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函数是中学数学中最重要的概念，函数思想的核心是事物的变量之间有一种依存关系，因变量随着自变量的变化而变化，通过对这种变化的探究找出变量之间的对应法则，从而构建函数模型.函数思想体现了运动变化的、普遍联系的观点.因此函数知识在中考数学试题中比重最大，试题涵盖选择、填空和解答各个题型，包含易、中、难3个等级.本文就2012年数学中考中函数型试题的考查特点进行初步的分析和研究.
一、 典型试题分析与研究
2012年的中考数学试题中，就函数试题而言，总体来说，函数试题所占比重较大，考查范围涉及函数的方方面面，覆盖面很广，难度层次也很多.中考对函数知识的要求是很高的，大都是函数表达式、图像和性质之间的综合考查，其中综合考查函数实际应用的试题最多，而最难的往往是函数与方程、不等式的结合，其中还涉及参变量，解答中少不了利用数形结合、分类讨论的思想.
1. 对函数的表示方法，有效地考查学生敏锐的观察思维和辨别能力
在解决数学问题中，元认知监控能力起着重要的作用.在求解过程中，若能有意识地与题干、选项进行比对，观察分析并及时调整求解的方法或方向，则可以顺利求解.
例1 （2012湖南长沙）小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时，自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s（m）关于时间t（min）的函数图象，那么符合小明行驶情况的大致图象是（ ）
分析 本题考察了函数图像的表示方法，需要学生自己阅读题目完成解答.
研究：阅读文字会发现小明上学的行程为3段，其中有一段时间在修车，所以该时间段路程不变，即可获得答案.
解答 小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，说明路程s逐步变大；但行至中途时，自行车出了故障，只好停下来修车，在修车的时间段内，行驶路程S是不变的；车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，行驶路程又开始变大，共计分为3段，所以本题选项为C.
评析 本题考查函数图象的选择.函数图象能直观的反映出实际问题中变量之间的函数关系，是中考命题的热点之一.对于函数图象的选择，命题者关注的重点并非放在精确绘制函数图象上，而是提供一个与现实生活密切联系的问题情境，关注同学们对图象的理解和灵活运用函数知识解决实际问题的能力.从命题者关注的侧重点出发分析问题，往往能收到事半功倍的效果.
2. 对函数的图像与性质，有效地考查学生思维的灵活性和超常的联系能力.
学生思维的灵活性和超常的联系能力体现在“将基本知识综合，构造新的问题，利用数形结合思想方法灵活求解，并综合应用基本知识和技能的能力”.
例2 （2012江苏徐州）函数y=x+的图象如图所示，关于该函数，下列结论正确的是 .
① 函数图象是轴对称图形；
②函数图象是中心对称图形；
③ 当x>0时，函数有最小值；
④点（1，4）在函数图象上；
⑤ 当x<1或x>3时，y>4.
分析 本题是一道综合性比较强的题，以复合函数为载体考查轴对称图形、中心对称图形、函数与图像、函数与不等式等有关问题，要求学生对各知识点有较好的理解.
研究 是否为轴对称图形关键是看能否找到对称轴，是否为中心对称图形关键是看能否找到对称中心，把点（1，4）直接代入解析式，看是否成立，就能知是否在图像上，当x>0时从图像上看有最低点，所以有最小值，当x=1时函数值为4，所以当04，同理当x>3时y>4.
解答 仔细观察图像容易得出函数图像不是轴对称图形，但是中心对称图形，对称中心为原点，把点（1，4）直接代入解析式y=1+3=4，所以点（1，4）在图像上，x>0时图像在第一象限，有最低点，所以有最小值，结合图像进一步得当03时y>4.所以本题结论正确的是：②③④ .
评析 读图题，要注意利用“数形结合”从函数图像获取信息解决实际问题.
3. 对函数的应用，有效地考查学生分析和解决数形结合问题的能力
例3 （2012山东莱芜）下列四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序（ ）
① 一辆汽车在公路上匀速行使（汽车行使的路程与时间的关系）
② 向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）
③ 将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）
④ 一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）
A. ①②④③ B. ③④②①
C. ①④②③ D. ③②④①
分析 本题考查根据具体情境理解函数图象.
研究 思路1. 从图象反映的两个变量的变化趋势对应具体情境选择.思路2. 从具体情境的语言叙述，考察两个变量的变化，对应图象选择.
解答 ①是匀速行驶图象是第4个②表示y随x的变化先较慢后较快属第2个图象③温度计读数随时间逐惭升高图象是第1个④的图象应是第3个，故选D
评析 把具体情境的变量的变化关系，和图象上的两个变量的变化关系，两相对照，找到符合条件的对应项.解决它需要一定的数学能力.思路（1） 体现了函数构造、画图、数形转换等能力；思路（2） 就体现了较强的数学直观能力，需要扎实的数学基础.
4.对函数变换，有效地考查学生获得新知识和运用新知识的能力.
如例4所示的题型给人的第一印象是概念新颖，但考查的依然是学生对基本知识、技能的掌握程度，这新与旧之间的桥梁就是化归思想.学生通过转化将新颖的问题转为熟悉的问题，达到解决问题的目的. 例4 （2012广西钦州）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y），若规定以下两种变换：
① f（x，y）=（y，x），如f（2，3）=（3，2）；
② g（x，y）=（-x，-y），如g（2，3）=（-2，-3）.
按照以上变换有：f（g（2，3））=f（-2，-3）=（-3，-2），那么g（f（-6，7））等于（ ）
A. （7，6） B. （7，-6）
C. （-7，6） D. （-7，-6）
分析 本题考查了一种新型的运算法则，考查了学生的阅读理解能力，此类题的难点是判断先进行哪个运算，关键是明白两种运算改变了哪个坐标的符号.
研究 由题意应先进行f方式的运算，再进行g方式的运算，注意运算顺序及坐标的符号变化.
解答 解：∵f（-6，7）=（7，-6），
∴g（f（-6，7））=g（7，-6）=（-7，6），故选C.
评析 本题是阅读理解题，解决本题的关键是读懂题意，理清题目中运算和坐标的对应关系和运算规则，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度.
5. 对函数思想，有效地考查学生解决函数型问题的综合能力.
例5 （2012江苏盐城）
知识迁移
当a>0且x>0时，因为（-）2≥0，所以x-2+≥0，从而x+≥2（当x=2时取等号）.记函数y= x+（a>0，x>0），由上述结论可知：当x=2时，该函数有最小值为2.
直接应用
已知函数y1=x（x>0）与函数y2=（x>0），则当x= ，y+y取得最小值为 .
变形应用
已知函数y1=x+1（x>-1）与函数y2=（x+1）2+4（x>-1），求的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值.
实际应用
已知某汽车的依次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001，设汽车一次运输路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？
分析 本题考查了函数等知识.掌握和理解阅读材料是解题的关键.
研究 （1）通过阅读发现x+≥2（当x=2时取等号）.然后运用结论解决问题；
（2）构造x+≥2，运用结论解决.
（3） 解决实际问题.
解答 直接应用
1， 2
变形应用
解 ∵==（x+1）+（x>-1），
∴有最小值为2=4，当x+1=，即x=1时取得该最小值.
实际应用
解 设该汽车平均每千米的运输成本为y元，则y=
=0.001x++1.6=0.001（x+）+1.6，
∴ 当x==600（千米）时， 该汽车平均每千米的运输成本y最低，最低成本为0.001×2+1.6=2.8元.
评析 数学的建模思想是一种重要的思想，能体现学生综合应用能力，具有一定的挑战性，特别是运用函数来确定最大（小）值时，要运用配方法得到函数的最小值.
（下转第40页）
（上接第47页）
二、 函数思想的教学应注意的问题
就数学教学而言，函数与方程、不等式有着内在的联系，函数性质的研究依赖于不等式及方程的知识，如求自变量x的取值范围，实质上就是解不等式（组），函数增减性的分析归根到底就是不等式的证明等等；另一方面方程、不等式等内容都可统一到函数思想下进行研究，如解方程就是求函数y的值为零时，自变量x的取值，也就是y的零点值，解不等式y > 0，或y<0就是求函数y的正、负值时自变量x的取值范围.应该说，函数图像是函数、方程、不等式这几者之间建立起密切联系、实现数形完美结合的载体.因此，在函数图像教学中，把图像作为一种语言去学习，引导学生准确、全面地理解函数图像的概念，并着意给他们提供看图像、读图像、说图像的机会.在观察图像时具体指明观察的目的、层次、范围，分析说明时尽量做到寓数于形、以形见数，以深化学生的数形结合观.
因此，在函数思想的教学我们应特别关注以下几点.
1. 方程中的字母x、y等代表具体的未知的常数，即未知数，这是代数思想和方程思想的基础.
2. 正、反比例函数，一次函数和二次函数等函数关系式中的字母x、y等代表的是变化的量，即变量，而且这两个量是相关联的量，一个量变化，另一个量会随之变化，这是函数思想的基础.要让学生体会它们的区别.
3. 结合具体情境，通过分析数量关系来理解等量关系，并用方程表示等量关系，再通过解方程解决问题，从而认识方程的作用.
4. 结合问题情境，通过分析数量关系和变化规律建立函数关系式，再通过解解方程解决问题.
5.能根据给出的关系的数据在平面直角坐标系上画图，并根据其中一个量的值估计另一个量的值.
6. 能灵活利用几何基本图形的性质，借助方程模型解决函数的综合应用问题.
布鲁纳说：“掌握数学思想和方法可使得数学更容易理解和更容易记忆，更重要的是，领会基本思想和方法是通向迁移大道的光明之路……” .因此，解题过程中，教师应有目标、有计划地引导学生体会、提炼其隐含的数学思想、方法，使学生在接受知识的同时，受到数学思想方法的熏陶和启迪，这样，才能把提高学生的能力落到实处.
一、 典型试题分析与研究
2012年的中考数学试题中，就函数试题而言，总体来说，函数试题所占比重较大，考查范围涉及函数的方方面面，覆盖面很广，难度层次也很多.中考对函数知识的要求是很高的，大都是函数表达式、图像和性质之间的综合考查，其中综合考查函数实际应用的试题最多，而最难的往往是函数与方程、不等式的结合，其中还涉及参变量，解答中少不了利用数形结合、分类讨论的思想.
1. 对函数的表示方法，有效地考查学生敏锐的观察思维和辨别能力
在解决数学问题中，元认知监控能力起着重要的作用.在求解过程中，若能有意识地与题干、选项进行比对，观察分析并及时调整求解的方法或方向，则可以顺利求解.
例1 （2012湖南长沙）小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时，自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s（m）关于时间t（min）的函数图象，那么符合小明行驶情况的大致图象是（ ）
分析 本题考察了函数图像的表示方法，需要学生自己阅读题目完成解答.
研究：阅读文字会发现小明上学的行程为3段，其中有一段时间在修车，所以该时间段路程不变，即可获得答案.
解答 小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，说明路程s逐步变大；但行至中途时，自行车出了故障，只好停下来修车，在修车的时间段内，行驶路程S是不变的；车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，行驶路程又开始变大，共计分为3段，所以本题选项为C.
评析 本题考查函数图象的选择.函数图象能直观的反映出实际问题中变量之间的函数关系，是中考命题的热点之一.对于函数图象的选择，命题者关注的重点并非放在精确绘制函数图象上，而是提供一个与现实生活密切联系的问题情境，关注同学们对图象的理解和灵活运用函数知识解决实际问题的能力.从命题者关注的侧重点出发分析问题，往往能收到事半功倍的效果.
2. 对函数的图像与性质，有效地考查学生思维的灵活性和超常的联系能力.
学生思维的灵活性和超常的联系能力体现在“将基本知识综合，构造新的问题，利用数形结合思想方法灵活求解，并综合应用基本知识和技能的能力”.
例2 （2012江苏徐州）函数y=x+的图象如图所示，关于该函数，下列结论正确的是 .
① 函数图象是轴对称图形；
②函数图象是中心对称图形；
③ 当x>0时，函数有最小值；
④点（1，4）在函数图象上；
⑤ 当x<1或x>3时，y>4.
分析 本题是一道综合性比较强的题，以复合函数为载体考查轴对称图形、中心对称图形、函数与图像、函数与不等式等有关问题，要求学生对各知识点有较好的理解.
研究 是否为轴对称图形关键是看能否找到对称轴，是否为中心对称图形关键是看能否找到对称中心，把点（1，4）直接代入解析式，看是否成立，就能知是否在图像上，当x>0时从图像上看有最低点，所以有最小值，当x=1时函数值为4，所以当0
解答 仔细观察图像容易得出函数图像不是轴对称图形，但是中心对称图形，对称中心为原点，把点（1，4）直接代入解析式y=1+3=4，所以点（1，4）在图像上，x>0时图像在第一象限，有最低点，所以有最小值，结合图像进一步得当0
评析 读图题，要注意利用“数形结合”从函数图像获取信息解决实际问题.
3. 对函数的应用，有效地考查学生分析和解决数形结合问题的能力
例3 （2012山东莱芜）下列四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序（ ）
① 一辆汽车在公路上匀速行使（汽车行使的路程与时间的关系）
② 向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）
③ 将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）
④ 一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）
A. ①②④③ B. ③④②①
C. ①④②③ D. ③②④①
分析 本题考查根据具体情境理解函数图象.
研究 思路1. 从图象反映的两个变量的变化趋势对应具体情境选择.思路2. 从具体情境的语言叙述，考察两个变量的变化，对应图象选择.
解答 ①是匀速行驶图象是第4个②表示y随x的变化先较慢后较快属第2个图象③温度计读数随时间逐惭升高图象是第1个④的图象应是第3个，故选D
评析 把具体情境的变量的变化关系，和图象上的两个变量的变化关系，两相对照，找到符合条件的对应项.解决它需要一定的数学能力.思路（1） 体现了函数构造、画图、数形转换等能力；思路（2） 就体现了较强的数学直观能力，需要扎实的数学基础.
4.对函数变换，有效地考查学生获得新知识和运用新知识的能力.
如例4所示的题型给人的第一印象是概念新颖，但考查的依然是学生对基本知识、技能的掌握程度，这新与旧之间的桥梁就是化归思想.学生通过转化将新颖的问题转为熟悉的问题，达到解决问题的目的. 例4 （2012广西钦州）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y），若规定以下两种变换：
① f（x，y）=（y，x），如f（2，3）=（3，2）；
② g（x，y）=（-x，-y），如g（2，3）=（-2，-3）.
按照以上变换有：f（g（2，3））=f（-2，-3）=（-3，-2），那么g（f（-6，7））等于（ ）
A. （7，6） B. （7，-6）
C. （-7，6） D. （-7，-6）
分析 本题考查了一种新型的运算法则，考查了学生的阅读理解能力，此类题的难点是判断先进行哪个运算，关键是明白两种运算改变了哪个坐标的符号.
研究 由题意应先进行f方式的运算，再进行g方式的运算，注意运算顺序及坐标的符号变化.
解答 解：∵f（-6，7）=（7，-6），
∴g（f（-6，7））=g（7，-6）=（-7，6），故选C.
评析 本题是阅读理解题，解决本题的关键是读懂题意，理清题目中运算和坐标的对应关系和运算规则，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度.
5. 对函数思想，有效地考查学生解决函数型问题的综合能力.
例5 （2012江苏盐城）
知识迁移
当a>0且x>0时，因为（-）2≥0，所以x-2+≥0，从而x+≥2（当x=2时取等号）.记函数y= x+（a>0，x>0），由上述结论可知：当x=2时，该函数有最小值为2.
直接应用
已知函数y1=x（x>0）与函数y2=（x>0），则当x= ，y+y取得最小值为 .
变形应用
已知函数y1=x+1（x>-1）与函数y2=（x+1）2+4（x>-1），求的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值.
实际应用
已知某汽车的依次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001，设汽车一次运输路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？
分析 本题考查了函数等知识.掌握和理解阅读材料是解题的关键.
研究 （1）通过阅读发现x+≥2（当x=2时取等号）.然后运用结论解决问题；
（2）构造x+≥2，运用结论解决.
（3） 解决实际问题.
解答 直接应用
1， 2
变形应用
解 ∵==（x+1）+（x>-1），
∴有最小值为2=4，当x+1=，即x=1时取得该最小值.
实际应用
解 设该汽车平均每千米的运输成本为y元，则y=
=0.001x++1.6=0.001（x+）+1.6，
∴ 当x==600（千米）时， 该汽车平均每千米的运输成本y最低，最低成本为0.001×2+1.6=2.8元.
评析 数学的建模思想是一种重要的思想，能体现学生综合应用能力，具有一定的挑战性，特别是运用函数来确定最大（小）值时，要运用配方法得到函数的最小值.
（下转第40页）
（上接第47页）
二、 函数思想的教学应注意的问题
就数学教学而言，函数与方程、不等式有着内在的联系，函数性质的研究依赖于不等式及方程的知识，如求自变量x的取值范围，实质上就是解不等式（组），函数增减性的分析归根到底就是不等式的证明等等；另一方面方程、不等式等内容都可统一到函数思想下进行研究，如解方程就是求函数y的值为零时，自变量x的取值，也就是y的零点值，解不等式y > 0，或y<0就是求函数y的正、负值时自变量x的取值范围.应该说，函数图像是函数、方程、不等式这几者之间建立起密切联系、实现数形完美结合的载体.因此，在函数图像教学中，把图像作为一种语言去学习，引导学生准确、全面地理解函数图像的概念，并着意给他们提供看图像、读图像、说图像的机会.在观察图像时具体指明观察的目的、层次、范围，分析说明时尽量做到寓数于形、以形见数，以深化学生的数形结合观.
因此，在函数思想的教学我们应特别关注以下几点.
1. 方程中的字母x、y等代表具体的未知的常数，即未知数，这是代数思想和方程思想的基础.
2. 正、反比例函数，一次函数和二次函数等函数关系式中的字母x、y等代表的是变化的量，即变量，而且这两个量是相关联的量，一个量变化，另一个量会随之变化，这是函数思想的基础.要让学生体会它们的区别.
3. 结合具体情境，通过分析数量关系来理解等量关系，并用方程表示等量关系，再通过解方程解决问题，从而认识方程的作用.
4. 结合问题情境，通过分析数量关系和变化规律建立函数关系式，再通过解解方程解决问题.
5.能根据给出的关系的数据在平面直角坐标系上画图，并根据其中一个量的值估计另一个量的值.
6. 能灵活利用几何基本图形的性质，借助方程模型解决函数的综合应用问题.
布鲁纳说：“掌握数学思想和方法可使得数学更容易理解和更容易记忆，更重要的是，领会基本思想和方法是通向迁移大道的光明之路……” .因此，解题过程中，教师应有目标、有计划地引导学生体会、提炼其隐含的数学思想、方法，使学生在接受知识的同时，受到数学思想方法的熏陶和启迪，这样，才能把提高学生的能力落到实处.