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摘 要：数学概念是客观事物中数与形的本质属性的反映，是构建数学理论大厦的基石，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是学生提高解题能力的前提，是数学学科的灵魂和精髓。数学概念是数学知识体系中的核心环节，也是学生的知识结构和数学认知结构的核心环节，因此数学概念教学具有举足轻重的作用。
关键词：数学概念；概念教学；数学思维
中学数学课程标准中指出“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提”。数学概念是数学基础知识的核心，它明确揭示了事物的本质属性和相互间的内在联系。所以正确地理解数学概念，既是掌握好数学基础知识的前提，也是培养学生进行正确抽象概括，形成方法和理论的先决条件。学生如果不能正确地理解数学中的各种概念，就不能很好地掌握各种法则、公式、定理，也就不能应用所学知识去解决实际问题。因此，抓好数学概念的教学，是提高数学教学质量的关键。
一、 目前学生学习状况分析
学生数学能力的发展取决于他对数学概念的牢固掌握与深刻理解与否。而在现实中，许多学生对数学的学习，只注重盲目地做习题，不重视数学概念的掌握，对基本概念含糊不清。做习题不懂得从基本概念入手，思考解题依据，探索解题方法。这样的学习，必然越学越糊涂。因而笔者认为数学概念的教学在整个数学教学中有其不可替代的作用与地位。
例如：计算：4的值，很多同学会得出4=±2，这就是对平方根与算术平方根的概念的模糊不清而造成的。这样久而久之，从而严重影响对数学基础知识和基本技能的掌握和运用。只有真正掌握了数学中的基本概念，我们才能把握数学的知识系统，才能正确、合理、迅速地进行运算，論证和空间想象。从一定意义上说，数学水平的高低，取决于对数学概念掌握的程度。
二、 数学概念教学过程
（一） 数学概念的引入
数学概念的引入，是数学概念教学的第一个环节，也是十分重要的环节。概念引入得当，就可以紧紧地围绕课题，充分地激发起学生的兴趣和学习动机，为学生顺利地掌握概念起到奠基作用。
引出新概念的过程，是揭示概念的发生和形成过程，而各个数学概念的发生形成过程又不尽相同，因此，教学中必须根据各种概念的产生背景，结合学生的具体情况，适当地选取不同的方式去引入概念。
1. 以感性材料为基础引入新概念
用学生在日常生活中所接触到的事物或教材中的实际问题以及模型、图形、图表等作为感性材料，引导学生通过观察、分析、比较、归纳和概括去获取概念。
例如，要学习“平行线”的概念，可以让学生辨认一些熟悉的实例，像铁轨、门框的上下两条边、黑板的上下边缘等，然后分化出各例的属性，从中找出共同的本质属性。铁轨有属性：是铁制的、可以看成是两条直线、在同一个平面内、两条边可以无限延长、永不相交等。同样可分析出门框和黑板上下边的属性。通过比较可以发现，它们的共同属性是：可以抽象地看成两条直线；两条直线在同一平面内；彼此间距离处处相等；两条直线没有公共点等，最后抽象出本质属性，得到平行线的定义。
以感性材料为基础引入新概念，是用概念形成的方式去进行教学的，因此教学中应选择那些能充分显示被引入概念的特征性质的事例，正确引导学生去进行观察和分析，这样才能使学生从事例中归纳和概括出共同的本质属性，形成概念。
2. 以新、旧概念之间的关系引入新概念
如果新、旧概念之间存在某种关系，如相容关系、不相容关系等，那么新概念的引入就可以充分地利用这种关系去进行。
例如：在教学一元二次方程时，就可以先复习一元一次方程，因为一元一次方程是基础，一元二次方程是延伸，复习一元一次方程是合乎知识逻辑的。通过比较得出两种方程都是只含有一个未知数的整式方程，差异仅在于未知数的最高次数不同。由此很容易建立起“一元二次方程”的概念。
3. 以“问题”的形式引入新概念
以“问题”的形式引入新概念，这也是概念教学中常用的方法。我们可以从现实生活中的问题引入数学概念或者从数学问题或理论本身的发展需要引入概念。
例如，笔者在教学“方程”这一概念时，设置了如下问题：①怎样才能使天平保持平衡？②天平保持平衡说明了什么？③你能用式子来表示天平左边和右边重量的关系吗？④式子中能不能含有求知数？⑤如果含有求知数，那么这种式子又称为什么？这样让学生带着问题操作天平、讨论并解决以上问题，顺利得出了方程的概念。
4. 从概念的发生过程引入新概念
数学中有些概念是用发生式定义的，在进行这类概念的教学时，可以采用演示活动的直观教具或演示画图说明的方法去揭示事物的发生过程。
例如，圆的概念的引出前，可让同学们联想生活中见过的年轮、太阳、五环旗、圆形跑道等实物的形状，再让学生用圆规在纸上画圆，也可用准备好的定长的线绳，将一端固定，而另一端带有铅笔并绕固定端旋转一周，从而引导同学们自己发现圆的形成过程，进而总结出圆的特点：圆周上任意一点到圆心的距离相等，从而猜想归纳出圆的概念。这种方法生动直观，体现了运动变化的观点和思想，同时，引入的过程又自然地、无可辩驳地阐明了这一概念的客观存在性。
（二） 数学概念的形成
引入概念，仅是概念教学的第一步，要使学生获得概念，还必须引导学生准确地理解概念，明确概念的内涵与外延，正确表述概念的本质属性。为此，教学中可采用一些具有针对性的方法。
1. 对比与类比
对比概念，可以找出概念间的差异；类比概念，可以发现概念间的相同或相似之处。例如，学习“分式”概念时，可以与“分数”概念进行对比与类比，去比较发现两者的不同点与相同点。用对比或类比讲述新概念，一定要突出新、旧概念的差异，明确新概念的内涵，防止旧概念对学习新概念产生的负迁移作用的影响。 2. 恰当运用反例
概念教学中，除了从正面去揭示概念的内涵外，还应考虑运用适当的反例去突出概念的本质属性，尤其是让学生通过对比正例与反例的差异，对自己出现的错误进行反思，更利于强化学生对概念本质属性的理解。用反例去突出概念的本质属性，实质是使学生明确概念的外延从而加深对概念内涵的理解。凡具有概念所反映的本质属性的对象必属于该概念的外延集，而反例的构造，就是让学生找出不属于概念外延集的对象，显然，这是概念教学中的一种重要手段。
例如讲解分式的概念时，可举下例进行辨析：在下列各式1-xx，1 1y，a-ba，x（x 3）2，5 xπ 1，a b4 中，是分式的是哪几个？通过对各代数式的比较，深刻理解分式的概念。
3. 合理运用变式
依靠感性材料理解概念，往往由于提供的感性材料具有片面性、局限性，或者感性材料的非本质属性具有较明显的突出特征，容易形成干扰的信息，而削弱学生对概念本质属性的正确理解。因此，在教学中应注意运用变式，从不同角度、不同方面去反映和刻画概念的本质属性。一般来说，变式包括图形变式、式子变式和字母变式等。
例如学了“垂直”概念后，学生往往认为只有竖直方向和水平方向的“⊥”才是垂直，而其他方向的“⊥”就不是垂直。这时教师可适当出一些不同位置的垂直关系，通过变式练习，学生对“垂直”概念的理解自然会深刻得多、全面而系统得多。
（三） 数学概念的巩固
巩固是概念教学的重要环节。心理学原理认为：概念一旦获得，如不及时巩固，就会被遗忘。
1. 注意及时复习
概念的巩固是在对概念的理解和应用中去完成和实现的，同时还必须及时复习，巩固离不开必要的复习。
例如，在学习了“倒数”的概念以后，让学生完成下列练习：
（1）数a的倒数是1a吗？
（2）任何数都有倒数吗？
（3）一个不为零的数与它的倒数的积是多少？
（4）什么数的倒数仍是它本身？
（5）一个不为零的数的倒数一定比这个数大还是小呢？
（6）一个不为零的数的倒数的倒数是什么？
对于这些问题，教师要启发、引导学生准确完成上述练习，加深对“倒数”的理解，自然就巩固了“倒数”的概念。
2. 重视应用
在概念教学中，既要引导学生由具体到抽象，形成概念，又要让学生由抽象到具体，运用概念，学生是否牢固地掌握了某个概念，不仅在于能否说出这个概念的名称和背诵概念的定义，而且还在于能否正确灵活地应用，通过应用可以加深理解，增强记忆，提高数学的应用意识。例如，学习最值问题时，联系实际举例：用100米长的细绳，怎样围成一个一边靠墙的四边形鸡舍，使鸡舍面积最大？通过这个问题可帮助学生深刻理解最值问题，从而提高解决实际问题的能力，加强数学的应用。
三、 抓住概念中的关键词，讲授时注重细化
概念中的一些关键词语非常重要，教学时，教师应尽量采用平实的语言分析、细化关键词语，以学生较易接受的方式呈现出来.这样就能使学生准确地、深刻地领会那些至关重要的字、词在概念中的意义，从而提高他们的理解能力。
例如反比例函数y=1x图像和性质：当k>0时，在每个象限内，y随x值的增大而减小；当k<0时，在每个象限内，y随x值的增大而增大。讲这条性质时必须严格强调“在每个象限内”。要斟字酌句地对重点字词进行剖析，让学生体会数学语言的严谨，同时培养学生的数学表达能力，培养学生的数学思维。
对几何概念的教学，除要求学生能正确叙述其意义外，还应要求他们画出表示概念的圖形，熟练地掌握概念的标注和读法.概念的标注和读法要规范，一些约定俗成的规矩必须遵循，同时还要将概念的文字语言和图形语言进行互译，语、图、式三者之间要根据需要相互转化。
四、 应培养学生做到五会：会理解、会记识、会表达、会比较、会举例
1. 会理解——理解概念要透彻
要记住数学概念，首先要理解透彻，不能囫囵吞枣，要求在讲概念时讲清、讲透。对课本上的精练的概念应该字斟句酌，帮助学生彻底认清关键性的字眼，逐字逐句理解透彻，力求真正弄懂。
如在讲授一元二次方程的概念时，可补充下列：当m为何值时，关于x 的方程（m 1）xm2 4m 5 x-5=0是一元二次方程？本题按照一元二次方程定义除了需要条件m2 4m 5=2外，一定不能忘了二次项系数m 1≠0这一条件，这样对概念的理解才能更全面，更透彻。
2. 会记识——记识概念要深刻
数学概念不仅仅要理解，还要对重要的概念、定理、定义、数学思想方法进行必要的识记。识记应当在理解的基础上进行，通过理解来帮助记忆，通过记忆来加深理解。
例如：讲实数的绝对值时，既讲其代数定义，又讲其几何定义：“数轴上表示一个数的点，它到原点的距离叫做这个数的绝对值”，让学生看着数轴上的图示记忆这一概念，从而更好地理解绝对值的非负性。
3. 会表述——表述概念要准确
概念形成之后，应及时让学生用语言表述出来，以加深对概念的印象，促进内化。语言作为思维的物质载体，教师可从学生的表述中得到反馈信息，了解、评价学生的思维结果。表述概念可以要求学生用自己的语言叙述，可以不按课本原文，按某一个角度表达。
例如：讲解同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减，可以引导学生换一种表述方式，同分母分式加减法：ac±bc=a±bc。
4. 会比较——比较概念要鉴别
有比较才有鉴别。许多数学概念相互之间联系密切，讲新概念时，要联系已讲的概念，比较它们之间的异同点。例如一元一次不等式与一元一次方程，在“一元”与“一次”上是相同的，不同的是前者含不等号，后者含等号。对于易混淆的概念的最主要区别要特别强调。
5. 会举例——运用概念要灵活
在提问数学概念时，有的学生会按课本内容回答得一字不差，但是要他举个例子，想了半天却举不出来或举错例子，更谈不上灵活应用了，这说明学生不是真懂。
例如：学习了“三角形的内切圆”后，让学生试着解决这个问题：“工人师傅要将一块三角形铁片加工成一个圆形零件，请你帮他设计：如何才能制作最大面积的零件？”学生分析题意后，发现了此题的实质：要从三角形余料中剪出一个与三角形三边都相切的内切圆。再让学生画图验证。由于把枯燥的概念同学生的生活实际结合起来，对概念的理解就更透彻了，还认识到了数学的价值，获得了运用知识的能力。
“授之以鱼，不如授之以渔”。教师只有平时重视对数学概念的教学，才能培养出学生的应变能力，才能让学生建立起整个初中知识的结构图，才能让学生真正学会分析问题、比较问题和解决问题，才能让学生从茫茫题海中解脱出来，也才能真正做到“快乐数学”！
关键词：数学概念；概念教学；数学思维
中学数学课程标准中指出“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提”。数学概念是数学基础知识的核心，它明确揭示了事物的本质属性和相互间的内在联系。所以正确地理解数学概念，既是掌握好数学基础知识的前提，也是培养学生进行正确抽象概括，形成方法和理论的先决条件。学生如果不能正确地理解数学中的各种概念，就不能很好地掌握各种法则、公式、定理，也就不能应用所学知识去解决实际问题。因此，抓好数学概念的教学，是提高数学教学质量的关键。
一、 目前学生学习状况分析
学生数学能力的发展取决于他对数学概念的牢固掌握与深刻理解与否。而在现实中，许多学生对数学的学习，只注重盲目地做习题，不重视数学概念的掌握，对基本概念含糊不清。做习题不懂得从基本概念入手，思考解题依据，探索解题方法。这样的学习，必然越学越糊涂。因而笔者认为数学概念的教学在整个数学教学中有其不可替代的作用与地位。
例如：计算：4的值，很多同学会得出4=±2，这就是对平方根与算术平方根的概念的模糊不清而造成的。这样久而久之，从而严重影响对数学基础知识和基本技能的掌握和运用。只有真正掌握了数学中的基本概念，我们才能把握数学的知识系统，才能正确、合理、迅速地进行运算，論证和空间想象。从一定意义上说，数学水平的高低，取决于对数学概念掌握的程度。
二、 数学概念教学过程
（一） 数学概念的引入
数学概念的引入，是数学概念教学的第一个环节，也是十分重要的环节。概念引入得当，就可以紧紧地围绕课题，充分地激发起学生的兴趣和学习动机，为学生顺利地掌握概念起到奠基作用。
引出新概念的过程，是揭示概念的发生和形成过程，而各个数学概念的发生形成过程又不尽相同，因此，教学中必须根据各种概念的产生背景，结合学生的具体情况，适当地选取不同的方式去引入概念。
1. 以感性材料为基础引入新概念
用学生在日常生活中所接触到的事物或教材中的实际问题以及模型、图形、图表等作为感性材料，引导学生通过观察、分析、比较、归纳和概括去获取概念。
例如，要学习“平行线”的概念，可以让学生辨认一些熟悉的实例，像铁轨、门框的上下两条边、黑板的上下边缘等，然后分化出各例的属性，从中找出共同的本质属性。铁轨有属性：是铁制的、可以看成是两条直线、在同一个平面内、两条边可以无限延长、永不相交等。同样可分析出门框和黑板上下边的属性。通过比较可以发现，它们的共同属性是：可以抽象地看成两条直线；两条直线在同一平面内；彼此间距离处处相等；两条直线没有公共点等，最后抽象出本质属性，得到平行线的定义。
以感性材料为基础引入新概念，是用概念形成的方式去进行教学的，因此教学中应选择那些能充分显示被引入概念的特征性质的事例，正确引导学生去进行观察和分析，这样才能使学生从事例中归纳和概括出共同的本质属性，形成概念。
2. 以新、旧概念之间的关系引入新概念
如果新、旧概念之间存在某种关系，如相容关系、不相容关系等，那么新概念的引入就可以充分地利用这种关系去进行。
例如：在教学一元二次方程时，就可以先复习一元一次方程，因为一元一次方程是基础，一元二次方程是延伸，复习一元一次方程是合乎知识逻辑的。通过比较得出两种方程都是只含有一个未知数的整式方程，差异仅在于未知数的最高次数不同。由此很容易建立起“一元二次方程”的概念。
3. 以“问题”的形式引入新概念
以“问题”的形式引入新概念，这也是概念教学中常用的方法。我们可以从现实生活中的问题引入数学概念或者从数学问题或理论本身的发展需要引入概念。
例如，笔者在教学“方程”这一概念时，设置了如下问题：①怎样才能使天平保持平衡？②天平保持平衡说明了什么？③你能用式子来表示天平左边和右边重量的关系吗？④式子中能不能含有求知数？⑤如果含有求知数，那么这种式子又称为什么？这样让学生带着问题操作天平、讨论并解决以上问题，顺利得出了方程的概念。
4. 从概念的发生过程引入新概念
数学中有些概念是用发生式定义的，在进行这类概念的教学时，可以采用演示活动的直观教具或演示画图说明的方法去揭示事物的发生过程。
例如，圆的概念的引出前，可让同学们联想生活中见过的年轮、太阳、五环旗、圆形跑道等实物的形状，再让学生用圆规在纸上画圆，也可用准备好的定长的线绳，将一端固定，而另一端带有铅笔并绕固定端旋转一周，从而引导同学们自己发现圆的形成过程，进而总结出圆的特点：圆周上任意一点到圆心的距离相等，从而猜想归纳出圆的概念。这种方法生动直观，体现了运动变化的观点和思想，同时，引入的过程又自然地、无可辩驳地阐明了这一概念的客观存在性。
（二） 数学概念的形成
引入概念，仅是概念教学的第一步，要使学生获得概念，还必须引导学生准确地理解概念，明确概念的内涵与外延，正确表述概念的本质属性。为此，教学中可采用一些具有针对性的方法。
1. 对比与类比
对比概念，可以找出概念间的差异；类比概念，可以发现概念间的相同或相似之处。例如，学习“分式”概念时，可以与“分数”概念进行对比与类比，去比较发现两者的不同点与相同点。用对比或类比讲述新概念，一定要突出新、旧概念的差异，明确新概念的内涵，防止旧概念对学习新概念产生的负迁移作用的影响。 2. 恰当运用反例
概念教学中，除了从正面去揭示概念的内涵外，还应考虑运用适当的反例去突出概念的本质属性，尤其是让学生通过对比正例与反例的差异，对自己出现的错误进行反思，更利于强化学生对概念本质属性的理解。用反例去突出概念的本质属性，实质是使学生明确概念的外延从而加深对概念内涵的理解。凡具有概念所反映的本质属性的对象必属于该概念的外延集，而反例的构造，就是让学生找出不属于概念外延集的对象，显然，这是概念教学中的一种重要手段。
例如讲解分式的概念时，可举下例进行辨析：在下列各式1-xx，1 1y，a-ba，x（x 3）2，5 xπ 1，a b4 中，是分式的是哪几个？通过对各代数式的比较，深刻理解分式的概念。
3. 合理运用变式
依靠感性材料理解概念，往往由于提供的感性材料具有片面性、局限性，或者感性材料的非本质属性具有较明显的突出特征，容易形成干扰的信息，而削弱学生对概念本质属性的正确理解。因此，在教学中应注意运用变式，从不同角度、不同方面去反映和刻画概念的本质属性。一般来说，变式包括图形变式、式子变式和字母变式等。
例如学了“垂直”概念后，学生往往认为只有竖直方向和水平方向的“⊥”才是垂直，而其他方向的“⊥”就不是垂直。这时教师可适当出一些不同位置的垂直关系，通过变式练习，学生对“垂直”概念的理解自然会深刻得多、全面而系统得多。
（三） 数学概念的巩固
巩固是概念教学的重要环节。心理学原理认为：概念一旦获得，如不及时巩固，就会被遗忘。
1. 注意及时复习
概念的巩固是在对概念的理解和应用中去完成和实现的，同时还必须及时复习，巩固离不开必要的复习。
例如，在学习了“倒数”的概念以后，让学生完成下列练习：
（1）数a的倒数是1a吗？
（2）任何数都有倒数吗？
（3）一个不为零的数与它的倒数的积是多少？
（4）什么数的倒数仍是它本身？
（5）一个不为零的数的倒数一定比这个数大还是小呢？
（6）一个不为零的数的倒数的倒数是什么？
对于这些问题，教师要启发、引导学生准确完成上述练习，加深对“倒数”的理解，自然就巩固了“倒数”的概念。
2. 重视应用
在概念教学中，既要引导学生由具体到抽象，形成概念，又要让学生由抽象到具体，运用概念，学生是否牢固地掌握了某个概念，不仅在于能否说出这个概念的名称和背诵概念的定义，而且还在于能否正确灵活地应用，通过应用可以加深理解，增强记忆，提高数学的应用意识。例如，学习最值问题时，联系实际举例：用100米长的细绳，怎样围成一个一边靠墙的四边形鸡舍，使鸡舍面积最大？通过这个问题可帮助学生深刻理解最值问题，从而提高解决实际问题的能力，加强数学的应用。
三、 抓住概念中的关键词，讲授时注重细化
概念中的一些关键词语非常重要，教学时，教师应尽量采用平实的语言分析、细化关键词语，以学生较易接受的方式呈现出来.这样就能使学生准确地、深刻地领会那些至关重要的字、词在概念中的意义，从而提高他们的理解能力。
例如反比例函数y=1x图像和性质：当k>0时，在每个象限内，y随x值的增大而减小；当k<0时，在每个象限内，y随x值的增大而增大。讲这条性质时必须严格强调“在每个象限内”。要斟字酌句地对重点字词进行剖析，让学生体会数学语言的严谨，同时培养学生的数学表达能力，培养学生的数学思维。
对几何概念的教学，除要求学生能正确叙述其意义外，还应要求他们画出表示概念的圖形，熟练地掌握概念的标注和读法.概念的标注和读法要规范，一些约定俗成的规矩必须遵循，同时还要将概念的文字语言和图形语言进行互译，语、图、式三者之间要根据需要相互转化。
四、 应培养学生做到五会：会理解、会记识、会表达、会比较、会举例
1. 会理解——理解概念要透彻
要记住数学概念，首先要理解透彻，不能囫囵吞枣，要求在讲概念时讲清、讲透。对课本上的精练的概念应该字斟句酌，帮助学生彻底认清关键性的字眼，逐字逐句理解透彻，力求真正弄懂。
如在讲授一元二次方程的概念时，可补充下列：当m为何值时，关于x 的方程（m 1）xm2 4m 5 x-5=0是一元二次方程？本题按照一元二次方程定义除了需要条件m2 4m 5=2外，一定不能忘了二次项系数m 1≠0这一条件，这样对概念的理解才能更全面，更透彻。
2. 会记识——记识概念要深刻
数学概念不仅仅要理解，还要对重要的概念、定理、定义、数学思想方法进行必要的识记。识记应当在理解的基础上进行，通过理解来帮助记忆，通过记忆来加深理解。
例如：讲实数的绝对值时，既讲其代数定义，又讲其几何定义：“数轴上表示一个数的点，它到原点的距离叫做这个数的绝对值”，让学生看着数轴上的图示记忆这一概念，从而更好地理解绝对值的非负性。
3. 会表述——表述概念要准确
概念形成之后，应及时让学生用语言表述出来，以加深对概念的印象，促进内化。语言作为思维的物质载体，教师可从学生的表述中得到反馈信息，了解、评价学生的思维结果。表述概念可以要求学生用自己的语言叙述，可以不按课本原文，按某一个角度表达。
例如：讲解同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减，可以引导学生换一种表述方式，同分母分式加减法：ac±bc=a±bc。
4. 会比较——比较概念要鉴别
有比较才有鉴别。许多数学概念相互之间联系密切，讲新概念时，要联系已讲的概念，比较它们之间的异同点。例如一元一次不等式与一元一次方程，在“一元”与“一次”上是相同的，不同的是前者含不等号，后者含等号。对于易混淆的概念的最主要区别要特别强调。
5. 会举例——运用概念要灵活
在提问数学概念时，有的学生会按课本内容回答得一字不差，但是要他举个例子，想了半天却举不出来或举错例子，更谈不上灵活应用了，这说明学生不是真懂。
例如：学习了“三角形的内切圆”后，让学生试着解决这个问题：“工人师傅要将一块三角形铁片加工成一个圆形零件，请你帮他设计：如何才能制作最大面积的零件？”学生分析题意后，发现了此题的实质：要从三角形余料中剪出一个与三角形三边都相切的内切圆。再让学生画图验证。由于把枯燥的概念同学生的生活实际结合起来，对概念的理解就更透彻了，还认识到了数学的价值，获得了运用知识的能力。
“授之以鱼，不如授之以渔”。教师只有平时重视对数学概念的教学，才能培养出学生的应变能力，才能让学生建立起整个初中知识的结构图，才能让学生真正学会分析问题、比较问题和解决问题，才能让学生从茫茫题海中解脱出来，也才能真正做到“快乐数学”！