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摘要：通过对某地区的人口居民区的分布和地理位置分布来确定超市的具体选址位置，使超市利益打到最大化。首先分析了当超市只能建设在居民区内时，求出各个居民区到超市的最短路径，分析出最短路径与购买人数的关系，求出每个居民区到超市的购买人数进行比较，最终选择出最优的建设超市的居民区地址。在一般情况下，超市的选址可以不必要在居民区内，需要重新分析超市位置，在假设超市在建成后能与每个居民区有唯一的路径的情况下，设出超市的坐标，算出每个居民区到超市的距离，重新确立购买人数与距离的关系，求出超市的最佳点。最后补充了影响购买人数的因素，重新确立了关系模型，推广到一般式。
关键字：超市 居民区 路径 因素
【分类号】：F721.7
一、问题叙述
中国的连锁超市业态飞速发展，先后出现了一大批如北京联华，上海华联等本土超市，外资零售巨头也纷纷在抢滩登陆，沃尔玛、家乐福、时代、乐购、卜蜂莲花、好又多、麦德龙等都在中国开设了多家门店。迄今为止世界500强中的零售企业已经有80%进入了中国市场。无论是外资超市还是中资超市在近年来都加大了开设新门店的步伐，近年来中国的连锁超市的数量急剧的增长。但是所有计划开设的超市都不得不面对一个问题，那就是将超市开在哪里？任何一家超市的开设第一个面对的都是选址问题。
现有某地区，有七个居民区，居民区的位置与居民区的之间的距离（千米）如图1-1，居民区的人数如表1.1所示。需要在该地区建立一超市，（1）若超市选在某居民区内，试确定超市的位置；（2）若不限定超市的位置，确定超市的选址。
表1.1
图1-1
二、问题分析
对于问题一，把超市设在居民区内，求出各个居民区到超市的最短距离，算出购买人数，当超市建立在不同的居民区内时，比较购买人数，从而求出最优的建设超市的居民区。
对于问题二，可以把图建立起一个对应的直角坐标系，而超市位置（x，y），求出超市与各个居民区的距离，根据距离算出购买人数，从而分析出超市的最佳位置。
三.基本假设
1.假设某居民区的购买人数与该居民区到超市的距离成反比；
2.对于问题二，假设超市与每个居民区都相连；
3.用到超市购买货物的人数作为超市的盈利
4.忽略其它因数对购买人数的影响。
四.符号表示
第 个居民区的总人数；
第 个居民区到超市的距离；
到超市购买的总人数；
第 个居民区到超市购买货物的人数；
居民去到超市距离与去超市购买货物人数的关系权值系数；
包含 的关系系数；
第 个居民区直角坐标系横轴；
第 个居民区直角坐标系纵轴。
五.模型建立与求解
根据基本假设：
而对于 （居民区到超市的最短路径），可由Floyd算法可求出。
为了保证当 时： 和
原公式修改为：
5.1 超市选在居民区内.
最终目标函数模型为：
即：
当 ： ，而当 时：
故要求 较大，假设 足够大。
① 当超市建立在第一个居民区内时：
带入数据得：
② 同理：当超市建立在第二个居民区时：
③ 当超市建立在第三个居民区时：
④ 当超市建立在第四个居民区时：
⑤ 当超市建立在第五个居民区时：
⑥ 当超市建立在第六个居民区时：
⑦ 当超市建立在第七个居民区时：
比较①—⑦，求出最大的 ，由此看出 的大小与关系系数 有关，确定 的值就可以确定出 从而求出利益的最大化。
5.2当超市不限定建设在居民区内时.
根据图，建立对应的直角坐标系，设超市建设点为 ， — 的坐标估计分别为：
对于实际具体的问题，可以用经纬度代替精确的位置，达到误差的最小化。
图 5.1
先求出超市到居民区的距离：
考虑到距离的权值，则设： 在这里，令
因此： ，所以目标函数为：
对于此目标函数的求解可用编程实现，编写程序使用单点推进法（超市坐标位置以一定量的长度向x轴或y轴移动），值得注意的是，考虑到现实意义，当距离 小于一定值時（这里设该值为1千米）， ，然后算出最大点，找到最佳盈利位置。
图5.2
故最佳点为： 而：
六.模型评价与改进
本文中，研究了超市盈利决定超市选址问题，正确的超市选址关系着超市盈利的最大化，如何选址也是现今连锁大型超市的一重大决策。文中通过假设建立起居民区与超市距离和去超市购买的人数的关系，穷举出超市的购买人数，从而确定超市的最优位，不足之处在于，（1）关于居民到超市的购买人数的关系系数 很难确定， 值也不一定是个定值，它可以是一变量也可以是一函数；（2）忽略了许多因素也同样影响这去超市购买的人数。
因此，结合上述（1）、（2）提出了较合理的解决方案：
6.1添加两个影响购买人数的因数和三个关系系数：
符号说明：
第 个居民区拥有交通设备数；
第 个居民区拥有的休息时间总数；
距离的关系系数；
交通设备数影响距离的关系系数；
购买人数与休息时间总数的关系系数。
则购买人数：
在上式中， 考虑到距离对购买人数影响较大，则：
，
因此目标函数改为：
对于关系系数 、 、 可以采用参数估计的方法确定参数的值。
由上式可以推广的一般式：
对于一些公共服务设施（例如一些紧急服务型设施如急救中心、消防站等）的选址都有重要意义，不过此时的参数 不在是超市选址的参数，它的确立和具体的公共服务设施建立所要考虑的因数有关，在众多因素中，距离最重要的因素之一，因此 的构成必含有距离因素，而且占比重较大。
参考文献
[1]刘仁云等.数学建模方法与数学实验.北京：中国水利水电出版社，2011.1；
[2]耿素云，屈婉玲，张立昂.离散数学.北京：清华大学出版社，2013；
[3]严蔚敏，吴伟民，数据结构.北京：清华大学出版社，1997.4。
关键字：超市 居民区 路径 因素
【分类号】：F721.7
一、问题叙述
中国的连锁超市业态飞速发展，先后出现了一大批如北京联华，上海华联等本土超市，外资零售巨头也纷纷在抢滩登陆，沃尔玛、家乐福、时代、乐购、卜蜂莲花、好又多、麦德龙等都在中国开设了多家门店。迄今为止世界500强中的零售企业已经有80%进入了中国市场。无论是外资超市还是中资超市在近年来都加大了开设新门店的步伐，近年来中国的连锁超市的数量急剧的增长。但是所有计划开设的超市都不得不面对一个问题，那就是将超市开在哪里？任何一家超市的开设第一个面对的都是选址问题。
现有某地区，有七个居民区，居民区的位置与居民区的之间的距离（千米）如图1-1，居民区的人数如表1.1所示。需要在该地区建立一超市，（1）若超市选在某居民区内，试确定超市的位置；（2）若不限定超市的位置，确定超市的选址。
表1.1
图1-1
二、问题分析
对于问题一，把超市设在居民区内，求出各个居民区到超市的最短距离，算出购买人数，当超市建立在不同的居民区内时，比较购买人数，从而求出最优的建设超市的居民区。
对于问题二，可以把图建立起一个对应的直角坐标系，而超市位置（x，y），求出超市与各个居民区的距离，根据距离算出购买人数，从而分析出超市的最佳位置。
三.基本假设
1.假设某居民区的购买人数与该居民区到超市的距离成反比；
2.对于问题二，假设超市与每个居民区都相连；
3.用到超市购买货物的人数作为超市的盈利
4.忽略其它因数对购买人数的影响。
四.符号表示
第 个居民区的总人数；
第 个居民区到超市的距离；
到超市购买的总人数；
第 个居民区到超市购买货物的人数；
居民去到超市距离与去超市购买货物人数的关系权值系数；
包含 的关系系数；
第 个居民区直角坐标系横轴；
第 个居民区直角坐标系纵轴。
五.模型建立与求解
根据基本假设：
而对于 （居民区到超市的最短路径），可由Floyd算法可求出。
为了保证当 时： 和
原公式修改为：
5.1 超市选在居民区内.
最终目标函数模型为：
即：
当 ： ，而当 时：
故要求 较大，假设 足够大。
① 当超市建立在第一个居民区内时：
带入数据得：
② 同理：当超市建立在第二个居民区时：
③ 当超市建立在第三个居民区时：
④ 当超市建立在第四个居民区时：
⑤ 当超市建立在第五个居民区时：
⑥ 当超市建立在第六个居民区时：
⑦ 当超市建立在第七个居民区时：
比较①—⑦，求出最大的 ，由此看出 的大小与关系系数 有关，确定 的值就可以确定出 从而求出利益的最大化。
5.2当超市不限定建设在居民区内时.
根据图，建立对应的直角坐标系，设超市建设点为 ， — 的坐标估计分别为：
对于实际具体的问题，可以用经纬度代替精确的位置，达到误差的最小化。
图 5.1
先求出超市到居民区的距离：
考虑到距离的权值，则设： 在这里，令
因此： ，所以目标函数为：
对于此目标函数的求解可用编程实现，编写程序使用单点推进法（超市坐标位置以一定量的长度向x轴或y轴移动），值得注意的是，考虑到现实意义，当距离 小于一定值時（这里设该值为1千米）， ，然后算出最大点，找到最佳盈利位置。
图5.2
故最佳点为： 而：
六.模型评价与改进
本文中，研究了超市盈利决定超市选址问题，正确的超市选址关系着超市盈利的最大化，如何选址也是现今连锁大型超市的一重大决策。文中通过假设建立起居民区与超市距离和去超市购买的人数的关系，穷举出超市的购买人数，从而确定超市的最优位，不足之处在于，（1）关于居民到超市的购买人数的关系系数 很难确定， 值也不一定是个定值，它可以是一变量也可以是一函数；（2）忽略了许多因素也同样影响这去超市购买的人数。
因此，结合上述（1）、（2）提出了较合理的解决方案：
6.1添加两个影响购买人数的因数和三个关系系数：
符号说明：
第 个居民区拥有交通设备数；
第 个居民区拥有的休息时间总数；
距离的关系系数；
交通设备数影响距离的关系系数；
购买人数与休息时间总数的关系系数。
则购买人数：
在上式中， 考虑到距离对购买人数影响较大，则：
，
因此目标函数改为：
对于关系系数 、 、 可以采用参数估计的方法确定参数的值。
由上式可以推广的一般式：
对于一些公共服务设施（例如一些紧急服务型设施如急救中心、消防站等）的选址都有重要意义，不过此时的参数 不在是超市选址的参数，它的确立和具体的公共服务设施建立所要考虑的因数有关，在众多因素中，距离最重要的因素之一，因此 的构成必含有距离因素，而且占比重较大。
参考文献
[1]刘仁云等.数学建模方法与数学实验.北京：中国水利水电出版社，2011.1；
[2]耿素云，屈婉玲，张立昂.离散数学.北京：清华大学出版社，2013；
[3]严蔚敏，吴伟民，数据结构.北京：清华大学出版社，1997.4。