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一、数学开放式教学的内涵
所谓“开放”，是指根据数学教学目标，把数学教学内容、学生认识与建构数学的活动和学生与教学内容之间相互作用等几个方面的开放.结合现代认知科学和建构主义理论，笔者认为：数学开放式教学是以数学教学目标为纲要，数学教学内容为载体，发展学生能力为本位，提高学生数学素养为原则的教学，通过数学教学，充分提高学生的主体性，不仅要教给学生数学知识，而且要教给学生建构知识的方法和过程，即不仅要“教知识”，而且要“教思考”、“教猜想”（G.波利亚语）.在教学中，贯彻分层教学的原则，让学生能够按各自不同的目的、不同的选择、不同的能力、不同的兴趣，选择不同的教学并得到发展，具备较好数学素养的学生能够积极参与数学活动，使得有进一步的发展机会；而较低者也能参与数学活动，完成几项特殊的任务，获得必需的数学知识和提高思维能力.
二、数学开放式教学案例二则
案例一 二次函数与一元二次不等式的关系
教学设计：
1.引言（“T”：教师，“S”：学生）
T：我们课外要求请各小组通过查阅资料，对一元二次方程的解法、一元二次函数的性质和一元二次不等式的解法进行分类整理和总结归纳，现在通过投影仪来展示各小组的成果.
投影例举：
一元二次方程的解决
（1）因式分解法
（2）十字相乘法
（3）开方法
（4）求根公式法等
一元二次函数的性质
（1）图象性质：对轴、顶点、图象形状；
（2）单调性
（3）奇偶性
（4）最大值或最小值
一元二次不等式解法
（1）因式分拆法
（2）区间分析法
2.探索
T：我们利用上述学过的方法，来实践一下：
例1 （1）解方程：x2-x-6=0;
（2）解不等式:x2-x-6＞0,x2-x-6＜0;
（3）作二次函数y=x2-x-6的图象.
在探索的过程中，从学生旧的认知结构出发，引出相互之间的矛盾.
T：我们解决了上述问题，你能分析（1）、（2）、（3）之间的联系吗？这里解决的是一元二次方程和一元二次不等式，实质上是一元二次函数的特殊情况，并为以下解决二次函数的变化引起方程和不等式的变化作铺垫.
例2 已知二次函数y=x2-x-m,试问：随着m的变化，二次函数的图象如何变化？方程x2-x-m=0与不等式x2-x-m＞0和不等式x2-x-m＜0也将如何变化？
这是探索过程中关键性的问题，存在字母必然联系分类讨论，而分类的要点是图象与x轴的交点情况，这些正是本节课的疑惑所在.
3.归纳
T：根据上面的结论，你能得出一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间存在的一般性结论吗？请各小组讨论，10分钟后提交组总结发言稿，进行展示.
教师进行评价各组成果，强调数学思想方法在实践的运用，同时逐一澄清错误，并进行纠正.
4.小结
让学生根据自己探索和归纳过程，回顾和整理这节课主体思路.
5.作业
已知函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+3m-2,试问：根据m的不同取值，你能得出多少结论？
作业设计的目的是增加开放度，使不同层次的学生都尝试功.
案例二 异面直线的夹角（例题教学）引言
T：我们已经学了异面直线、异面直线所成角的定义，现在我们运用所学的知识来解决下面的问题.
例3 如图（1）所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱、正方体面对角线（如BD）和正方体对角线（如A1C）之间，
问题1：你能找出几类异面直线，并各有几对？
设计该问题，是让学生在旧知识异面直线判断的基础上，激励学生的思维，同时，自然的引导学生作异面直线所成的角.
问题2：你能对这些异面直线所成角的作法进行归类？
这问题是本例教学中的重点难点，是激发学生空间想象和思维活动的全方位展开，从学生认知规律出发，层层深入，获得学习的过程和方法.
问题3：你能求这些异面直线所成的角吗？
这时已水到渠成，学生已能从复杂的空间图形中分离出平面图形，通过解三角形能顺利的求解.
本例题是以正方体为知识载体,通过找异面直线所成角,作异面直线所成角,求异面直线所成的角,充分发挥例题的教学功能.从上述源问题与子问题的关系，通过学生去实践操作，同时把正方体空间图形进行多媒体的演示，突出思维能力训练和空间想象能力的培养.
三、数学开放式教学案例的分析
案例一的教学设计是通过学生课外收集资料、图象观察、式的变化与图的变化，开放课外和课堂学生数学活动，再引入开放性问题来深化学生思维，在归纳出一般性结论后，留给学生继续思考和探讨，来实现开放式教学.
由于教学由“探索”及“归纳”这两个环节组成，每个教学环节必须有一定的时间保证，让学生通过观察图象变化，进行充分思考、讨论直到完全解决问题.该课题涉及情况较多，需要分类讨论、数形结合等数学思想方法，解决该问题有较多的层次性和延伸性，需要小组甚至与班同学共同合作完成，以便更好地利用时间的空间，改变灌输的单一教学形式，促使各层次学生相互合作、相互协调，达到共同发展的目标.为实现这些构想，该课例采用了小组合作探索的开放性内容来进行开放式教学，把数学思想方法作为数学的灵魂，结合教学内容逐渐渗透，逐步形成普遍规律，实现数学教学的目标.
案例二的教学设计是在认知规律的导行下，把贯穿全课的数学知识和数学思想方法的设计成“问题源”，在问题中融入“概念的层层深入”与“总结归纳解决问题的方法”，确立课堂教学的主题.在学生的主动参与下，剥蚕抽丝地把问题点到主题上来，而教师的主导性体现在自成系统的教学过程中，一方面，把教学的“信息源”发送到每个学生；另一方面，及时把学生传输过来的信息，及时的矫正，及时得到有效的控制，促使教学过程优化，实现教与学的最佳组合.
通过层层深入，扩散学生的思维，构建一个清晰的思维空间，通过归类分析，达到明确的目标.让学生在问题的解决过程中，体验到数学探索与发现的乐趣，感受到数学魅力，领悟到数学的真谛，案例二是以开放题为切入口的开放式教学.
四、数学开放式教学案例的思考
思考1：数学开放式教学与数学思维能力的培养.
由于数学教学的本质是数学思维活动的开展，因此数学课堂上主要是创设问题情境，激活学生的思维，引导学生主动参与课堂教学.在数学开放式教学中，突出了学生主体地位和思维能力的培养，特别是创新思维能力的培养.在教学设计过程中，根据教学内容，设计教学的开放形式，如在问题设计中，考虑能使学生通过动脑、动手、动口积极参与数学思维活动，也能使各层次的学生都有所获得，同是能使学生逐步深入到问题的本质.
思考2：数学开放式教学应努力遵循的原则.
适时性原则，数学开放式教学重视从学生的生活经验和已有的知识中学习数学和理解数学，通过对事物和具体模型的感知与操作，获得数学知识和能力.因而，在设计开放式教学中，必须把握问题的入口与出口，使每个问题都可以原有的认知结构中进行构建；层次性原则，数学开放式教学把教学内容构建一个多层次的立体模式，把不同层次和不同需要的学生，在原有的知识和能力的基础上都有所获得；动态性原则，教学内容的处理，把深层次的数学思想方法在问题中充分体现，使得教学内容活起来，在教学中，让学生对问题从不同角度用不同的方法进行全面的思考，使学生的思维活动起来，教师在课堂上解决问题的突发性和灵活性；探索性原则，数学开放式教学的设计，大多富有探索性，把教学内容创设探索情境，提出开放性问题，或通过常规题改造成开放题进行探索.
思考3：数学开放式教学与合作意识的培养.
在群体中，每个人都有每一个人的长处，每个人都可以找到自己的参照进取目标.因此，进行分组讨论式的教学，发挥互补式的交住，树立集体观念和互帮互学的合作意识，使每个人都能为集体目标的实现尽心尽力.同时不断向学生传授合作的基本技能，使他们学会既善于积极主动地发现自己的意见，敢于说出不同的看法，又善于倾听别人的意见，相互启迪，并能够综合吸收各种不同的观点，共同寻找解决问题的思路.在具体实施过程中，教师要及时地有针对性地予以指导，训练学生养成良好的合作学习习惯.
所谓“开放”，是指根据数学教学目标，把数学教学内容、学生认识与建构数学的活动和学生与教学内容之间相互作用等几个方面的开放.结合现代认知科学和建构主义理论，笔者认为：数学开放式教学是以数学教学目标为纲要，数学教学内容为载体，发展学生能力为本位，提高学生数学素养为原则的教学，通过数学教学，充分提高学生的主体性，不仅要教给学生数学知识，而且要教给学生建构知识的方法和过程，即不仅要“教知识”，而且要“教思考”、“教猜想”（G.波利亚语）.在教学中，贯彻分层教学的原则，让学生能够按各自不同的目的、不同的选择、不同的能力、不同的兴趣，选择不同的教学并得到发展，具备较好数学素养的学生能够积极参与数学活动，使得有进一步的发展机会；而较低者也能参与数学活动，完成几项特殊的任务，获得必需的数学知识和提高思维能力.
二、数学开放式教学案例二则
案例一 二次函数与一元二次不等式的关系
教学设计：
1.引言（“T”：教师，“S”：学生）
T：我们课外要求请各小组通过查阅资料，对一元二次方程的解法、一元二次函数的性质和一元二次不等式的解法进行分类整理和总结归纳，现在通过投影仪来展示各小组的成果.
投影例举：
一元二次方程的解决
（1）因式分解法
（2）十字相乘法
（3）开方法
（4）求根公式法等
一元二次函数的性质
（1）图象性质：对轴、顶点、图象形状；
（2）单调性
（3）奇偶性
（4）最大值或最小值
一元二次不等式解法
（1）因式分拆法
（2）区间分析法
2.探索
T：我们利用上述学过的方法，来实践一下：
例1 （1）解方程：x2-x-6=0;
（2）解不等式:x2-x-6＞0,x2-x-6＜0;
（3）作二次函数y=x2-x-6的图象.
在探索的过程中，从学生旧的认知结构出发，引出相互之间的矛盾.
T：我们解决了上述问题，你能分析（1）、（2）、（3）之间的联系吗？这里解决的是一元二次方程和一元二次不等式，实质上是一元二次函数的特殊情况，并为以下解决二次函数的变化引起方程和不等式的变化作铺垫.
例2 已知二次函数y=x2-x-m,试问：随着m的变化，二次函数的图象如何变化？方程x2-x-m=0与不等式x2-x-m＞0和不等式x2-x-m＜0也将如何变化？
这是探索过程中关键性的问题，存在字母必然联系分类讨论，而分类的要点是图象与x轴的交点情况，这些正是本节课的疑惑所在.
3.归纳
T：根据上面的结论，你能得出一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间存在的一般性结论吗？请各小组讨论，10分钟后提交组总结发言稿，进行展示.
教师进行评价各组成果，强调数学思想方法在实践的运用，同时逐一澄清错误，并进行纠正.
4.小结
让学生根据自己探索和归纳过程，回顾和整理这节课主体思路.
5.作业
已知函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+3m-2,试问：根据m的不同取值，你能得出多少结论？
作业设计的目的是增加开放度，使不同层次的学生都尝试功.
案例二 异面直线的夹角（例题教学）引言
T：我们已经学了异面直线、异面直线所成角的定义，现在我们运用所学的知识来解决下面的问题.
例3 如图（1）所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱、正方体面对角线（如BD）和正方体对角线（如A1C）之间，
问题1：你能找出几类异面直线，并各有几对？
设计该问题，是让学生在旧知识异面直线判断的基础上，激励学生的思维，同时，自然的引导学生作异面直线所成的角.
问题2：你能对这些异面直线所成角的作法进行归类？
这问题是本例教学中的重点难点，是激发学生空间想象和思维活动的全方位展开，从学生认知规律出发，层层深入，获得学习的过程和方法.
问题3：你能求这些异面直线所成的角吗？
这时已水到渠成，学生已能从复杂的空间图形中分离出平面图形，通过解三角形能顺利的求解.
本例题是以正方体为知识载体,通过找异面直线所成角,作异面直线所成角,求异面直线所成的角,充分发挥例题的教学功能.从上述源问题与子问题的关系，通过学生去实践操作，同时把正方体空间图形进行多媒体的演示，突出思维能力训练和空间想象能力的培养.
三、数学开放式教学案例的分析
案例一的教学设计是通过学生课外收集资料、图象观察、式的变化与图的变化，开放课外和课堂学生数学活动，再引入开放性问题来深化学生思维，在归纳出一般性结论后，留给学生继续思考和探讨，来实现开放式教学.
由于教学由“探索”及“归纳”这两个环节组成，每个教学环节必须有一定的时间保证，让学生通过观察图象变化，进行充分思考、讨论直到完全解决问题.该课题涉及情况较多，需要分类讨论、数形结合等数学思想方法，解决该问题有较多的层次性和延伸性，需要小组甚至与班同学共同合作完成，以便更好地利用时间的空间，改变灌输的单一教学形式，促使各层次学生相互合作、相互协调，达到共同发展的目标.为实现这些构想，该课例采用了小组合作探索的开放性内容来进行开放式教学，把数学思想方法作为数学的灵魂，结合教学内容逐渐渗透，逐步形成普遍规律，实现数学教学的目标.
案例二的教学设计是在认知规律的导行下，把贯穿全课的数学知识和数学思想方法的设计成“问题源”，在问题中融入“概念的层层深入”与“总结归纳解决问题的方法”，确立课堂教学的主题.在学生的主动参与下，剥蚕抽丝地把问题点到主题上来，而教师的主导性体现在自成系统的教学过程中，一方面，把教学的“信息源”发送到每个学生；另一方面，及时把学生传输过来的信息，及时的矫正，及时得到有效的控制，促使教学过程优化，实现教与学的最佳组合.
通过层层深入，扩散学生的思维，构建一个清晰的思维空间，通过归类分析，达到明确的目标.让学生在问题的解决过程中，体验到数学探索与发现的乐趣，感受到数学魅力，领悟到数学的真谛，案例二是以开放题为切入口的开放式教学.
四、数学开放式教学案例的思考
思考1：数学开放式教学与数学思维能力的培养.
由于数学教学的本质是数学思维活动的开展，因此数学课堂上主要是创设问题情境，激活学生的思维，引导学生主动参与课堂教学.在数学开放式教学中，突出了学生主体地位和思维能力的培养，特别是创新思维能力的培养.在教学设计过程中，根据教学内容，设计教学的开放形式，如在问题设计中，考虑能使学生通过动脑、动手、动口积极参与数学思维活动，也能使各层次的学生都有所获得，同是能使学生逐步深入到问题的本质.
思考2：数学开放式教学应努力遵循的原则.
适时性原则，数学开放式教学重视从学生的生活经验和已有的知识中学习数学和理解数学，通过对事物和具体模型的感知与操作，获得数学知识和能力.因而，在设计开放式教学中，必须把握问题的入口与出口，使每个问题都可以原有的认知结构中进行构建；层次性原则，数学开放式教学把教学内容构建一个多层次的立体模式，把不同层次和不同需要的学生，在原有的知识和能力的基础上都有所获得；动态性原则，教学内容的处理，把深层次的数学思想方法在问题中充分体现，使得教学内容活起来，在教学中，让学生对问题从不同角度用不同的方法进行全面的思考，使学生的思维活动起来，教师在课堂上解决问题的突发性和灵活性；探索性原则，数学开放式教学的设计，大多富有探索性，把教学内容创设探索情境，提出开放性问题，或通过常规题改造成开放题进行探索.
思考3：数学开放式教学与合作意识的培养.
在群体中，每个人都有每一个人的长处，每个人都可以找到自己的参照进取目标.因此，进行分组讨论式的教学，发挥互补式的交住，树立集体观念和互帮互学的合作意识，使每个人都能为集体目标的实现尽心尽力.同时不断向学生传授合作的基本技能，使他们学会既善于积极主动地发现自己的意见，敢于说出不同的看法，又善于倾听别人的意见，相互启迪，并能够综合吸收各种不同的观点，共同寻找解决问题的思路.在具体实施过程中，教师要及时地有针对性地予以指导，训练学生养成良好的合作学习习惯.