同学们都知道a的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离；a－b的几何意义是：数轴上表示数a、b的两点的距离．对于某些涉及绝对值的问题，利用数形结合，往往直观简捷，收到事半功倍的效果．
　　 一、求代数式的最值
　　 例1 已知x是有理数，x－1007＋x－1008的最小值是____________．
　　 解析：由绝对值的几何意义知，x－1007＋x－1008表示数轴上的一点到表示数1007和1008两点的距离的和，要使和最小，则这点必在1007～1008之间（包括这两个端点）取值，故x－1007＋x－1008的最小值为1.
　　 例2 a－3－a－6的最大值是__________，最小值是_________．
　　 解析：把数轴上表示a的点记为P．由绝对值的几何意义知，|a－3|－| a－6|表示数轴上的一点到表示数3和6两点的距离的差.当P点在3的左边时，其差恒为－3；当P点在6的右边时，其差恒为3；当P点在3～6之间（包括这两个端点）时，其差在－3～3之间（包括这两个端点）（如图2所示），因此，|a－3|－| a－6|的最大值和最小值分别为3和－3．
　　 二、解含有绝对值的方程
　　 例3 方程x－1＋x＋2＝4的解为___________．
　　 三、求字母的取值范围
　　 例4 若x＋1＋2－x＝3，则x的取值范围是________．
　　 解：由绝对值的几何意义知，x＋1＋x－2的最小值为3，此时x在－1～2之间（包括两端点）取值（如图4所示）. 故x的取值范围是－1≤x≤2．
　　 例5 对于任意数x，若不等式x＋2＋x－4＞a恒成立，则a的取值范围是_______．
　　 解：由绝对值的几何意义知，x＋2＋x－4的最小值为6，而对于任意数x，x＋2＋x－4＞a恒成立，所以a的取值范围是a＜6．
　　 四、解不等式
　　 例6 不等式x＋2＋x－3＞5的解集是_________．
　　 解：由绝对值的几何意义知，x＋2＋x－3的最小值为5，此时x在－2～3之间（包括两端点）取值. 若x＋2＋x－3＞5成立，则x必在－2的左边或3的右边取值（如图5所示），故原不等式的解集为x＜－2或x＞3．
　　 五、判断方程解的个数
　　 例7 方程x＋1+x＋99+x＋2＝1996共有（ ）个解．
　　 A.4 B． 3 C． 2 D．1
　　 解：当x在－99～－1之间（包括这两个端点）取值时，由绝对值的几何意义知，x＋1＋x＋99＝98，x＋2＜98．此时，x＋1＋x＋99＋x＋2＜1996，故x＋1＋x＋99＋x＋2＝1996时，x必在－99～－1之外取值，方程有2个解. 故选C．
　　 六、综合应用
　　 例8 已知x＋2＋1－x＝9－y－5－1＋y，求x＋y的最大值与最小值．
　　 解：将原方程变形，得x＋2＋x－1＋y－5＋y＋1＝9.
　　 ∵ x＋2＋x－1≥3，y－5＋y＋1≥6，
　　 而x＋2＋x－1＋y－5＋y＋1＝9，
　　 ∴x＋2＋x－1＝3，y－5＋y＋1＝6，
　　 ∴－2≤x≤1，－1≤y≤5，
　　 故x＋y的最大值与最小值分别为6和－3．