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摘要：采用翻转课堂教学模式组织三个简单优化模型的教学过程，课前准备、课中互动和课后反馈的教学秩序可以让学生充分体会到自己是教学主体，可以发挥学生的想象力和创造力，达到提高学生创新应用能力的目的。
关键词：简单优化模型;翻转课堂教学模式;创新应用能力
翻转课堂教学模式改变了传统的教学方式，重新组合教学过程：基本知识的学习安排到课前的准备过程，利用雨课堂课件和微视频讲授模型的建模原理和过程;课中主要进行解题答疑和课堂互动，学生之间的互动和互评有利于互相督促和促进;课后反馈可以反应学生的学习情况和效果，并及时调整教学过程和授课方式。基于翻转课堂的简单优化模型教学改革主要从课前准备、课中互动、课后反馈展开研究。这篇文章主要论述存储模型、森林救火和倾倒的啤酒杯的教学过程。模型的求解方法都是利用微分法求极值点。
一、简单优化模型的课前准备
课前将存储模型、森林救火、倾倒的啤酒杯和铅球掷远的雨课堂课件和语音讲解推送给学生，供学生课前预习，并解答课后习题，然后通过雨课堂平台将答案返给教师。教师根据学生的疑问和答题情况，组织课堂教学。具体来讲，这三个案例的主要内容：
案例1 不允许缺货的存储模型和允许缺货的存储模型[1]
1.首先对不允许缺货的存储模型进行分析，做出相关的模型假设，设置合理的变量。然后建立模型，利用微分求导数找出极值点，求解模型，并对模型进行解释。最后考虑敏感性分析，讨论参数的微小变化对生产周期的影响。
2.在不允许缺货的存储模型中加入缺货损失费用，再求解模型，利用微分法求极小值点，并与不允许缺货的存储模型的最优解进行比较，得到：允许缺货的生产周期更长，每周期初的储存量更低、每周期的供货量更多。
3.考虑购买货物本身的费用，确定其不允许缺货和允许缺货的订货周期和订货批量。
案例2 森林救火模型[1]
关键让学生理解森林救火费用由森林损失费和救援费用构成，而损失费正比于森林烧毁面积，救援费与消防队员人数和灭火时间长短有关。然后提出模型假设，其中假设消防队员的灭火速度与开始救火时的火势无关，设置模型变量，构建模型，再利用微分法求极小值点，得到派出的最消防队员人数为多少时森林救火费用最小。
考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势有关时的森林救火模型。
案例3 倾倒的啤酒杯[1]
建立揭示啤酒杯重心与啤酒液面关系的规律，找到最不容易倾倒的啤酒杯的液面位置，探讨这个位置与哪些因素有关。分别对不考虑和考虑空杯底面质量的啤酒杯重心进行建模，得到“意料之外与情理之中”的结论：当啤酒杯重心与液面高度相重合时重心最低。
问题：讨论旋转体的啤酒杯的重心是否与液面高度重合时重心最低。
二、简单优化模型的课中互动
课中互动过程中，首先通过小组讨论，一部分积极主动同学的互评和互动，带动了不太活跃的学生的主动思考，然后利用雨课堂的随机点名功能随机抽取几个学生进行提问，学生们都很乐于参与互动。
针对案例1 学生们对预习内容的疑问不多，并且回答了考虑购买货物本身的费用时，其不允许缺货和允许缺货的订货周期和订货批量与原来结果相同。
针对案例2 学生们提问，消防队员的灭火速度与开始救火时的火势是有关的，预习的森林救火模型需要扩展，如何才能表述好灭火速度与开始救火时火势的关系。教师解答：可以令，表示火势越大，灭火速度越小，分母中的1是防止时而加的，其中表示不考虑火势时的灭火速度[2]。还有学生提问只有一种形式吗？教师解答：不是，可以发挥想象，考虑其他几种表达式。
针对案例3 学生们对建模过程的疑问比较多，教师重新讲解了构建啤酒杯重心随啤酒液面变化而变化的函数关系，利用微分法求解出“意料之外与情理之中”的结论：当啤酒杯重心与液面高度相重合时重心最低。利用旋转曲面围成图形的体积和力矩平衡关系可以求出啤酒杯重心与液面高度相重合时重心最低[2]。
课中讲解一个案例：
案例4 鉛球掷远模型[1] 建立数学模型分析铅球投掷距离与铅球的初始速度、出手角度、出手高度的关系，找出最佳出售角度，并对初始速度、出手角度和出手高度对投掷距离进行敏感性分析。
首先不考虑铅球出手高度，利用物理的斜抛运动进行建模，并根据正弦函数的关系可以判断出来最佳出手角度是。然后考虑铅球出手高度，再利用物理的斜抛运动进行建模，并根据微分法可以判断出来最佳出手角度满足 （其中是出手高度），最佳出手角度小于，而且与初始速度、出手高度有关，出手速度v越大越大，出手高度h越大越小。通过代入法，解出最远投掷距离，与出手速度v和出手高度h有关，出手速度v越大最远投掷距离s越大，以及出手高度h越大最远投掷距离s越大。
敏感性分析：因为， ，所以提高远比提高对s的增加有效。不考虑铅球出手高度时：;考虑铅球出手高度时：， ，此时， ，所以v的微小改变对投掷距离s的影响要比h的微小改变对投掷距离s的影响显著很多。
三、简单优化模型的课后反馈
留铅球掷远模型里的问题作为练习，通过雨课堂平台与学生进行交流。学生们能够利用近似关系说明考虑铅球出手高度模型的最远投掷距离比不考虑铅球出手高度的最远投掷距离大约增加了一个出手高度。对于任意的出手角度，考虑铅球出手高度模型的最远投掷距离比不考虑铅球出手高度的最远投掷距离大约增加了，如果小于，则增加的量大于.
通过学生的反馈，可以判断出来学生对这节课的内容理解得很透彻，能够举一反三，并能够很好的解释模型应用。
四、结论
翻转课堂教学模式适合简单优化模型的教与学，建模原理不复杂、模型求解原理简单、模型解释容易，学生提前预习为课中互动环节创造了条件，有利于形成轻松的探讨氛围，有助于学生的自主创新学习和创新应用能力的提升，达到了很好的教学效果。
参考文献
[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第五版）[M].高等教育出版社，北京，2018.
[2]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第五版）习题参考解答[M].高等教育出版社，北京，2018.
基金项目：2020年度辽宁大学本科教学改革研究项目一般项目—数学模型专创融合课程研究与实践（JG2020YBXM029）。
作者简介：1.白洁，1982.1.20出生，女，回族，山东省平原县，博士研究生，生物数学方向。
（辽宁大学 辽宁 沈阳 110036）
关键词：简单优化模型;翻转课堂教学模式;创新应用能力
翻转课堂教学模式改变了传统的教学方式，重新组合教学过程：基本知识的学习安排到课前的准备过程，利用雨课堂课件和微视频讲授模型的建模原理和过程;课中主要进行解题答疑和课堂互动，学生之间的互动和互评有利于互相督促和促进;课后反馈可以反应学生的学习情况和效果，并及时调整教学过程和授课方式。基于翻转课堂的简单优化模型教学改革主要从课前准备、课中互动、课后反馈展开研究。这篇文章主要论述存储模型、森林救火和倾倒的啤酒杯的教学过程。模型的求解方法都是利用微分法求极值点。
一、简单优化模型的课前准备
课前将存储模型、森林救火、倾倒的啤酒杯和铅球掷远的雨课堂课件和语音讲解推送给学生，供学生课前预习，并解答课后习题，然后通过雨课堂平台将答案返给教师。教师根据学生的疑问和答题情况，组织课堂教学。具体来讲，这三个案例的主要内容：
案例1 不允许缺货的存储模型和允许缺货的存储模型[1]
1.首先对不允许缺货的存储模型进行分析，做出相关的模型假设，设置合理的变量。然后建立模型，利用微分求导数找出极值点，求解模型，并对模型进行解释。最后考虑敏感性分析，讨论参数的微小变化对生产周期的影响。
2.在不允许缺货的存储模型中加入缺货损失费用，再求解模型，利用微分法求极小值点，并与不允许缺货的存储模型的最优解进行比较，得到：允许缺货的生产周期更长，每周期初的储存量更低、每周期的供货量更多。
3.考虑购买货物本身的费用，确定其不允许缺货和允许缺货的订货周期和订货批量。
案例2 森林救火模型[1]
关键让学生理解森林救火费用由森林损失费和救援费用构成，而损失费正比于森林烧毁面积，救援费与消防队员人数和灭火时间长短有关。然后提出模型假设，其中假设消防队员的灭火速度与开始救火时的火势无关，设置模型变量，构建模型，再利用微分法求极小值点，得到派出的最消防队员人数为多少时森林救火费用最小。
考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势有关时的森林救火模型。
案例3 倾倒的啤酒杯[1]
建立揭示啤酒杯重心与啤酒液面关系的规律，找到最不容易倾倒的啤酒杯的液面位置，探讨这个位置与哪些因素有关。分别对不考虑和考虑空杯底面质量的啤酒杯重心进行建模，得到“意料之外与情理之中”的结论：当啤酒杯重心与液面高度相重合时重心最低。
问题：讨论旋转体的啤酒杯的重心是否与液面高度重合时重心最低。
二、简单优化模型的课中互动
课中互动过程中，首先通过小组讨论，一部分积极主动同学的互评和互动，带动了不太活跃的学生的主动思考，然后利用雨课堂的随机点名功能随机抽取几个学生进行提问，学生们都很乐于参与互动。
针对案例1 学生们对预习内容的疑问不多，并且回答了考虑购买货物本身的费用时，其不允许缺货和允许缺货的订货周期和订货批量与原来结果相同。
针对案例2 学生们提问，消防队员的灭火速度与开始救火时的火势是有关的，预习的森林救火模型需要扩展，如何才能表述好灭火速度与开始救火时火势的关系。教师解答：可以令，表示火势越大，灭火速度越小，分母中的1是防止时而加的，其中表示不考虑火势时的灭火速度[2]。还有学生提问只有一种形式吗？教师解答：不是，可以发挥想象，考虑其他几种表达式。
针对案例3 学生们对建模过程的疑问比较多，教师重新讲解了构建啤酒杯重心随啤酒液面变化而变化的函数关系，利用微分法求解出“意料之外与情理之中”的结论：当啤酒杯重心与液面高度相重合时重心最低。利用旋转曲面围成图形的体积和力矩平衡关系可以求出啤酒杯重心与液面高度相重合时重心最低[2]。
课中讲解一个案例：
案例4 鉛球掷远模型[1] 建立数学模型分析铅球投掷距离与铅球的初始速度、出手角度、出手高度的关系，找出最佳出售角度，并对初始速度、出手角度和出手高度对投掷距离进行敏感性分析。
首先不考虑铅球出手高度，利用物理的斜抛运动进行建模，并根据正弦函数的关系可以判断出来最佳出手角度是。然后考虑铅球出手高度，再利用物理的斜抛运动进行建模，并根据微分法可以判断出来最佳出手角度满足 （其中是出手高度），最佳出手角度小于，而且与初始速度、出手高度有关，出手速度v越大越大，出手高度h越大越小。通过代入法，解出最远投掷距离，与出手速度v和出手高度h有关，出手速度v越大最远投掷距离s越大，以及出手高度h越大最远投掷距离s越大。
敏感性分析：因为， ，所以提高远比提高对s的增加有效。不考虑铅球出手高度时：;考虑铅球出手高度时：， ，此时， ，所以v的微小改变对投掷距离s的影响要比h的微小改变对投掷距离s的影响显著很多。
三、简单优化模型的课后反馈
留铅球掷远模型里的问题作为练习，通过雨课堂平台与学生进行交流。学生们能够利用近似关系说明考虑铅球出手高度模型的最远投掷距离比不考虑铅球出手高度的最远投掷距离大约增加了一个出手高度。对于任意的出手角度，考虑铅球出手高度模型的最远投掷距离比不考虑铅球出手高度的最远投掷距离大约增加了，如果小于，则增加的量大于.
通过学生的反馈，可以判断出来学生对这节课的内容理解得很透彻，能够举一反三，并能够很好的解释模型应用。
四、结论
翻转课堂教学模式适合简单优化模型的教与学，建模原理不复杂、模型求解原理简单、模型解释容易，学生提前预习为课中互动环节创造了条件，有利于形成轻松的探讨氛围，有助于学生的自主创新学习和创新应用能力的提升，达到了很好的教学效果。
参考文献
[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第五版）[M].高等教育出版社，北京，2018.
[2]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第五版）习题参考解答[M].高等教育出版社，北京，2018.
基金项目：2020年度辽宁大学本科教学改革研究项目一般项目—数学模型专创融合课程研究与实践（JG2020YBXM029）。
作者简介：1.白洁，1982.1.20出生，女，回族，山东省平原县，博士研究生，生物数学方向。
（辽宁大学 辽宁 沈阳 110036）