〔关键词〕 初中数学;夹角;时针;分针;分析
　　〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 A
　　〔文章编号〕 1004—0463(2010)
　　 01(B)—0053—02
　　
　　 人教版七年级数学上册第二章一元二次方程复习题中有这样一道题:在3点至4点的什么时刻分针与时针成(1)重合(2)平角(3)直角
　　 该题的解法是:设3点x 分时,时针与分针重合.以3点整时时针与分针所在的位置作为初始位置,这时时针在分针前,并成90°的角,它们顺时针方向同时同向而行,3点x 分时的位置作为终止位置.先求出时针与分针每分钟转过的角度分别为6°、0.5°,所以经过 x分钟后,分针旋转过 6x°,时针旋转过0.5x°.
　　(1)重合时,分针比时针多走90°,列方程为6x° -0.5x° =90°
　　(2)成平角时,分针比时针多走90°+180°,列方程为6x°-0.5x° =90°+180 °
　　(3)成直角时,分针比时针多走90°+90°,列方程为6x°-0.5x°=90°+90°,其中等式右边一个90°为初始位置时时针与分针所成的角
　　后来笔者又进行研究: 6点与7点的什么时刻时针与分针也成 (1)重合(2)平角(3)直角
　　对于(2)成平角,学生会仿照前一天的学习列出方程6x° -0.5x°=180°+180°(由于6点整时,时针与分针成180°的角).其中一个180°为初始位置时时针与分针所成的角,另一个180°为旋转后形成的角.学生解得x =65.45,即6点65.45分时时针与分针重合,也就是7点5.45分时,时针与分针重合.但那样的话就与条件不符.
　　 在(0,12]时,时针与分针能成多少次平角?多少次直角?重合多少次?
　　 在(0,12]时,时针与分针重合11次
　　 因为在(0,1]时,时针与分针同时出发,时针慢,分针快,所以不可能重合.因此,设1点x 分时时针与分针重合,可列方程为6x°-0.5x° =30°,依次类推2点与3点之间,时针与分针重合时,可列方程为6x° -0.5x° =2×30°,3点与4点之间,可列方程为6x°-0.5x°=3×30° ……一般的,设n 点x分时时针与分针重合,列方程为6x°-0.5x°=30°n,其中1　　 当n =1时,x =5.45
　　 当n =2时,x =10.90
　　 ……
　　 当n =11时,x =60
　　 即1点5.45分,2点10.90分,3点16.36分……11点60分(12点整)时 ,时针与分针重合,重合一次的时间间隔约为1个小时5.45分钟,故在(0,12]时内,时针与分针只能重合11次.
　　 在(0,12]时,时针与分针成11次平角
　　为了能考虑各个时刻,仍然设n时x分时,时针与分针成平角.由于在6点整时,时针与分针成平角;6点前形成平角时,分针在前,时针在后;6点后形成平角时,分针在后,时针在前,故以6点整为界限,分两种情况列方程.
　　 (1)当n∈(0,6 ],列方程为6x°-0.5x° =180°+30°n,其中30°n为n 时整时,时针与分针所成的角
　　 当n=0时,x=32.72
　　 当n=1时,x=38.18
　　 ……
　　 当n=5时,x=60
　　 (2)当n∈(6,12],列方程为6x°+180°=0.5x° +30°n,其中30°n为n 时整时,时针与分针所成的角
　　 当n=7时,x=5.45
　　 当n=8时,x=10.90
　　 ……
　　 当n=11时,x =27.27
　　 即0点32.72分,1点38.18分,2点43.63分……5点60分(6点整)……11点27.27分时 ,时针与分针成平角,时针与分针成平角的时间间隔(或周期)约为1个小时5.45分钟,和时针与分针重合的时间间隔(或周期)完全相同,故在(0,12]内,时针与分针成11次平角.
　　 在(0,12]时,时针与分针成22次直角
　　因为时针与分针成直角有两种情况:(1)直接成直角(2)间接成直角,即分针与时针旋转成270°的角.这两种直角仍然需分为时针在分针前形成的和时针在分针后形成的,故设n 点x分时,时针与分针成直角,故方程有四种情况.
　　(1)6x°-0.5x° =90°+30°n
　　 (2)6x°-0.5x°=270°+30°n
　　 (3)6x°+90°=0.5x°+30°n
　　 (4)6x°+270° =0.5x°+30°n
　　 (其中0≤n≤12,0≤x≤60)
　　 (1)当n=0 时,x=16.36
　　 当n=1 时,x=21.82
　　……
　　 当n=8时,x=60
　　 (2)当n=0时,x=49.01
　　 当n=1 时,x=54.54
　　 当n=2时,x=60
　　……
　　 (3)当n=4时,x=5.45
　　 当n=5时,x=10.90
　　……
　　 当n=11 时,x=43.64
　　 (4)当n=10 时,x=5.45
　　 当n=11 时,x=10.90
　　 即时针与分针在以下时间依次成直角,0点16.36分,0点49.01分,1点21.81分,1点54.54分,2点27.27分,2点60分(3点整),3点32.72分……8点60分(9点整)……11点10.90分,11点43.64分.每两次成直角的时间间隔为32.72分钟,故在(0,12]时,时针与分针成22次直角.