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很多人包括不少小学数学老师,认为:小学数学的内容比较简单。这种用成人已完成的认知结构分析得出的所谓“简单”结论,带来的直接后果是,很多教师放弃了从儿童未知者的角度来加工数学知识的自觉意识,而是把数学教材中的知识结论简单地搬运给学生,并反复加以训练,以期巩固。这样的数学课堂,教师讲授的内容学生通过自学课本完全能够获得,呈现的知识发展过程早为学生所知悉。除了知识和技能的累加,不只无益学生数学素养的培养,还会损害其对数学学习的好奇心和求知欲。
有的老师为了改变这种“教得单调、学得无趣”的现状,在课堂上增加题目难度,或者干脆补充奥数题目,美其名曰是发展学生的数学思维能力。但这种改变只是单纯增加了解题步骤,或强化了特定解题技巧的训练,而不是我们所需要的对数学知识本质的观照、数学思想的体验和数学价值的领悟。这样的教学,我们发展的是学生的解题技巧,而非孩子的灵性。
儿童视角下的数学教学,不是单纯的知识的传授和接受,而是儿童生命成长的一段历程。我们给学生的不能只是“1 1=2”之类的规定性内容,还要让学生领略数学的美妙、神奇和巨大价值,感受数学知识本身散发出的独特魅力。因此,我们对于数学知识的加工不能只局限于教材中的知识和技能层面,还要用一种更为广泛和联系的眼光来加工教材,让学生获得更为丰富、深刻和灵动的体验。下面是笔者的几点尝试:
一、用历史的眼光解读:追溯数学知识的源头
苏霍姆林斯基说过:接近和深挖事物的本质及其因果联系的实质,这一过程本身就是兴趣的主要源泉。数学知识是人类文明在漫长跋涉的进程中,经历了无数人尝试、抽象、概括和提炼的发展历程,最后形成了符号化、体系化的概念、法则、公式和方法。这一发展过程以及过程背后的发展规律是数学知识最大的魅力所在。数学教师不能以已知者的身份来看待学生,只关注知识的记忆和运用,而忽略知识是怎样产生的。数学教学需要还原知识本身的“血肉”,而不只是熟记“骨架”。当然这一过程,不同于数学家发明过程的简单复制,也不是数学发展史的浓缩,数学教师应当敏锐地感受到知识发展中的一些内在规律,即知识发展的“内核”,进而从某一知识发展的“内核”引导学生感受知识的“创造”“发现”的过程。
例如数学教学中有很多的规定,为什么会有这样的规定,而不是其它的可能呢?教师要用一种历史的眼光来解读这些现象:为什么正数前面的正号可以省略?就是因为生活中正数用的比负数多,规定正号可以省略,可以更方便些。为什么加号写成“ ”?据说,中世纪的酒商在售出酒后,曾用横线标出酒桶里的存酒,而当桶里的酒又增加时,便用竖线条把原来画的横线划掉,于是出现了表示减少的“-”和用来表示增加的“ ”。为什么厘米用字母“cm”?就是因为厘米的英文单词是centimeter,取它的缩写就是“cm”。很多单位的字母表示都是源自其英文单词的缩写。为什么时间(时、分、秒)的进率选择了60呢?史学家通过考证认为,这是因为“在100以内的自然数中,60的因数最多”,这样可以使许多有关时间的运算(特别是古代有关历法计算)变得十分简便。
很多数学知识探寻其源头,其实并不复杂和神秘。相反,却能感受到一种亲切和温情:很多时候,数学知识只是数学家根据生活常识进行合理的提炼和总结、创造而已。当孩子拥有这样的数学学习经历,数学在他的眼里,一定不是枯燥和深奥的,相反,数学是一种思维的乐趣,是一种创造的启迪,当我们的认知积累到一定程度时,我们也可以用自己的理解去创造属于自己的知识。
二、用理性的眼光解读:透视现象背后的本质
每一门学科,都有其独特的教育价值。每一门学科,在教给孩子基础的知识和技能后,也必然自觉或不自觉地影响着孩子认识世界的思维方式、行为态度,使得孩子拥有一种新的看清世界的眼光。数学教学要引导学生用一种用理性的眼光观察现象,用辩证的头脑思考问题,让学生的数学视野更为深远。
例如教学“素数和合数”时,笔者引进这样一个数学背景:1634年,来自欧洲的殖民者在美洲大陆田纳西地区经历了一场恐怖:大量的蝉(达到每公顷数百万只)仿佛一夜之间从地底冒出,几个星期之后,又销声匿迹。时隔17年,这一现象再次出现,直到1991年,共出现了22次,周期非常准确。科学家发现,蝉的生命周期大都为质数,比如在北美洲北部地区周期为17年,而在北美洲南部地区周期为13年,为什么是17和13,而不是其它数字呢?科学家解释说,蝉在进化的过程中选择质数为生命周期,可以大大降低与天敌遭遇的概率。比如它的生命周期是12年,则与那些生命周期为1年、2年、3年、4年、6年及12年的天敌都可能遭遇,而使得种群生存受威胁。
再如学习了圆周长之后,笔者这样引思:假设在地球赤道上缠一根橡皮筋,同时在一只西瓜的最大横截面上也缠一根橡皮筋。如果将地球和西瓜的半径都加长1米,那么缠在地球和西瓜上的橡皮筋都将拉长,请问:哪根橡皮筋被拉长得多一些?学生想象中当然是缠在地球上的橡皮筋拉得长,但实际上是一样的。经过计算,地球和西瓜都增加2?仔米 。
数学学习要让知识的学习伴随着丰富的数学思考,让方法的渗透伴随着理性精神的培育。数学可以扫除现象上面的迷雾和障碍,帮助我们直接抵达问题的本质。数学学习的价值不只是计算和解题,要让学生在思辨中体会到数学的巨大力量,获得心灵上的震撼。
三、用智慧的眼光解读:把脉儿童思维的节点
数学教学不能停留于无须智慧努力只须听讲和记忆就能掌握的那种程度,这实际上是对学生智慧的扼杀和个性的摧残。数学教学为学生提供的不应是支零破碎、细枝末叶的数学知识,而是作为结构的数学、智慧的数学。教师要注重揭示“方法背后的方法”,提炼出知识内容本身的策略思想,提高学生的控制能力,达到“闻一知十”的效果。
例如著名特级教师徐斌老师教学“用转化的策略解决实际问题”时,注重在品味每个转化个例中进行凝练提升。在比较两个不规则图形的面积大小时,通过平移和旋转,两个不规则图形都转化成同一个规则的长方形,最终轻松比较面积大小相等,教师归结为:复杂→简单;在回忆平行四边形、三角形、梯形、圆面积计算公式和圆柱、圆锥体积计算公式的推导过程时,教师让学生发现它们的共同之处:新问题→旧知识……在此基础上,徐老师提出了如何获知一张纸的厚度、一枚硬币的体积、一个灯泡的容积等生活中富有挑战性的问题,这些在平常可能让学生冥思苦想而难得其解的问题,在徐老师的课堂上却表现异常活跃,解决问题的方法层出不穷。原因就在于教师找到了儿童思维的节点,当教师亮出“薄→( )”的方法提示时,学生很快就能想到“厚”,进而考虑增加同样的纸张进行转化的策略,由此,再联想到“小→大”“浸入→排除”的转化策略也就水到渠成。
数学教材不只提供知识结论,也设计了知识的形成过程,但这不能替代教师的引领。儿童数学知识的累加并不总是对应能力的发展、智慧的提升,教师要站在系统的高度,善于抓到学生思维获得突破的节点,画龙点睛,在不改变问题总量的情况下提升思维的含量,发展学生的数学思考能力。
四、用幽默的眼光解读:创设轻松理解的氛围
苏霍姆林斯基认为,学生要能牢固地记忆概念、结论、规则及其他概括,他就必须阅读和思考许多并不需要识记的材料。这些材料是应当保持在记忆里的那些概括的基础。事实上,在数学学习活动中,当学生面对抽象的数学知识时,支撑着学生理解数学知识的还有更为丰富和感性的数学事实知识体系。教师要善于找到这些能够帮助学生获取抽象性知识的学习材料。
例如笔者教学圆周率时,为了形象地说明圆周率是无限不循环小数,笔者介绍1996年初,数学家利用电脑将?仔值已算到42亿多位,数字排列也没有出现重复。日本一个数学家专门将算出的?仔值出了一本书,厚达几百页,但还没有算完。
卡特金说过:“未经过人的积极感情强化和加温的知识,将使人变得冷漠。由于它不能拨动人的心弦,很快就会遗忘。”有经验的数学教师会让学生学会由数学事实中发现(或者是顿悟)而不是灌输概括性知识。只有这样,才能让这些关键知识有效地保持在记忆里,并及时地获得提取。
总之,其实数学符号、几何图形、公式、定理等这些数学的构成要素都源于人们的生活,原本是田野的、质朴的和有感情的,只不过把它们抽象成数学知识,负载于教材后这些鲜活的内容就被固化。数学教师要能够超越教材,致力于还原其人文的本真面目,这不只是数学学习的需要,更是学生生命成长的需要。
(作者单位:江苏翔宇教育集团宝应县实验小学)
本栏责任编辑李淳
有的老师为了改变这种“教得单调、学得无趣”的现状,在课堂上增加题目难度,或者干脆补充奥数题目,美其名曰是发展学生的数学思维能力。但这种改变只是单纯增加了解题步骤,或强化了特定解题技巧的训练,而不是我们所需要的对数学知识本质的观照、数学思想的体验和数学价值的领悟。这样的教学,我们发展的是学生的解题技巧,而非孩子的灵性。
儿童视角下的数学教学,不是单纯的知识的传授和接受,而是儿童生命成长的一段历程。我们给学生的不能只是“1 1=2”之类的规定性内容,还要让学生领略数学的美妙、神奇和巨大价值,感受数学知识本身散发出的独特魅力。因此,我们对于数学知识的加工不能只局限于教材中的知识和技能层面,还要用一种更为广泛和联系的眼光来加工教材,让学生获得更为丰富、深刻和灵动的体验。下面是笔者的几点尝试:
一、用历史的眼光解读:追溯数学知识的源头
苏霍姆林斯基说过:接近和深挖事物的本质及其因果联系的实质,这一过程本身就是兴趣的主要源泉。数学知识是人类文明在漫长跋涉的进程中,经历了无数人尝试、抽象、概括和提炼的发展历程,最后形成了符号化、体系化的概念、法则、公式和方法。这一发展过程以及过程背后的发展规律是数学知识最大的魅力所在。数学教师不能以已知者的身份来看待学生,只关注知识的记忆和运用,而忽略知识是怎样产生的。数学教学需要还原知识本身的“血肉”,而不只是熟记“骨架”。当然这一过程,不同于数学家发明过程的简单复制,也不是数学发展史的浓缩,数学教师应当敏锐地感受到知识发展中的一些内在规律,即知识发展的“内核”,进而从某一知识发展的“内核”引导学生感受知识的“创造”“发现”的过程。
例如数学教学中有很多的规定,为什么会有这样的规定,而不是其它的可能呢?教师要用一种历史的眼光来解读这些现象:为什么正数前面的正号可以省略?就是因为生活中正数用的比负数多,规定正号可以省略,可以更方便些。为什么加号写成“ ”?据说,中世纪的酒商在售出酒后,曾用横线标出酒桶里的存酒,而当桶里的酒又增加时,便用竖线条把原来画的横线划掉,于是出现了表示减少的“-”和用来表示增加的“ ”。为什么厘米用字母“cm”?就是因为厘米的英文单词是centimeter,取它的缩写就是“cm”。很多单位的字母表示都是源自其英文单词的缩写。为什么时间(时、分、秒)的进率选择了60呢?史学家通过考证认为,这是因为“在100以内的自然数中,60的因数最多”,这样可以使许多有关时间的运算(特别是古代有关历法计算)变得十分简便。
很多数学知识探寻其源头,其实并不复杂和神秘。相反,却能感受到一种亲切和温情:很多时候,数学知识只是数学家根据生活常识进行合理的提炼和总结、创造而已。当孩子拥有这样的数学学习经历,数学在他的眼里,一定不是枯燥和深奥的,相反,数学是一种思维的乐趣,是一种创造的启迪,当我们的认知积累到一定程度时,我们也可以用自己的理解去创造属于自己的知识。
二、用理性的眼光解读:透视现象背后的本质
每一门学科,都有其独特的教育价值。每一门学科,在教给孩子基础的知识和技能后,也必然自觉或不自觉地影响着孩子认识世界的思维方式、行为态度,使得孩子拥有一种新的看清世界的眼光。数学教学要引导学生用一种用理性的眼光观察现象,用辩证的头脑思考问题,让学生的数学视野更为深远。
例如教学“素数和合数”时,笔者引进这样一个数学背景:1634年,来自欧洲的殖民者在美洲大陆田纳西地区经历了一场恐怖:大量的蝉(达到每公顷数百万只)仿佛一夜之间从地底冒出,几个星期之后,又销声匿迹。时隔17年,这一现象再次出现,直到1991年,共出现了22次,周期非常准确。科学家发现,蝉的生命周期大都为质数,比如在北美洲北部地区周期为17年,而在北美洲南部地区周期为13年,为什么是17和13,而不是其它数字呢?科学家解释说,蝉在进化的过程中选择质数为生命周期,可以大大降低与天敌遭遇的概率。比如它的生命周期是12年,则与那些生命周期为1年、2年、3年、4年、6年及12年的天敌都可能遭遇,而使得种群生存受威胁。
再如学习了圆周长之后,笔者这样引思:假设在地球赤道上缠一根橡皮筋,同时在一只西瓜的最大横截面上也缠一根橡皮筋。如果将地球和西瓜的半径都加长1米,那么缠在地球和西瓜上的橡皮筋都将拉长,请问:哪根橡皮筋被拉长得多一些?学生想象中当然是缠在地球上的橡皮筋拉得长,但实际上是一样的。经过计算,地球和西瓜都增加2?仔米 。
数学学习要让知识的学习伴随着丰富的数学思考,让方法的渗透伴随着理性精神的培育。数学可以扫除现象上面的迷雾和障碍,帮助我们直接抵达问题的本质。数学学习的价值不只是计算和解题,要让学生在思辨中体会到数学的巨大力量,获得心灵上的震撼。
三、用智慧的眼光解读:把脉儿童思维的节点
数学教学不能停留于无须智慧努力只须听讲和记忆就能掌握的那种程度,这实际上是对学生智慧的扼杀和个性的摧残。数学教学为学生提供的不应是支零破碎、细枝末叶的数学知识,而是作为结构的数学、智慧的数学。教师要注重揭示“方法背后的方法”,提炼出知识内容本身的策略思想,提高学生的控制能力,达到“闻一知十”的效果。
例如著名特级教师徐斌老师教学“用转化的策略解决实际问题”时,注重在品味每个转化个例中进行凝练提升。在比较两个不规则图形的面积大小时,通过平移和旋转,两个不规则图形都转化成同一个规则的长方形,最终轻松比较面积大小相等,教师归结为:复杂→简单;在回忆平行四边形、三角形、梯形、圆面积计算公式和圆柱、圆锥体积计算公式的推导过程时,教师让学生发现它们的共同之处:新问题→旧知识……在此基础上,徐老师提出了如何获知一张纸的厚度、一枚硬币的体积、一个灯泡的容积等生活中富有挑战性的问题,这些在平常可能让学生冥思苦想而难得其解的问题,在徐老师的课堂上却表现异常活跃,解决问题的方法层出不穷。原因就在于教师找到了儿童思维的节点,当教师亮出“薄→( )”的方法提示时,学生很快就能想到“厚”,进而考虑增加同样的纸张进行转化的策略,由此,再联想到“小→大”“浸入→排除”的转化策略也就水到渠成。
数学教材不只提供知识结论,也设计了知识的形成过程,但这不能替代教师的引领。儿童数学知识的累加并不总是对应能力的发展、智慧的提升,教师要站在系统的高度,善于抓到学生思维获得突破的节点,画龙点睛,在不改变问题总量的情况下提升思维的含量,发展学生的数学思考能力。
四、用幽默的眼光解读:创设轻松理解的氛围
苏霍姆林斯基认为,学生要能牢固地记忆概念、结论、规则及其他概括,他就必须阅读和思考许多并不需要识记的材料。这些材料是应当保持在记忆里的那些概括的基础。事实上,在数学学习活动中,当学生面对抽象的数学知识时,支撑着学生理解数学知识的还有更为丰富和感性的数学事实知识体系。教师要善于找到这些能够帮助学生获取抽象性知识的学习材料。
例如笔者教学圆周率时,为了形象地说明圆周率是无限不循环小数,笔者介绍1996年初,数学家利用电脑将?仔值已算到42亿多位,数字排列也没有出现重复。日本一个数学家专门将算出的?仔值出了一本书,厚达几百页,但还没有算完。
卡特金说过:“未经过人的积极感情强化和加温的知识,将使人变得冷漠。由于它不能拨动人的心弦,很快就会遗忘。”有经验的数学教师会让学生学会由数学事实中发现(或者是顿悟)而不是灌输概括性知识。只有这样,才能让这些关键知识有效地保持在记忆里,并及时地获得提取。
总之,其实数学符号、几何图形、公式、定理等这些数学的构成要素都源于人们的生活,原本是田野的、质朴的和有感情的,只不过把它们抽象成数学知识,负载于教材后这些鲜活的内容就被固化。数学教师要能够超越教材,致力于还原其人文的本真面目,这不只是数学学习的需要,更是学生生命成长的需要。
(作者单位:江苏翔宇教育集团宝应县实验小学)
本栏责任编辑李淳