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【摘要】利用概率的统计定义、古典定义和几何定义去求解复合事件的概率，有一定的局限性.本文通过研究事件间的关系，利用事件的运算律、概率的计算公式、随机事件的独立性、随机变量的分布列（或概率密度）等，对求解复合事件概率的若干方法进行了探讨.
【关键词】复合事件；概率；事件的运算律；概率公式；独立性；分布列（或概率密度）
【中图分类号】G64【文献标识码】A
概率反映了随机事件的统计规律性.求解简单事件的概率，我们可以使用概率的统计定义、古典定义和几何定义，但对于复合事件的概率，使用定义还远远不够.下面我们探讨求复合事件概率的若干方法.
一、使用事件的运算律及概率的计算公式求解
为了求解复合事件的概率，我们可以首先研究随机事件间的关系，然后利用事件的运算律，使用概率的加法公式、乘法公式、条件概率公式和全概率公式等概率的计算公式去求解.
例1某人打靶，命中10环的概率为0.3，命中9环的概念为0.4，求最多命中8环的概率.
解设A={命中10环}，B={命中9环}，C={最多命中8环}，则C={命中环数超过8环}={命中环数为9环或10环}=A B，且A、B互不相容，于是
P（C）=P（A B）=P（A） P（B）=0.3 0.4=0.7.
P（C）=1-P（C）=1-0.7=0.3.
即最多命中8环的概率为0.3.
该题的求解利用了两事件互不相容的加法公式P（A B）=P（A） P（B）及对立事件的概念公式P（C）=1-P（C）.这里分析事件间的关系是关键.
例2某校对一年级学生上下两学期学习成绩的统计分析中发现：上下两学期均优的占学生总数的5%，仅上学期得优的占学生总数的7%，仅下学期得优的占学生总数的8%.求：（1）已知某学生上学期没得优，估计下学期得优的概率；（2）上下两学期均没得优的概率.
解设A={上学期成绩得优}，B={下学期成绩得优}，则P（AB）=0.05，
P（AB）=0.07，P（AB）=0.08；
由A=AΩ=A（B B）=AB AB，且AB，AB互不相容，得
P（A）=P（AB AB）=P（AB） P（AB）=0.07 0.08=0.15，P（A）=1-P（A）=1-0.15=0.85.
于是（1）P（BA）=P（AB）P（A）=0.080.85≈0.094.
即已知某学生上学期没得优，估计下学期得优的概率为0.094.
（2）P（AB）=P（A）P（B|A）=P（A）（1-P（B|A））=0.85×（1-0.094）≈0.77.
即上下两学期均没得优的概率为0.94.
该题的求解利用了事件的运算律：A=AΩ=A（B B）=AB AB，且AB，AB互不相容，这是解题的突破口.同时使用了概率的乘法公式P（AB）=P（A）P（BA）=P（B）P（AB），条件概率公式P（BA）=P（AB）P（A），再次用到两事件互不相容的加法公式P（A B）=P（A） P（B）及对立事件的概念公式P（C）=1-P（C）.
二、利用事件的独立性求解对于事件A与B，若P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与B相互独立.
事件的独立性有如下性质：1.必然事件及不可能事件与任何事件独立；2.若事件A与事件B相互独立，则A与B，A与B，A与B中的各对事件也相互独立；3.当P（A）>0，P（B）>0时，下面四个结论是等价的：事件A与B相互独立
P（AB）=P（A）P（B）P（B）=P（BA）P（A）=P（AB）.
事件的独立性在求复合事件的概率中有广泛的应用.概率论中的最早模型之一——伯努里概型就是一个独立试验序列模型，涉及产品质量检验及群体遗传学的概率问题很多都是伯努里概型.
例3设甲、乙、丙三射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9，0.88，0.8，求在一次射击中，目标被击中的概率.
解设A1={甲射手击中目标}，A2={乙射手击中目标}，A3={丙射手击中目标}，B={目标被击中}，则A1，A2，A3相互独立，P（A）=0.9，P（B）=0.88，P（C）=0.8，
且B=A1 A2 A3，于是
P（B）=P（A1 A2 A3）=1-P（A1 A2 A3）=1-P（A1A2A3），
又因为A1，A2，A3相互独立，所以A1，A2，A3也相互独立，即
P（B）=1-P（A1A2A3）=1-P（A1）P（A2）P（A3）=1-（1-P（A1））（1-P（A2））（1-P（A3））=1-（1-0.9）×（1-0.88）×（1-0.8）=0.9976.
该题的求解就是利用了事件的独立性及其性质.
例4一条自动化生产线上产品的一级品率为0.6，现从中随机抽取10件检查，求：（1）恰有2件一级品的概率；（2）至少有2件一级品的概率.
解设Ai=恰有i件一级品，i=0，1，…，10，B=至少有2件一级品，则
P（Ai）=P10（i）=Ci100.6i（1-0.6）10-i=Ci100.6i0.410-i，i=0，1，…，10.
于是（1）P（A2）=P10（2）=C210×0.62×0.410-2≈0.0106.
（2）P（B）=P（A2 A3 … A10）=∑i=10i=2P10（i）=1-P10（0）-P10（1）
=1-0.410-C110×0.6×0.49≈0.9983.
本题中的抽样方法是不放回抽样（由于产品的数量很大，而抽取数量相对较小，因此可以作为有放回抽样来近似处理），我们可以将检验10件产品是否是一级品看成是10重伯努里试验.该题的求解使用了伯努里定理（如果在一次试验中，事件A发生的概率为p（0 三、利用随机变量的分布列（或概率密度）求解
常见的随机变量及其分布实际上是已知随机变量的分布列（或概率密度），我们可以根据随机变量的分布函数与分布列（或概率密度）的关系求出事件的概率.该种方法确定现实生活中的随机现象服从的分布是关键.
例5从某大学到火车站途中有6个交通岗，假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立，并且遇到红灯的概率都是13，求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.
解设X表示汽车行驶途中遇到的红灯数，由题意知X～B（6，13），于是X的分布律为P（X=k）=Ck613k236-kk=0，1，…，6
于是P（X≥5）=P（X=5） P（X=6）=C56135236-5 C66136236-6=13729
即汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率为13729.
该题解题的关键是明确汽车行驶途中遇到的红灯数服从二项分布.
例6设某电子元件的使用寿命X（年）服从参数为3的指数分布，现已知该电子元件已使用1.5年，求它还能使用2年的概率.
解該电子元件的使用寿命X的概率密度为
f（x）=3e-3xx>00x<0
则P（X>3.5X>1.5）=P（X>3.5X>3.5）P（X>1.5）=P（X>3.5）P（X>1.5）=∫ ∞3.53e-3xdx∫ ∞1.53e-3xdx=e-6
即该电子元件已使用1.5年，它还能使用2年的概率为e-6.
该题综合应用随机变量的指数分布与条件概率公式求解.
综上所述，求解复合事件的概率虽然复杂、困难，但我们可以利用概率的计算公式，事件的独立性及随机变量的概率分布等方法，使复杂的问题简单化，其中分析事件间的关系是各种方法的关键.
【参考文献】
[1]刘明忠等.应用高等数学[M].南京大学出版社.2013.08.
[2]韩飞等.应用经济数学[M].湖南师范大学出版社.2011.06.
【关键词】复合事件；概率；事件的运算律；概率公式；独立性；分布列（或概率密度）
【中图分类号】G64【文献标识码】A
概率反映了随机事件的统计规律性.求解简单事件的概率，我们可以使用概率的统计定义、古典定义和几何定义，但对于复合事件的概率，使用定义还远远不够.下面我们探讨求复合事件概率的若干方法.
一、使用事件的运算律及概率的计算公式求解
为了求解复合事件的概率，我们可以首先研究随机事件间的关系，然后利用事件的运算律，使用概率的加法公式、乘法公式、条件概率公式和全概率公式等概率的计算公式去求解.
例1某人打靶，命中10环的概率为0.3，命中9环的概念为0.4，求最多命中8环的概率.
解设A={命中10环}，B={命中9环}，C={最多命中8环}，则C={命中环数超过8环}={命中环数为9环或10环}=A B，且A、B互不相容，于是
P（C）=P（A B）=P（A） P（B）=0.3 0.4=0.7.
P（C）=1-P（C）=1-0.7=0.3.
即最多命中8环的概率为0.3.
该题的求解利用了两事件互不相容的加法公式P（A B）=P（A） P（B）及对立事件的概念公式P（C）=1-P（C）.这里分析事件间的关系是关键.
例2某校对一年级学生上下两学期学习成绩的统计分析中发现：上下两学期均优的占学生总数的5%，仅上学期得优的占学生总数的7%，仅下学期得优的占学生总数的8%.求：（1）已知某学生上学期没得优，估计下学期得优的概率；（2）上下两学期均没得优的概率.
解设A={上学期成绩得优}，B={下学期成绩得优}，则P（AB）=0.05，
P（AB）=0.07，P（AB）=0.08；
由A=AΩ=A（B B）=AB AB，且AB，AB互不相容，得
P（A）=P（AB AB）=P（AB） P（AB）=0.07 0.08=0.15，P（A）=1-P（A）=1-0.15=0.85.
于是（1）P（BA）=P（AB）P（A）=0.080.85≈0.094.
即已知某学生上学期没得优，估计下学期得优的概率为0.094.
（2）P（AB）=P（A）P（B|A）=P（A）（1-P（B|A））=0.85×（1-0.094）≈0.77.
即上下两学期均没得优的概率为0.94.
该题的求解利用了事件的运算律：A=AΩ=A（B B）=AB AB，且AB，AB互不相容，这是解题的突破口.同时使用了概率的乘法公式P（AB）=P（A）P（BA）=P（B）P（AB），条件概率公式P（BA）=P（AB）P（A），再次用到两事件互不相容的加法公式P（A B）=P（A） P（B）及对立事件的概念公式P（C）=1-P（C）.
二、利用事件的独立性求解对于事件A与B，若P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与B相互独立.
事件的独立性有如下性质：1.必然事件及不可能事件与任何事件独立；2.若事件A与事件B相互独立，则A与B，A与B，A与B中的各对事件也相互独立；3.当P（A）>0，P（B）>0时，下面四个结论是等价的：事件A与B相互独立
P（AB）=P（A）P（B）P（B）=P（BA）P（A）=P（AB）.
事件的独立性在求复合事件的概率中有广泛的应用.概率论中的最早模型之一——伯努里概型就是一个独立试验序列模型，涉及产品质量检验及群体遗传学的概率问题很多都是伯努里概型.
例3设甲、乙、丙三射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9，0.88，0.8，求在一次射击中，目标被击中的概率.
解设A1={甲射手击中目标}，A2={乙射手击中目标}，A3={丙射手击中目标}，B={目标被击中}，则A1，A2，A3相互独立，P（A）=0.9，P（B）=0.88，P（C）=0.8，
且B=A1 A2 A3，于是
P（B）=P（A1 A2 A3）=1-P（A1 A2 A3）=1-P（A1A2A3），
又因为A1，A2，A3相互独立，所以A1，A2，A3也相互独立，即
P（B）=1-P（A1A2A3）=1-P（A1）P（A2）P（A3）=1-（1-P（A1））（1-P（A2））（1-P（A3））=1-（1-0.9）×（1-0.88）×（1-0.8）=0.9976.
该题的求解就是利用了事件的独立性及其性质.
例4一条自动化生产线上产品的一级品率为0.6，现从中随机抽取10件检查，求：（1）恰有2件一级品的概率；（2）至少有2件一级品的概率.
解设Ai=恰有i件一级品，i=0，1，…，10，B=至少有2件一级品，则
P（Ai）=P10（i）=Ci100.6i（1-0.6）10-i=Ci100.6i0.410-i，i=0，1，…，10.
于是（1）P（A2）=P10（2）=C210×0.62×0.410-2≈0.0106.
（2）P（B）=P（A2 A3 … A10）=∑i=10i=2P10（i）=1-P10（0）-P10（1）
=1-0.410-C110×0.6×0.49≈0.9983.
本题中的抽样方法是不放回抽样（由于产品的数量很大，而抽取数量相对较小，因此可以作为有放回抽样来近似处理），我们可以将检验10件产品是否是一级品看成是10重伯努里试验.该题的求解使用了伯努里定理（如果在一次试验中，事件A发生的概率为p（0
常见的随机变量及其分布实际上是已知随机变量的分布列（或概率密度），我们可以根据随机变量的分布函数与分布列（或概率密度）的关系求出事件的概率.该种方法确定现实生活中的随机现象服从的分布是关键.
例5从某大学到火车站途中有6个交通岗，假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立，并且遇到红灯的概率都是13，求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.
解设X表示汽车行驶途中遇到的红灯数，由题意知X～B（6，13），于是X的分布律为P（X=k）=Ck613k236-kk=0，1，…，6
于是P（X≥5）=P（X=5） P（X=6）=C56135236-5 C66136236-6=13729
即汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率为13729.
该题解题的关键是明确汽车行驶途中遇到的红灯数服从二项分布.
例6设某电子元件的使用寿命X（年）服从参数为3的指数分布，现已知该电子元件已使用1.5年，求它还能使用2年的概率.
解該电子元件的使用寿命X的概率密度为
f（x）=3e-3xx>00x<0
则P（X>3.5X>1.5）=P（X>3.5X>3.5）P（X>1.5）=P（X>3.5）P（X>1.5）=∫ ∞3.53e-3xdx∫ ∞1.53e-3xdx=e-6
即该电子元件已使用1.5年，它还能使用2年的概率为e-6.
该题综合应用随机变量的指数分布与条件概率公式求解.
综上所述，求解复合事件的概率虽然复杂、困难，但我们可以利用概率的计算公式，事件的独立性及随机变量的概率分布等方法，使复杂的问题简单化，其中分析事件间的关系是各种方法的关键.
【参考文献】
[1]刘明忠等.应用高等数学[M].南京大学出版社.2013.08.
[2]韩飞等.应用经济数学[M].湖南师范大学出版社.2011.06.