2013年高考数学新课标卷Ⅰ第21题：已知函数
　　f （x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲线
　　y=f （x）
　　和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2.
　　（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
　　（Ⅱ）若x≥-2时，f （x）≤kg（x），求k的取值范围.
　　第（Ⅰ）问解得a=4，b=2，c=2，d=2.主要借助导数的几何意义及切线方程求参数的值.
　　第（Ⅱ）问很容易看出是导数中的一类常规题型：恒成立问题.并且解决方案用到了我们解决恒成立问题常用的三种方法.
　　方法1：构造函数，分类讨论.
　　由（Ⅰ）可知f （x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1），
　　设函数F（x）=kg（x）-f （x）=2kex（x+1）-x2-4x-2，则
　　F′（x）=2kex（x+2）-2x-4=2（x+2）（kex-1）
　　由题设可得F（0）≥0，即
　　k≥1，令F′（x）=0，得
　　x1=-lnk，x2=-2.
　　（ⅰ）若
　　1≤k≤e2，则-2　　x∈（-2，x1）时，F′（x）<0；当
　　x∈（x1，+∞）时，
　　F′（x）>0.即
　　F（x）在（-2，x1）上单调递减，在
　　（x1，+∞）上单调递增.故
　　F（x）在
　　[-2，+∞）上的最小值为
　　F（x1）.而
　　F（x1）=2x1+2-x21-4x1-2
　　=-x1（x1+2）≥0.
　　故当
　　x≥2时，
　　F（x）≥0，即f （x）≤kg（x）.
　　（ⅱ）若k=e2，则
　　F′（x）=2e2（x+2）（ex-e-2），从而当
　　x>-2时，
　　F′（x）>0，即
　　F（x）在（-2，+∞）上单调递增.而
　　F（-2）=0，故当
　　x≥-2时，
　　F（x）≥0，即
　　f （x）≤kg（x）.
　　（ⅲ）若k>e2，则
　　F（-2）=-2ke-2+2=-2e-2（k-e2）<0 ，从而当
　　x≥-2时，
　　f （x）≤kg（x）不可能成立.
　　方法2：分离参数后，构造函数.
　　若x≥-2时，
　　f （x）≤kg（x），即x2+4x+2≤kex（2x+2）（1）
　　（ⅰ）当x=-1时，-1≤k
　　·0，即-1≤0恒成立，
　　（ⅱ）当x>-1时，（1）式等价与
　　x2+4x+2ex（2x+2）≤k
　　恒成立.
　　令F（x）=x2+4x+2ex（2x+2），
　　则
　　F′（x）=
　　（2x+4）（2x+2）ex-（2x+4）（x2+4x+2）ex
　　e2x（2x+2）2
　　整理将F′（x）=-2x（x+2）2e2x（2x+2）2.
　　当x∈（-1，0）时，F′（x）>0，F（x）单调递增，当
　　x∈（0，+∞）时，F′（x）<0，F（x）单调递减.
　　所以F（x）的最大值为F（0）=1，所以k≥1.
　　（ⅲ）当-2　　x2+4x+2ex（2x+2）≥k
　　恒成立.同样构造函数F（x）.
　　由（ⅱ）可知x∈（-2，-1）时
　　F′（x）>0，F（x）单调递增.所以F（x）的最小值为
　　F（-2）=e2，所以k≤e2.
　　综上所述，1≤k≤e2.
　　方法3：适当变形，数形结合.
　　若x≥-2时，
　　f （x）≤kg（x），即
　　x2+4x+2
　　ex≤2k（x+1）
　　（1）
　　令F（x）=x2+4x+2ex
　　，G（x）=2k（x+1）.
　　若当x≥2时（1）恒成立，则
　　F（x）的图象恒在G（x）图象及其的下方.
　　又F′（x）=
　　-x2-2x+2ex，令
　　F′（x）=0，得
　　x1=3-1，x2=-
　　3-1 （舍去）
　　则当x∈（-2，3-1）时，F′（x）>0，F（x）单调递增，当
　　x∈（3-1，+∞）时F′（x）<0，F（x）单调递减.且
　　F（-2）=-2e2，F（3
　　-1）=
　　23+2e
　　3-1
　　，F（-1）=-e，F（0）=2.
　　图1
　　由罗比塔法则可知 limx→∞
　　x2+4x+2ex
　　=limx→+∞
　　2x+4exx→+∞
　　2ex=0.
　　当x→+∞，F（x）→0.
　　F（x）的图象如图1所示.
　　函数G（x）的图象为恒过点
　　（-1，0）的直线，由图可知：当且仅当直线过点
　　（-2，-2e2），并由此顺时针绕点
　　（-1，0）旋转到与F（x）的图象相切时，都符合题意.直线过点
　　（-2，-2e2）时斜率
　　2k=2e2，k=e2，直线与
　　F（x）的图象相切时，设切点为
　　（x，x2+4x+2ex），
　　则有
　　x2+4x+2ex
　　x-（-1）=
　　-x2-2+2ex，解得x=0或-2（由此可知
　　G（x）过点
　　（-2，-2e2）时也与F（x）相切）.则切点为（0，2）时直线的斜率2k=2，
　　即k=1，综上所述
　　1≤k≤e2.
　　这道关于导数的高考试题完全立足于基础知识与常规方法，重在考查学生是否能够克服畏难情绪，灵活利用基本方法，解决恒成立问题.通过这样一个常规题型深入考查学生的运算能力，综合解决问题的能力及分类讨论与数形结合的思想.解决恒成立问题的三种方法要结合具体题目灵活运用.