adaptive learning rates is developed by introducing a Lyapunov function. Convergence theorem for the adaptive back-propagation algorithm is developed to on-line predict seismic response of a vertical rotor that is excited by external force. Results form computer-simulation studies demonstrate that the new DBP is valid and feasible in on-line predicting random response of high-speed rotating machines.
Key words：Self recurrent neural network；learning rate；response of rotor.
近代高速旋转机械的一个重要特征是高转速，它们常常由于采用柔性支撑和柔性支座，从而使得其转子系统在超临界状态下能够安全可靠地运行，对于这些高速旋转机械的转子系统的动力稳定性，通常研究较多，而对来自外界的随机激励响应控制，往往采用振动隔离方法，由于激励的随机性，控制效果很难令人满意。近年来，不少科技工作者着手研究采用主动控制方法控制转子的随机响应［1-2］。主动控制方法是根据转子的状态反应，按照事先设计好的最优控制律确定控制力的大小通过电磁轴承作用到转子上［3］，控制转子的受激响应。理论计算结果表明，主动控制方法能有效控制转子的随机激励响应；然而，实际工程中，由于控制系统本身信号传递的时间延迟无法避免，同时，转子结构本身的不确定因素（如一定程度的非线性）也影响最优控制方法的实际应用。要解决这些问题，必须在线实时预测转子响应。
人工神经网络理论中，采用BP网络算法去预测结构响应,可以认为这是一种比较成熟的网络，但在实际应用中，BP网络尚存在学习速度慢且易陷入局部极小的缺点，因此本文通过改造全递归网络，结合BP网络算法，提出一种局部递归网络——自递归网络(Self-Recurrent Neural Network)。这种网络仅在隐层单元存在自递归，减少了隐节点之间的连接权，使训练权值的迭代计算量少，缩短学习时间；同时，保留了全递归网络的动态特性的优点。
1 转子随机响应预测模型
在众多的应用领域中已经证明，人工神经网络特别适合处理复杂的、不确定的和非线性的问题。将一个神经网络与转子系统并联加以训练，就可得到被控对象的仿真器。仿真器的输入选择转子的过去状态，输出为新的状态。用这种构造可以映射转子如下的状态方程的函数关系：
X(K+1)=AX(K)+BU(k)；y(k+1)=CX(k+1)
X和U分别为转子状态和控制输入，A和B为非线性函数。用标准的误差反传学习算法来学习系统的输入和输出对的传递关系，其学习和预测过程如图1。其中虚线为学习过程，实线为预测过程。为时延算子。
图1 转子随机响应预测模型框图
2 自递归神经网络
2.1 动态自递归神经网络结构和学习算法
一个三层自递归神经网络结构如图2所示。网络仅在隐层单元存在自递归连接。
图2 自递归神经网络结构
输入层
Ii(t)=Xi(t)(2-1)
隐层
Hj=f［netj(t)］
netj=Wj(2)Hj(t-1)+∑iW(1)ijXi(t)
（2-2）
输出层
O（t）=∑jW(3)j•Hj(t)（2-3）
Xi(t)表示网络的输入，netj(t)表示隐层的第j个节点的输入，Hj(t)表示隐层第j个节点的输出，O(t)表示网络的输出，f(x)=1-e-x1+e-x表示激活表函数,W(1)ij,W(2)j,W(3)j,表示输入层到隐层、递归和隐层到输出层之间的连接权向量。
E=12［y(t)-(t)］2（2-4）
y(t)为结构响应，=O(t)为网络输出，按自递归神经网络的权值按梯度下降法调整：
W(t+1)=W(t)+η（t）(-EW)+αΔW(2-5)
W表示W（1）ij,W(2)j,W(3)j,η(t)为自适应学习率，α为惯性系数。
2.2 自递归网络的收敛性和自适应学习率
L(t)=12e2(t)（2-6）
e(t)为学习误差。在训练过程中，Lyapunov函数的变化值为
ΔL(t)=12［e2(t+1)-e2(t)］（2-7）
学习误差
e(t+1)=e(t)+Δe(t)=e(t)+［e(t)W］TΔW（2-8）
ΔW代表权值的权值量，由（8）（9）式有
ΔL(t)=-η(t)e2(t)O(t)2W+12η2(t)e4(t)
O(t)W4=-λe2(t)
λ=12g(t)2η(2-ηg(t)2)(2-10)
其中g(t)=O(t)W，gmax=mtaxg(t),且η1=ηg2max［4］（2-11）
保证自递归网络稳定收敛的条件是ΔL(t)＜0，那么，λ＞0所以由（11）式就有
0＜η(t)＜2g(t)2（2-12）
因此，网络在学习过程中，自递归网络最快速收敛，必须取1才是最佳值，即
η（t)=1g2max（2-13）
3 应用神经网络预测转子地震响应
用自递归神经网络在线实时预测转子地震响应。它包括两个过程：学习和预测。网络输入值为［Y（t），b］，Y(t)=x1(t-1),x1(t-2),x2(t-1),x2(t-2),分别代表转子的上下端响应；b为偏置值，相当于噪声；
网络输出值为(t)=x1(t)、x2(t)为网络预测响应。初始学习率取0.1，采样时间间隔为0.02秒。采样时间前3秒钟150个响应值作为网络的学习样本，以均方误差值
1150∑150n=1|y(n)-(n)|2
小于一定值为标志结束学习过程，然后开始预测结构响应，预测结果如图3，采用动态自递归神经网络自适应学习率方法，只经过24次迭代就达0.001，整个学习过程在Pentium133微机上仿真试验，只耗时不到2秒钟，学习收敛速度比一般的ＢＰ网络快几百倍。
图3 神经网络预测结构响应与转子上端实际响应比较
可见，用这种动态自递归神经网络完全可以实现在线实时预测转子响应，为主动控制旋转机械转子系统地震响应提供较为准确的优化性能指标，从而为实现在线实时控制转子转子系统的受激响应提供优良保证。
4 结束语
本文提出了一种新的预测转子随机响应方法——人工神经网络方法，研究了这种网络的学习算法，通过对其稳定性和收敛性进行分析研究，得到了保证网络最快速收敛的自适应学习率。仿真试验结果表明，通过适当选取初始权值，应用本文提出的自递归神经网络能够实现在线实时预测旋转机械转子的随机响应。
参考文献
［1］ 童水光,汪希萱.电磁阻尼器的位移反馈控制［J］.应用力学学报, 1994,11(12):41-45.
［2］Noami K., Fleming D. P. Active vibration control for flexible rotor by optimal direct-output feedback control［J］. Rept. No. NASA-TM-101972,1989:112-115.
［3］C. Delprete, et al. Control strategies for decentralised control of active magnetic bearings［C］.Proc. of the 4th Intel. Symp. onMagnetic Bearings, ETH, Swiss, 1994(8)，167-169.
［4］Marios M. Polycarpou, Petros A. loannou. Learning and Convergence Analysis of Neural-Type Structural Networks［C］.
IEEE Trans. on Neural Network, 1992, 3(1):39-50.
［5］王宇飞,何 琳,单树军.磁流变阻尼器响应时间的影响因素和优化途径研究［J］.船海工程,2006(6):103-106.
关键词：自递归神经网络；学习率；转子响应
Predicting Random Response of High-speed Rotating Machine
by Artificial Neural Network
WANG Feng，XIONG Hua-lin
（NanChang转子随机响应的人工 Institute of Technology, Nanchang Jiangxi 330000,China）
Abstract:A new neural paradigm called Self-Recurrent Neural Network(SRNN) is presented here. The architecture of SRNN is a modified model of the fully connected recurrent neural network with one hidden layer, and the hidden layer is comprised of self-recurrent neurons. A generalized dynamic back-propagation algorithm(DBP) is developed. To guarantee convergence and for faster learning, an approach using adaptive learning rates is developed by introducing a Lyapunov function. Convergence theorem for the adaptive back-propagation algorithm is developed to on-line predict seismic response of a vertical rotor that is excited by external force. Results form computer-simulation studies demonstrate that the new DBP is valid and feasible in on-line predicting random response of high-speed rotating machines.
Key words：Self recurrent neural network；learning rate；response of rotor.
近代高速旋转机械的一个重要特征是高转速，它们常常由于采用柔性支撑和柔性支座，从而使得其转子系统在超临界状态下能够安全可靠地运行，对于这些高速旋转机械的转子系统的动力稳定性，通常研究较多，而对来自外界的随机激励响应控制，往往采用振动隔离方法，由于激励的随机性，控制效果很难令人满意。近年来，不少科技工作者着手研究采用主动控制方法控制转子的随机响应［1-2］。主动控制方法是根据转子的状态反应，按照事先设计好的最优控制律确定控制力的大小通过电磁轴承作用到转子上［3］，控制转子的受激响应。理论计算结果表明，主动控制方法能有效控制转子的随机激励响应；然而，实际工程中，由于控制系统本身信号传递的时间延迟无法避免，同时，转子结构本身的不确定因素（如一定程度的非线性）也影响最优控制方法的实际应用。要解决这些问题，必须在线实时预测转子响应。
人工神经网络理论中，采用BP网络算法去预测结构响应,可以认为这是一种比较成熟的网络，但在实际应用中，BP网络尚存在学习速度慢且易陷入局部极小的缺点，因此本文通过改造全递归网络，结合BP网络算法，提出一种局部递归网络——自递归网络(Self-Recurrent Neural Network)。这种网络仅在隐层单元存在自递归，减少了隐节点之间的连接权，使训练权值的迭代计算量少，缩短学习时间；同时，保留了全递归网络的动态特性的优点。
1 转子随机响应预测模型
在众多的应用领域中已经证明，人工神经网络特别适合处理复杂的、不确定的和非线性的问题。将一个神经网络与转子系统并联加以训练，就可得到被控对象的仿真器。仿真器的输入选择转子的过去状态，输出为新的状态。用这种构造可以映射转子如下的状态方程的函数关系：
X(K+1)=AX(K)+BU(k)；y(k+1)=CX(k+1)
X和U分别为转子状态和控制输入，A和B为非线性函数。用标准的误差反传学习算法来学习系统的输入和输出对的传递关系，其学习和预测过程如图1。其中虚线为学习过程，实线为预测过程。为时延算子。
图1 转子随机响应预测模型框图
2 自递归神经网络
2.1 动态自递归神经网络结构和学习算法
一个三层自递归神经网络结构如图2所示。网络仅在隐层单元存在自递归连接。
图2 自递归神经网络结构
输入层
Ii(t)=Xi(t)(2-1)
隐层
Hj=f［netj(t)］
netj=Wj(2)Hj(t-1)+∑iW(1)ijXi(t)
（2-2）
输出层
O（t）=∑jW(3)j•Hj(t)（2-3）
Xi(t)表示网络的输入，netj(t)表示隐层的第j个节点的输入，Hj(t)表示隐层第j个节点的输出，O(t)表示网络的输出，f(x)=1-e-x1+e-x表示激活表函数,W(1)ij,W(2)j,W(3)j,表示输入层到隐层、递归和隐层到输出层之间的连接权向量。
E=12［y(t)-(t)］2（2-4）
y(t)为结构响应，=O(t)为网络输出，按自递归神经网络的权值按梯度下降法调整：
W(t+1)=W(t)+η（t）(-EW)+αΔW(2-5)
W表示W（1）ij,W(2)j,W(3)j,η(t)为自适应学习率，α为惯性系数。
2.2 自递归网络的收敛性和自适应学习率
L(t)=12e2(t)（2-6）
e(t)为学习误差。在训练过程中，Lyapunov函数的变化值为
ΔL(t)=12［e2(t+1)-e2(t)］（2-7）
学习误差
e(t+1)=e(t)+Δe(t)=e(t)+［e(t)W］TΔW（2-8）
ΔW代表权值的权值量，由（8）（9）式有
ΔL(t)=-η(t)e2(t)O(t)2W+12η2(t)e4(t)
O(t)W4=-λe2(t)
λ=12g(t)2η(2-ηg(t)2)(2-10)
其中g(t)=O(t)W，gmax=mtaxg(t),且η1=ηg2max［4］（2-11）
保证自递归网络稳定收敛的条件是ΔL(t)＜0，那么，λ＞0所以由（11）式就有
0＜η(t)＜2g(t)2（2-12）
因此，网络在学习过程中，自递归网络最快速收敛，必须取1才是最佳值，即
η（t)=1g2max（2-13）
3 应用神经网络预测转子地震响应
用自递归神经网络在线实时预测转子地震响应。它包括两个过程：学习和预测。网络输入值为［Y（t），b］，Y(t)=x1(t-1),x1(t-2),x2(t-1),x2(t-2),分别代表转子的上下端响应；b为偏置值，相当于噪声；
网络输出值为(t)=x1(t)、x2(t)为网络预测响应。初始学习率取0.1，采样时间间隔为0.02秒。采样时间前3秒钟150个响应值作为网络的学习样本，以均方误差值
1150∑150n=1|y(n)-(n)|2
小于一定值为标志结束学习过程，然后开始预测结构响应，预测结果如图3，采用动态自递归神经网络自适应学习率方法，只经过24次迭代就达0.001，整个学习过程在Pentium133微机上仿真试验，只耗时不到2秒钟，学习收敛速度比一般的ＢＰ网络快几百倍。
图3 神经网络预测结构响应与转子上端实际响应比较
可见，用这种动态自递归神经网络完全可以实现在线实时预测转子响应，为主动控制旋转机械转子系统地震响应提供较为准确的优化性能指标，从而为实现在线实时控制转子转子系统的受激响应提供优良保证。
4 结束语
本文提出了一种新的预测转子随机响应方法——人工神经网络方法，研究了这种网络的学习算法，通过对其稳定性和收敛性进行分析研究，得到了保证网络最快速收敛的自适应学习率。仿真试验结果表明，通过适当选取初始权值，应用本文提出的自递归神经网络能够实现在线实时预测旋转机械转子的随机响应。
参考文献
［1］ 童水光,汪希萱.电磁阻尼器的位移反馈控制［J］.应用力学学报, 1994,11(12):41-45.
［2］Noami K., Fleming D. P. Active vibration control for flexible rotor by optimal direct-output feedback control［J］. Rept. No. NASA-TM-101972,1989:112-115.
［3］C. Delprete, et al. Control strategies for decentralised control of active magnetic bearings［C］.Proc. of the 4th Intel. Symp. onMagnetic Bearings, ETH, Swiss, 1994(8)，167-169.
［4］Marios M. Polycarpou, Petros A. loannou. Learning and Convergence Analysis of Neural-Type Structural Networks［C］.
IEEE Trans. on Neural Network, 1992, 3(1):39-50.
［5］王宇飞,何 琳,单树军.磁流变阻尼器响应时间的影响因素和优化途径研究［J］.船海工程,2006(6):103-106.