摘要：浙江省高考数学最后一道压轴题由原来的导数转移到数列部分，它结合了不等式的性质及证明等知识，包含数列放缩的思想方法；对不等式的理解掌握要求高，要求考生有较高的探究发现、运算求解能力，试题难度大。其中关于数列求和的相关问题是重要的考查方向，本文通过一到模拟题归纳总结数列求和问题中∑ni=1an≤f（n）不等式的常规解法。
　　关键词：∑ni=1an≤f（n）型数列不等式；分析法；数学归纳法；构造法
　　课程改革以来，浙江省数学高考卷就以全面深入考查基础知识、基本技能、基本思想方法的命题原则，多层次、多角度的考查考生的思维能力及数学素养，充分体现了考基础、考能力、考素质、考潜能和以考生发展为本的考试目标；试题灵活，立意新颖，区分度高，选拔功能强。自2015年，浙江省高考数学最后一道压轴题由原来的导数转移到数列部分，它结合了不等式的性质及证明等知识，包含数列放缩的思想方法；对不等式的理解掌握要求高，要求考生有较高的探究发现、运算求解能力，试题难度大。其中关于数列求和的相关问题是重要的考查方向，数列求和问题常见的基本结构形式有如下2种：
　　①∑ni=1an≤k（k为常数）；②∑ni=1an≤f（n）；
　　对于第①种类型可根据题目特点利用等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等进行放缩证明，在本文不做研究。本文主要探究∑ni=1an≤f（n）型数列不等式涉及的方法和技巧，现从一道模拟题开始探讨：
　　例已知数列{an}满足a1=1，an 1=an 1an（n∈N*）。
　　（Ⅰ）求证：2≤a2n 1-a2n≤3；
　　（Ⅱ）求证：1a1 1a2 … 1an≤2n-1。
　　解析：（Ⅰ）由题易知{an}是正项数列；由递推公式an 1=an 1anan 1-an=1an>0所以{an}是递增数列即an≥1。an 1=an 1an两边平方得：a2n 1=a2n 1a2n 2a2n 1-a2n=1a2n 2∈[2，3]。
　　（Ⅱ）题是典型的∑ni=1an≤f（n）型数列不等式先通过下面三种方法解决这一问题：
　　方法1：利用分析法选择切入点：
　　（Ⅰ）中不等式累加可得：a2n≥2n-1，所以1an≤12n-1，利用裂项的技巧当n≥2时1an≤12n-1=222n-1≤22n-1 2n-3=2n-1-2n-3经过累加可证明结论。详细解答如下：
　　由（Ⅰ）可得：a2n-a2n-1≥2，a2n-1-a2n-2≥2，…，a23-a22≥2，a22-a21≥2，累加可得：a2n≥2n-1；
　　开方后取倒数1an≤12n-1=222n-1≤22n-1 2n-3=2n-1-2n-3；
　　所以当n≥2时从第二项開始放缩1a1 1a2 … 1an≤1 2×2-1-2×2-3 … 2n-3-2n-5 2n-1-2n-3=2n-1；
　　当n=1时显然成立；
　　综上所述1a1 1a2 … 1an≤2n-1。证毕
　　点评：数学问题是环环相扣的要善于发现题目中的内在联系，难点是不等式1an≤12n-1=222n-1≤22n-1 2n-3=2n-1-2n-3放缩，对不等式放缩技巧要求高，难度较大，我们是否可以在回归到题目中所给的条件，从另外的角度去寻找思路？下面所给的方法2和方法3就是从全新的角度去思考和探究：
　　方法2：数学归纳法
　　利用题目中条件可得1an=an 1-an，所以 1a1 1a2 … 1an=an 1-a1，只需用数归证an 1≤2n-1 1，此时可用归纳等法法进行证明。
　　详细解答如下：
　　由an 1=an 1an可知1an=an 1-an，
　　所以求证1a1 1a2 … 1an=a2-a1 a3-a2 an 1-an=an 1-1≤2n-1，
　　即证明：an 1≤2n-1 1，下面用数学归纳法证明：
　　当n=1时，a2=2≤2×1-1 1；
　　假设当n=k时，ak 1≤2k-1 1；
　　当n=k 1时，ak 2=ak 1 1ak 1≤2k-1 1 12k-1 1。
　　ak 2=ak 1 1ak 1≤2k-1 1 12k-1 1
　　下面证明： 2k-1 1 12k-1 1≤2k 1 1
　　12k-1 1≤2k 1-2k-1=22k 1 2k-1，
　　2k 1 2k-1≤22k-1 22≥2k 1-2k-1
　　=22k 1 2k-12k 1 2k-1≥1
　　因为2k 1 2k-1≥1（k≥2）恒成立，
　　所以2k-1 1 12k-1 1≤2k 1 1，
　　所以ak 2≤2k 1 1；
　　综上由数学归纳法可得：an 1≤2n-1 1，
　　所以1a1 1a2 … 1an≤2n-1。证毕
　　方法3：构造新的数列
　　我们都知道数列的前n项和是关于n的函数，反之对于f（n）我们可以把它看做是新数列{bn}的前n项和，验证bn≥1an，那么此结论不攻自破。
　　详细解答如下：
　　由（Ⅰ）可得：a2n-a2n-1≥2，a2n-1-a2n-2≥2，…，a23-a22≥2，a22-a21≥2，累加可得：a2n≥2n-1；
　　开方后取倒数1an≤12n-1；
　　构造新的数列{bn}满足：
　　bn=1n=12n-1-2n-3n≥2，
　　易知数列{bn}前n项和是2n-1；
　　当n=1时，b1=1≥a1；
　　当n≥2时，bn=2n-1-2n-3=22n-1 2n-3≥22n-1 2n-1
　　=12n-1≥1an；
　　综上所述bn≥1an；
　　所以1a1 1a2 … 1an≤b1 b2 … bn=12n-1。证毕
　　方法3是形如∑ni=1ai　　设Sn和Tn分别为数列{an}和{bn}的前n项和，显然，若an　　本题中方法1和方法2都是用数列求和中常规的方法去解决问题，方法3是利用数列前n项和的函数特点构造新数列进行解题，对于同一道题目从多角度去思考感受数学的奥妙，感知探究的乐趣。数学是一门灵活开放的学科，它的思想方法没有一成不变的，本文中归纳的方法只是∑ni=1an≤f（n）型数列不等式常见的几种，有句话说得好：“生活不是缺少美，而是缺少发现美的眼睛。”数学学习也是如此，深入思考，挖掘问题的本质，才能融会贯通，达到“无招胜有招的”境界。
　　作者简介：
　　郝培德，浙江省杭州市，浙江省杭州学军中学。