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【摘要】本文针对目前中职学生中普遍存在数学基础薄弱、学习能力和学习兴趣不高、学习态度及学习方法不当的问题，谈谈自己在中职数学教学实践中，对数学概念、相联系的新旧知识、解题方法等方面采用比较法进行教学的一些见解，供大家参考。
【关键词】中职数学教学;比较法教学;见解
在中职学校工作的数学老师都知道，进入中职学校读书的学生数学学习方面大多数都存在以下问题：①基础知识薄弱，数学概念模糊，感知能力差；②认识能力差，思维呆板，抓不住问题的实质与要害，在问题面前无所适从；③灵活运用能力差，对概念公式、原理、性质只能死记，直接运用，解题方法只能模仿，生搬硬套，运算能力差，表达能力差；④没有良好的审题习惯和规范的解题格式，审题抓不住实质，解题步骤混乱，推理不严密，格式不完整，漏洞很多；⑤情绪低落，缺乏学习数学的热情、兴趣和恒心。
因此，如何解决上述问题，引导中职学生学好数学，树立其学习数学的信心，培养其学习数学的兴趣，是所有中职数学老师必须思考的问题和想办法要去完成的任务。本人在多年的中职数学教学实践中发现，采用比较法进行教学，能较好地解决中职学生在数学学习方面存在的问题。著名教育家乌申斯基认为：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。”中职数学中有很多相关的概念，易混的概念，相关的命题，相联系的新旧知识，一题多解，多向思维的题目等，在这些问题的教学中，充分运用比较法进行教学，能使学生弄清它们之间内在的联系与区别，帮助学生准确理解和掌握有关的数学知识，深刻地认识数学的本质及规律性，能开阔学生的视野，发展学生的多向思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生全面认识事物的良好习惯。
１．数学概念的比较法教学
概念是对事物本质属性的反映，它既是数学的基础，又是思维的根源，是正确推理和判断的依据。中职数学中概念描述比较抽象，学生要对概念准确地把握存在很大的难度，但许多概念之间有着密切联系，若在概念教学中充分运用比较法，便能使学生准确、牢固地掌握数学概念，提高感知和认识能力。
1.1相关联的新旧概念的比较
在引入一个新概念之前，教师首先要分析清楚这个概念与哪些旧的概念相关联，或是建立在哪些已学过的数学原概念基础上的，然后从复习旧的概念过程中自然地引出新概念，最后要明确新旧概念之间的区别与联系，为学生准确理解新概念打下坚实的基础。
例如，在学习新概念“真子集”时，教师要明确真子集的概念是建立在子集概念的基础上，真子集是子集的特殊情况。教学时，可先组织学生复习子集的概念：一般地，对于两个集合A和B,如果集合A的每一个元素都是集合B中的元素,那么，集合A叫做集合B的子集，记作A?哿B（或B?勐A），读作“A包含于B”或“B包含A”。
复习了子集的概念后，教师要引导学生进一步分析：若A?哿B，则集合A的每一个元素都是集合B中的元素, 那么集合B的每一个元素都是集合A中的元素吗？学生讨论热烈，最后得出：①集合B的每一个元素可以都是集合A中的元素，则表明它们的元素完全相同，A、B的关系为A=B；②集合B至少存在一个元素不是集合A中的元素。教师根据学生的讨论结果自然地引出真子集的概念：
如果集合A?哿B，但存在元素x∈B且x?埸A，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）。
得出真子集的概念后，引导学生对两个概念进行比较，找出它们之间的联系与区别。学生很容易得出它们的联系是真子集是子集的其中一种，是子集的特殊情况；它们的区别是子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等。真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等。
出示练习题，检验通过比较后学生对两个概念的理解程度。
（1）判断以下命题是否正确：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集。
（2）写出集合{1，2，3}的所有子集和所有真子集。
1.2容易混淆的概念的比较
学了一个新的数学概念后，为了使学生巩固所学的概念，在概念的使用过程中教师应引导学生把所学的概念与一些相关的易混淆的概念进行比较，达到正确理解概念实质的目的，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生全面认识事物的良好习惯。
例如，幂函数和指数函数，对于中职学生来说是容易混淆的两个概念。教学时应引导学生对它们进行比较。可在学习了指数函数的概念后，复习幂函数的概念，并把它们排列在一起：
一般地，形如y=a(a>0且a≠1)，x∈(-∞,+∞)的函数，叫做指数函数，其中x是自变量，a是不等于1的正的常数。
一般地，形如 叫y=x做幂函数，其中x是自变量，a是实常数。
设计以下问题让学生讨论：（1）两个函数式子的右边都是幂吗？（2）两个函数的自变量x分别在幂的什么位置上？
通过讨论，很快得出两个函数的联系是：两个函数式子的右边都是幂；两个函数形式上的区别是：.指数函数自变量x在幂的指数的位置上，而幂函数自变量x在幂的底数的位置上。
2.相联系的新旧知识的比较法教学
获取新知识需要以已有的知识经验为基础，使未知向已知转化，利用已有的知识能力解决新问题。教学时，相联系的新旧知识进行比较，指出内在联系和区别、相同点和不同点，能起到温故而知新的作用，使学生牢固掌握数学知识。
例如，在求函数的定义域时，经常会遇到一些带根式的函数表达式，求这些函数的定义域，与根式和解不等式的知识有着密切的联系。教学时先让学生回顾根式和解不等式的相关知识，再出示一道实例：求函数y=的定义域，最后学生在教师的引导下回答：要使有意义，被开方数必须满足什么条件？
学生很容易回答：要使有意义，必须有x-2x-3?叟0，并且容易解得x?燮-1或x?叟3 ，得函数y=的定义域为 {x｜x?燮-1或x?叟3} 。
学生解答后，让他们对“求带根式的函数定义域”和“解不等式”两个问题进行比较，发现两个问题类型和形式不同，但它们的解法相同。这样一比较，就把已有的解一元二次不等式的知识技能迁移到求函数的定义域中。
3.解题方法的比较法教学
比较解题方法上的相同与不同处，不仅有助于学生掌握该种解法的适用范围，更重要的是有助于学生对解题方法的理解，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。在众多的数学解题方法中，有两种值得采用比较法进行教学。
3.1不同题目解法相同的比较
在中职数学中，有些题目知识和内容存在差异，但它们的解题方法相似。在这些问题的教学中采用比较法，有利于充分调动学生思维的积极性；有利于开拓学生的思路，使学生灵活地掌握知识之间的联系。例如，在直线与圆的方程的教学中，我们知道“求两条直线的交点”与“求直线与圆的交点”这两块知识内容是有差异的，但都是采用将直线（或圆）的方程组成方程组的解题方法来解答，所利用的数学思想也是一致的。具体以两个实例来说说：
实例一：求直线l：2x+3y-7=0与直线l：5x-2y-8=0的交点。此题就是通过解方程组2x+3y-7=05x-2y-8=0，得两直线的交点是(2,1)。
实例二：求直线x+y-2=0与圆x+y-2x=0的交点。
此题同样也是通过解方程组x+y-2=0x+y-2x=0，得直线与园的交点是(1,1)和(2,0)。
3.2相同题目解法不同的比较
中职数学中的有些题目，同一个问题从不同的角度分析，得到一题多解。教学中，如果能对各种解法及思路进行比较，这样可以培养学生从不同角度分析问题的能力，优化学生的思维；有利于调动学生的学习积极性，在教师的启发、引导下，对一道题学生可能提出两种、三种甚至更多种解法，它能极大提高学生的学习兴趣；有利于培养学生的创新思维，使学生不满足仅仅得出一道习题的答案，而去追求更独特、更快捷的解题方法；有利于学生养成良好的审题习惯和规范的解题格式，积累解题经验，丰富解题方法。
例如，已知x+y=1，求x+y的最小值。
教学此问题时，应启发学生从多角度去思维，师生共同研究讨论，得到多种解法。
解法1：因为x+y=1，所以y=1-x
设z=x+y，则z=x+(1-x)
因为二次函数二次项系数为2>0,故z有最小值。
所以当x=-=-= 时，z===
所以x+y的最小值为
解法2：因为x+y=1，所以（x+y）=1，即x+y=1-2xy
因为2xy?燮x+y，所以x+y?叟1-(x+y)
即x+y?叟，当且仅当x=y=时取等号，所以x+y的最小值为
解法3：设z=x+y
因为x+y=1，所以z=x+y-(x+y)+(x+y)=x+y-x-y+1
=(x-)+(y-)+?叟
所以当x=y= 时，z=，即x+y的最小值为
解法4：如图一，x+y=1表示直线l，在直线l上任取一点P（x,y)，则op=，当op⊥l时，op的距离最短
(即原点到直线 的距离最短)。根据点到直线距离
公式得：op==，即()=
所以x+y的最小值为
讨论得出以上四种解法后，引导学生对它们进行比较。显然第一种解法采用了代入消元法，把所求的式子转换为普通的二次函数，最后用二次函数的最值问题求解；第二种解法采用从已知出发，将已知的一次式x+y=1两边平方后得到一个含二次式x+y的等式，最后将该等式转换成不等式求解；第三种解法采用了求最值问题的一种常用方法—配方法，利用已知条件结合所求式子，配方后得两个实数平方和的形式，从而达到求最值的目的；第四种解法根据已知和所求的式子都具有解析几何常见方程的特点，把所求问题转换为解析几何的问题，采用解析法求解。四种解法各异，但也有相同之处，都能把所学知识巧妙地结合，根据题目的特点和知识间的联系，灵活地将知识转换、迁移，从而很好地解决了所求的问题。
以上仅是本人多年教学中的一些粗浅见解，实践证明，比较法是解决中职学生数学学习中存在问题的一种有效方法。教学中通过比较，能鲜明地显现被比较对象的特点、规律、联系与区别，能很好地调动学生主动参与、积极探究，能使问题明朗化、清楚化。经常使用比较法教学，能启迪学生的思维，树立学生学习数学的信心，培养学生分析问题和解决问题的能力，教学质量也会有很大的提高。
【参考文献】
［１］柳小平.提高中职数学教育质量的若干思考[J].中等职业教育，2006，(02)．
［２］龚箭.中职数学教学策略初探[J]．教育与职业，2006，(29).
［３］沈宗灵.比较法研究．北京大学出版社，2004.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】中职数学教学;比较法教学;见解
在中职学校工作的数学老师都知道，进入中职学校读书的学生数学学习方面大多数都存在以下问题：①基础知识薄弱，数学概念模糊，感知能力差；②认识能力差，思维呆板，抓不住问题的实质与要害，在问题面前无所适从；③灵活运用能力差，对概念公式、原理、性质只能死记，直接运用，解题方法只能模仿，生搬硬套，运算能力差，表达能力差；④没有良好的审题习惯和规范的解题格式，审题抓不住实质，解题步骤混乱，推理不严密，格式不完整，漏洞很多；⑤情绪低落，缺乏学习数学的热情、兴趣和恒心。
因此，如何解决上述问题，引导中职学生学好数学，树立其学习数学的信心，培养其学习数学的兴趣，是所有中职数学老师必须思考的问题和想办法要去完成的任务。本人在多年的中职数学教学实践中发现，采用比较法进行教学，能较好地解决中职学生在数学学习方面存在的问题。著名教育家乌申斯基认为：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。”中职数学中有很多相关的概念，易混的概念，相关的命题，相联系的新旧知识，一题多解，多向思维的题目等，在这些问题的教学中，充分运用比较法进行教学，能使学生弄清它们之间内在的联系与区别，帮助学生准确理解和掌握有关的数学知识，深刻地认识数学的本质及规律性，能开阔学生的视野，发展学生的多向思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生全面认识事物的良好习惯。
１．数学概念的比较法教学
概念是对事物本质属性的反映，它既是数学的基础，又是思维的根源，是正确推理和判断的依据。中职数学中概念描述比较抽象，学生要对概念准确地把握存在很大的难度，但许多概念之间有着密切联系，若在概念教学中充分运用比较法，便能使学生准确、牢固地掌握数学概念，提高感知和认识能力。
1.1相关联的新旧概念的比较
在引入一个新概念之前，教师首先要分析清楚这个概念与哪些旧的概念相关联，或是建立在哪些已学过的数学原概念基础上的，然后从复习旧的概念过程中自然地引出新概念，最后要明确新旧概念之间的区别与联系，为学生准确理解新概念打下坚实的基础。
例如，在学习新概念“真子集”时，教师要明确真子集的概念是建立在子集概念的基础上，真子集是子集的特殊情况。教学时，可先组织学生复习子集的概念：一般地，对于两个集合A和B,如果集合A的每一个元素都是集合B中的元素,那么，集合A叫做集合B的子集，记作A?哿B（或B?勐A），读作“A包含于B”或“B包含A”。
复习了子集的概念后，教师要引导学生进一步分析：若A?哿B，则集合A的每一个元素都是集合B中的元素, 那么集合B的每一个元素都是集合A中的元素吗？学生讨论热烈，最后得出：①集合B的每一个元素可以都是集合A中的元素，则表明它们的元素完全相同，A、B的关系为A=B；②集合B至少存在一个元素不是集合A中的元素。教师根据学生的讨论结果自然地引出真子集的概念：
如果集合A?哿B，但存在元素x∈B且x?埸A，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）。
得出真子集的概念后，引导学生对两个概念进行比较，找出它们之间的联系与区别。学生很容易得出它们的联系是真子集是子集的其中一种，是子集的特殊情况；它们的区别是子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等。真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等。
出示练习题，检验通过比较后学生对两个概念的理解程度。
（1）判断以下命题是否正确：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集。
（2）写出集合{1，2，3}的所有子集和所有真子集。
1.2容易混淆的概念的比较
学了一个新的数学概念后，为了使学生巩固所学的概念，在概念的使用过程中教师应引导学生把所学的概念与一些相关的易混淆的概念进行比较，达到正确理解概念实质的目的，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生全面认识事物的良好习惯。
例如，幂函数和指数函数，对于中职学生来说是容易混淆的两个概念。教学时应引导学生对它们进行比较。可在学习了指数函数的概念后，复习幂函数的概念，并把它们排列在一起：
一般地，形如y=a(a>0且a≠1)，x∈(-∞,+∞)的函数，叫做指数函数，其中x是自变量，a是不等于1的正的常数。
一般地，形如 叫y=x做幂函数，其中x是自变量，a是实常数。
设计以下问题让学生讨论：（1）两个函数式子的右边都是幂吗？（2）两个函数的自变量x分别在幂的什么位置上？
通过讨论，很快得出两个函数的联系是：两个函数式子的右边都是幂；两个函数形式上的区别是：.指数函数自变量x在幂的指数的位置上，而幂函数自变量x在幂的底数的位置上。
2.相联系的新旧知识的比较法教学
获取新知识需要以已有的知识经验为基础，使未知向已知转化，利用已有的知识能力解决新问题。教学时，相联系的新旧知识进行比较，指出内在联系和区别、相同点和不同点，能起到温故而知新的作用，使学生牢固掌握数学知识。
例如，在求函数的定义域时，经常会遇到一些带根式的函数表达式，求这些函数的定义域，与根式和解不等式的知识有着密切的联系。教学时先让学生回顾根式和解不等式的相关知识，再出示一道实例：求函数y=的定义域，最后学生在教师的引导下回答：要使有意义，被开方数必须满足什么条件？
学生很容易回答：要使有意义，必须有x-2x-3?叟0，并且容易解得x?燮-1或x?叟3 ，得函数y=的定义域为 {x｜x?燮-1或x?叟3} 。
学生解答后，让他们对“求带根式的函数定义域”和“解不等式”两个问题进行比较，发现两个问题类型和形式不同，但它们的解法相同。这样一比较，就把已有的解一元二次不等式的知识技能迁移到求函数的定义域中。
3.解题方法的比较法教学
比较解题方法上的相同与不同处，不仅有助于学生掌握该种解法的适用范围，更重要的是有助于学生对解题方法的理解，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。在众多的数学解题方法中，有两种值得采用比较法进行教学。
3.1不同题目解法相同的比较
在中职数学中，有些题目知识和内容存在差异，但它们的解题方法相似。在这些问题的教学中采用比较法，有利于充分调动学生思维的积极性；有利于开拓学生的思路，使学生灵活地掌握知识之间的联系。例如，在直线与圆的方程的教学中，我们知道“求两条直线的交点”与“求直线与圆的交点”这两块知识内容是有差异的，但都是采用将直线（或圆）的方程组成方程组的解题方法来解答，所利用的数学思想也是一致的。具体以两个实例来说说：
实例一：求直线l：2x+3y-7=0与直线l：5x-2y-8=0的交点。此题就是通过解方程组2x+3y-7=05x-2y-8=0，得两直线的交点是(2,1)。
实例二：求直线x+y-2=0与圆x+y-2x=0的交点。
此题同样也是通过解方程组x+y-2=0x+y-2x=0，得直线与园的交点是(1,1)和(2,0)。
3.2相同题目解法不同的比较
中职数学中的有些题目，同一个问题从不同的角度分析，得到一题多解。教学中，如果能对各种解法及思路进行比较，这样可以培养学生从不同角度分析问题的能力，优化学生的思维；有利于调动学生的学习积极性，在教师的启发、引导下，对一道题学生可能提出两种、三种甚至更多种解法，它能极大提高学生的学习兴趣；有利于培养学生的创新思维，使学生不满足仅仅得出一道习题的答案，而去追求更独特、更快捷的解题方法；有利于学生养成良好的审题习惯和规范的解题格式，积累解题经验，丰富解题方法。
例如，已知x+y=1，求x+y的最小值。
教学此问题时，应启发学生从多角度去思维，师生共同研究讨论，得到多种解法。
解法1：因为x+y=1，所以y=1-x
设z=x+y，则z=x+(1-x)
因为二次函数二次项系数为2>0,故z有最小值。
所以当x=-=-= 时，z===
所以x+y的最小值为
解法2：因为x+y=1，所以（x+y）=1，即x+y=1-2xy
因为2xy?燮x+y，所以x+y?叟1-(x+y)
即x+y?叟，当且仅当x=y=时取等号，所以x+y的最小值为
解法3：设z=x+y
因为x+y=1，所以z=x+y-(x+y)+(x+y)=x+y-x-y+1
=(x-)+(y-)+?叟
所以当x=y= 时，z=，即x+y的最小值为
解法4：如图一，x+y=1表示直线l，在直线l上任取一点P（x,y)，则op=，当op⊥l时，op的距离最短
(即原点到直线 的距离最短)。根据点到直线距离
公式得：op==，即()=
所以x+y的最小值为
讨论得出以上四种解法后，引导学生对它们进行比较。显然第一种解法采用了代入消元法，把所求的式子转换为普通的二次函数，最后用二次函数的最值问题求解；第二种解法采用从已知出发，将已知的一次式x+y=1两边平方后得到一个含二次式x+y的等式，最后将该等式转换成不等式求解；第三种解法采用了求最值问题的一种常用方法—配方法，利用已知条件结合所求式子，配方后得两个实数平方和的形式，从而达到求最值的目的；第四种解法根据已知和所求的式子都具有解析几何常见方程的特点，把所求问题转换为解析几何的问题，采用解析法求解。四种解法各异，但也有相同之处，都能把所学知识巧妙地结合，根据题目的特点和知识间的联系，灵活地将知识转换、迁移，从而很好地解决了所求的问题。
以上仅是本人多年教学中的一些粗浅见解，实践证明，比较法是解决中职学生数学学习中存在问题的一种有效方法。教学中通过比较，能鲜明地显现被比较对象的特点、规律、联系与区别，能很好地调动学生主动参与、积极探究，能使问题明朗化、清楚化。经常使用比较法教学，能启迪学生的思维，树立学生学习数学的信心，培养学生分析问题和解决问题的能力，教学质量也会有很大的提高。
【参考文献】
［１］柳小平.提高中职数学教育质量的若干思考[J].中等职业教育，2006，(02)．
［２］龚箭.中职数学教学策略初探[J]．教育与职业，2006，(29).
［３］沈宗灵.比较法研究．北京大学出版社，2004.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文