复合事件概率求解的方法探讨

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  【摘要】利用概率的统计定义、古典定义和几何定义去求解复合事件的概率,有一定的局限性.本文通过研究事件间的关系,利用事件的运算律、概率的计算公式、随机事件的独立性、随机变量的分布列(或概率密度)等,对求解复合事件概率的若干方法进行了探讨.
  【关键词】复合事件;概率;事件的运算律;概率公式;独立性;分布列(或概率密度)
  【中图分类号】G64【文献标识码】A
  概率反映了随机事件的统计规律性.求解简单事件的概率,我们可以使用概率的统计定义、古典定义和几何定义,但对于复合事件的概率,使用定义还远远不够.下面我们探讨求复合事件概率的若干方法.
  一、使用事件的运算律及概率的计算公式求解
  为了求解复合事件的概率,我们可以首先研究随机事件间的关系,然后利用事件的运算律,使用概率的加法公式、乘法公式、条件概率公式和全概率公式等概率的计算公式去求解.
  例1某人打靶,命中10环的概率为0.3,命中9环的概念为0.4,求最多命中8环的概率.
  解设A={命中10环},B={命中9环},C={最多命中8环},则C={命中环数超过8环}={命中环数为9环或10环}=A B,且A、B互不相容,于是
  P(C)=P(A B)=P(A) P(B)=0.3 0.4=0.7.
  P(C)=1-P(C)=1-0.7=0.3.
  即最多命中8环的概率为0.3.
  该题的求解利用了两事件互不相容的加法公式P(A B)=P(A) P(B)及对立事件的概念公式P(C)=1-P(C).这里分析事件间的关系是关键.
  例2某校对一年级学生上下两学期学习成绩的统计分析中发现:上下两学期均优的占学生总数的5%,仅上学期得优的占学生总数的7%,仅下学期得优的占学生总数的8%.求:(1)已知某学生上学期没得优,估计下学期得优的概率;(2)上下两学期均没得优的概率.
  解设A={上学期成绩得优},B={下学期成绩得优},则P(AB)=0.05,
  P(AB)=0.07,P(AB)=0.08;
  由A=AΩ=A(B B)=AB AB,且AB,AB互不相容,得
  P(A)=P(AB AB)=P(AB) P(AB)=0.07 0.08=0.15,P(A)=1-P(A)=1-0.15=0.85.
  于是(1)P(BA)=P(AB)P(A)=0.080.85≈0.094.
  即已知某学生上学期没得优,估计下学期得优的概率为0.094.
  (2)P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)(1-P(B|A))=0.85×(1-0.094)≈0.77.
  即上下两学期均没得优的概率为0.94.
  该题的求解利用了事件的运算律:A=AΩ=A(B B)=AB AB,且AB,AB互不相容,这是解题的突破口.同时使用了概率的乘法公式P(AB)=P(A)P(BA)=P(B)P(AB),条件概率公式P(BA)=P(AB)P(A),再次用到两事件互不相容的加法公式P(A B)=P(A) P(B)及对立事件的概念公式P(C)=1-P(C).
  二、利用事件的独立性求解对于事件A与B,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与B相互独立.
  事件的独立性有如下性质:1.必然事件及不可能事件与任何事件独立;2.若事件A与事件B相互独立,则A与B,A与B,A与B中的各对事件也相互独立;3.当P(A)>0,P(B)>0时,下面四个结论是等价的:事件A与B相互独立
  P(AB)=P(A)P(B)P(B)=P(BA)P(A)=P(AB).
  事件的独立性在求复合事件的概率中有广泛的应用.概率论中的最早模型之一——伯努里概型就是一个独立试验序列模型,涉及产品质量检验及群体遗传学的概率问题很多都是伯努里概型.
  例3设甲、乙、丙三射手独立地射击同一目标,他们击中目标的概率分别为0.9,0.88,0.8,求在一次射击中,目标被击中的概率.
  解设A1={甲射手击中目标},A2={乙射手击中目标},A3={丙射手击中目标},B={目标被击中},则A1,A2,A3相互独立,P(A)=0.9,P(B)=0.88,P(C)=0.8,
  且B=A1 A2 A3,于是
  P(B)=P(A1 A2 A3)=1-P(A1 A2 A3)=1-P(A1A2A3),
  又因为A1,A2,A3相互独立,所以A1,A2,A3也相互独立,即
  P(B)=1-P(A1A2A3)=1-P(A1)P(A2)P(A3)=1-(1-P(A1))(1-P(A2))(1-P(A3))=1-(1-0.9)×(1-0.88)×(1-0.8)=0.9976.
  该题的求解就是利用了事件的独立性及其性质.
  例4一条自动化生产线上产品的一级品率为0.6,现从中随机抽取10件检查,求:(1)恰有2件一级品的概率;(2)至少有2件一级品的概率.
  解设Ai=恰有i件一级品,i=0,1,…,10,B=至少有2件一级品,则
  P(Ai)=P10(i)=Ci100.6i(1-0.6)10-i=Ci100.6i0.410-i,i=0,1,…,10.
  于是(1)P(A2)=P10(2)=C210×0.62×0.410-2≈0.0106.
  (2)P(B)=P(A2 A3 … A10)=∑i=10i=2P10(i)=1-P10(0)-P10(1)
  =1-0.410-C110×0.6×0.49≈0.9983.
  本题中的抽样方法是不放回抽样(由于产品的数量很大,而抽取数量相对较小,因此可以作为有放回抽样来近似处理),我们可以将检验10件产品是否是一级品看成是10重伯努里试验.该题的求解使用了伯努里定理(如果在一次试验中,事件A发生的概率为p(0  三、利用随机变量的分布列(或概率密度)求解
  常见的随机变量及其分布实际上是已知随机变量的分布列(或概率密度),我们可以根据随机变量的分布函数与分布列(或概率密度)的关系求出事件的概率.该种方法确定现实生活中的随机现象服从的分布是关键.
  例5从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是13,求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.
  解设X表示汽车行驶途中遇到的红灯数,由题意知X~B(6,13),于是X的分布律为P(X=k)=Ck613k236-kk=0,1,…,6
  于是P(X≥5)=P(X=5) P(X=6)=C56135236-5 C66136236-6=13729
  即汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率为13729.
  该题解题的关键是明确汽车行驶途中遇到的红灯数服从二项分布.
  例6设某电子元件的使用寿命X(年)服从参数为3的指数分布,现已知该电子元件已使用1.5年,求它还能使用2年的概率.
  解該电子元件的使用寿命X的概率密度为
  f(x)=3e-3xx>00x<0
  则P(X>3.5X>1.5)=P(X>3.5X>3.5)P(X>1.5)=P(X>3.5)P(X>1.5)=∫ ∞3.53e-3xdx∫ ∞1.53e-3xdx=e-6
  即该电子元件已使用1.5年,它还能使用2年的概率为e-6.
  该题综合应用随机变量的指数分布与条件概率公式求解.
  综上所述,求解复合事件的概率虽然复杂、困难,但我们可以利用概率的计算公式,事件的独立性及随机变量的概率分布等方法,使复杂的问题简单化,其中分析事件间的关系是各种方法的关键.
  【参考文献】
  [1]刘明忠等.应用高等数学[M].南京大学出版社.2013.08.
  [2]韩飞等.应用经济数学[M].湖南师范大学出版社.2011.06.
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