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1 百鸡问题简介
所谓百鸡问题,是指下面这道中国古代数学题:
鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只.问鸡翁、母、雏各几何?
用现在的语言表述就是:公鸡5元1只,母鸡3元1只,小鸡1元3只.用100元钱买100只鸡.问公鸡、母鸡、小鸡各买多少只?
百鸡问题是《张丘建算经》中的最后一题.张邱建,北魏清河(今河北邢台市清河县)人,是公元5世纪著名的大数学家.《张丘建算经》成书于公元466年到公元485年之间,现传本有92个问题.该书在最大公约数与最小公倍数的计算、不定方程的求解以及等差数列相关问题的求解等方面,具有独到的见解.百鸡问题是《张邱建算经》中的一个世界著名的不定方程问题.该书给出了这个问题的三组解:(1)公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只;(2)公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只;(3)公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只.
自张邱建以后,中国数学家对百鸡问题的研究从来没有间断过,百鸡问题几乎成了不定方程的代名词,从宋代到清代围绕百鸡问题的数学研究取得了许多成就.百鸡问题不仅在中国几乎尽人皆知,而且在国外也有较大影响.
2 百鸡问题的解法
关于百鸡问题的解法,《张丘建算经》中只提到:“鸡翁每增四,鸡母每减七,鸡雏每益(增加)三,即得.”但他并没有给出更具体的解法.现在我们通过解不定方程的方法来求出这个问题的解.
3 与百鸡问题相关的一些问题
在《张丘建算经》之后,出现了许多与百鸡问题相类似的问题,其中有些问题是后人自行编拟出来的,而有些问题却有明显的改变痕迹.现在我们挑选出其中的几例,与读者共同分享.
1.“百人搬砖”问题(选自《趣味歌词古体算题选》,作者:潘有发,台湾九章出版社1995年出版).
百人搬百砖,男子一搬八,妇女一搬三,小孩三搬一.请问各几人,各搬几块砖?不准列方程,不准用比例,只许用心算,看谁算得快!
参照百鸡问题的解法,运用不定方程当然可以求解这个问题,但题目要求我们“用心算”.
根据已知条件我们可以进行如下分析:一个男人比一个女人多搬5块砖;三个女人比三个小孩多搬8块砖.因为人数和砖数都必须是正整数,所以,应该先从小孩算起,小孩的人数应该是3的倍数.假设小孩有90人(也可以设小孩有60人,75人,87人等,只要是3的倍数即可,然后再逐一否定),搬砖30块,那么剩下70块要由10人来搬.若这10人都是女人,则只能搬30块,此时剩下的40块砖无人搬.因为每个男人比每个女人多搬5块,所以,只要把其中的8个女人对换成男人,则剩下的40块砖恰好分给8个男人搬.
所以,该问题的答案是:男人8人,每人搬8块砖,共搬砖64块;女人2人,每人搬3块砖,共搬砖6块;小孩90人,每3人搬1块砖,共搬砖30块.
2.“千钱百鸡”问题(选自程大位原著,梅毂成编《增删算法统宗》).
今有千文买百鸡,五十雄价不差池,草鸡每个三十足,小者十文三个知.
用现在的语言表述就是:现有1000元钱去买100只鸡,公鸡每只50元,母鸡每只30元,小鸡3只10元.问公鸡、母鸡、小鸡各买多少只.
这道题与百鸡问题没有本质区别,只是钱的总数与每种鸡的价钱都增加到原来的10倍.仿照百鸡问题,通过解不定方程可得三组解:公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只;公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只;公鸡12只,母雞4只,小鸡84只.
3.“百马百瓦”问题.
一百匹马驮一百块瓦,大马驮三块瓦,小马驮两块瓦,两个马驹驮一块瓦.问大马、小马、马驹各几匹?
五十多年前,笔者读小学时,先父就曾经给我出过这道题,但具体出处不太清楚.
设大马x匹、小马y匹、马驹z匹,根据已知条件有方程组: x y z=100,3x 2y 12z=100.
解这个不定方程可得下面6组解:
4.“和尚几人”问题(选自程大位《算法统宗》).
一百馒头一百僧,大僧三个更无争.小僧三人分一个,大小和尚各几丁.
“和尚几人”问题比百鸡问题少了一个条件,从而使得其解法也简单许多.通过求解一个一元二次方程,就可以很容易地求出答案来.程大位在《算法统宗》中曾经给出一个不用方程的漂亮解法.其解法如下:
因为1个大和尚吃3个馒头,3个小和尚吃1个馒头,所以,1个大和尚和3个小和尚共吃4个馒头.把1个大和尚和3个小和尚看成一组,100个和尚共分为25组.由于每组有1个大和尚和3个小和尚,因此25组有25个大和尚,75个小和尚.
5.“百钱买百牛”问题.
据传,清代嘉庆皇帝曾仿照“百鸡问题”编了一道“百牛问题”给大臣们做:有银百两,买牛百头,大牛一头十两,小牛一头五两,牛犊一头半两.问大牛、小牛和牛犊各买多少头?
答案:买大牛1头,小牛9头,牛犊90头.
6.“几人吃饭”问题.
在马克思的《数学手稿》中有一个与百鸡问题类似的问题,就是下面这个“几人吃饭”问题:
有30个人,其中有男人、女人和小孩,在一家小饭馆吃饭花了50先令.每个男人花3先令,每个女人花2先令,每个小孩花1先令.问男人、女人和小孩各多少人?
仿照百鸡问题,通过解不定方程可得下面9组解:
观察上面的“百鸡问题”“千钱百鸡问题”“百马百瓦问题”和“几人吃饭问题”的答案不难发现,在每一个问题的所有答案中,x的值所构成的数列是一个等差数列;同样,y的值所构成的数列和z值所构成的数列也都是一个等差数列.
与百鸡问题相关的问题,当然不止上面所罗列的这些.要想进一步了解更多的问题,读者可以查阅相关的资料;如果有兴趣,也可以自行编拟一些与之相关的问题.不论是自行求解,还是在课余时间与朋友交流、探讨,都是一件很有意义的事情.
参考文献
[1]徐品方,徐伟.古算诗题探源[M].北京:科学出版社,2008.9
作者简介 司志本(1959—),男,河北兴隆人,教授.曾被授予河北省优秀教师,获国家曾宪梓教育基金会教师奖;有170余篇数学论文发表.
所谓百鸡问题,是指下面这道中国古代数学题:
鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只.问鸡翁、母、雏各几何?
用现在的语言表述就是:公鸡5元1只,母鸡3元1只,小鸡1元3只.用100元钱买100只鸡.问公鸡、母鸡、小鸡各买多少只?
百鸡问题是《张丘建算经》中的最后一题.张邱建,北魏清河(今河北邢台市清河县)人,是公元5世纪著名的大数学家.《张丘建算经》成书于公元466年到公元485年之间,现传本有92个问题.该书在最大公约数与最小公倍数的计算、不定方程的求解以及等差数列相关问题的求解等方面,具有独到的见解.百鸡问题是《张邱建算经》中的一个世界著名的不定方程问题.该书给出了这个问题的三组解:(1)公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只;(2)公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只;(3)公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只.
自张邱建以后,中国数学家对百鸡问题的研究从来没有间断过,百鸡问题几乎成了不定方程的代名词,从宋代到清代围绕百鸡问题的数学研究取得了许多成就.百鸡问题不仅在中国几乎尽人皆知,而且在国外也有较大影响.
2 百鸡问题的解法
关于百鸡问题的解法,《张丘建算经》中只提到:“鸡翁每增四,鸡母每减七,鸡雏每益(增加)三,即得.”但他并没有给出更具体的解法.现在我们通过解不定方程的方法来求出这个问题的解.
3 与百鸡问题相关的一些问题
在《张丘建算经》之后,出现了许多与百鸡问题相类似的问题,其中有些问题是后人自行编拟出来的,而有些问题却有明显的改变痕迹.现在我们挑选出其中的几例,与读者共同分享.
1.“百人搬砖”问题(选自《趣味歌词古体算题选》,作者:潘有发,台湾九章出版社1995年出版).
百人搬百砖,男子一搬八,妇女一搬三,小孩三搬一.请问各几人,各搬几块砖?不准列方程,不准用比例,只许用心算,看谁算得快!
参照百鸡问题的解法,运用不定方程当然可以求解这个问题,但题目要求我们“用心算”.
根据已知条件我们可以进行如下分析:一个男人比一个女人多搬5块砖;三个女人比三个小孩多搬8块砖.因为人数和砖数都必须是正整数,所以,应该先从小孩算起,小孩的人数应该是3的倍数.假设小孩有90人(也可以设小孩有60人,75人,87人等,只要是3的倍数即可,然后再逐一否定),搬砖30块,那么剩下70块要由10人来搬.若这10人都是女人,则只能搬30块,此时剩下的40块砖无人搬.因为每个男人比每个女人多搬5块,所以,只要把其中的8个女人对换成男人,则剩下的40块砖恰好分给8个男人搬.
所以,该问题的答案是:男人8人,每人搬8块砖,共搬砖64块;女人2人,每人搬3块砖,共搬砖6块;小孩90人,每3人搬1块砖,共搬砖30块.
2.“千钱百鸡”问题(选自程大位原著,梅毂成编《增删算法统宗》).
今有千文买百鸡,五十雄价不差池,草鸡每个三十足,小者十文三个知.
用现在的语言表述就是:现有1000元钱去买100只鸡,公鸡每只50元,母鸡每只30元,小鸡3只10元.问公鸡、母鸡、小鸡各买多少只.
这道题与百鸡问题没有本质区别,只是钱的总数与每种鸡的价钱都增加到原来的10倍.仿照百鸡问题,通过解不定方程可得三组解:公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只;公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只;公鸡12只,母雞4只,小鸡84只.
3.“百马百瓦”问题.
一百匹马驮一百块瓦,大马驮三块瓦,小马驮两块瓦,两个马驹驮一块瓦.问大马、小马、马驹各几匹?
五十多年前,笔者读小学时,先父就曾经给我出过这道题,但具体出处不太清楚.
设大马x匹、小马y匹、马驹z匹,根据已知条件有方程组: x y z=100,3x 2y 12z=100.
解这个不定方程可得下面6组解:
4.“和尚几人”问题(选自程大位《算法统宗》).
一百馒头一百僧,大僧三个更无争.小僧三人分一个,大小和尚各几丁.
“和尚几人”问题比百鸡问题少了一个条件,从而使得其解法也简单许多.通过求解一个一元二次方程,就可以很容易地求出答案来.程大位在《算法统宗》中曾经给出一个不用方程的漂亮解法.其解法如下:
因为1个大和尚吃3个馒头,3个小和尚吃1个馒头,所以,1个大和尚和3个小和尚共吃4个馒头.把1个大和尚和3个小和尚看成一组,100个和尚共分为25组.由于每组有1个大和尚和3个小和尚,因此25组有25个大和尚,75个小和尚.
5.“百钱买百牛”问题.
据传,清代嘉庆皇帝曾仿照“百鸡问题”编了一道“百牛问题”给大臣们做:有银百两,买牛百头,大牛一头十两,小牛一头五两,牛犊一头半两.问大牛、小牛和牛犊各买多少头?
答案:买大牛1头,小牛9头,牛犊90头.
6.“几人吃饭”问题.
在马克思的《数学手稿》中有一个与百鸡问题类似的问题,就是下面这个“几人吃饭”问题:
有30个人,其中有男人、女人和小孩,在一家小饭馆吃饭花了50先令.每个男人花3先令,每个女人花2先令,每个小孩花1先令.问男人、女人和小孩各多少人?
仿照百鸡问题,通过解不定方程可得下面9组解:
观察上面的“百鸡问题”“千钱百鸡问题”“百马百瓦问题”和“几人吃饭问题”的答案不难发现,在每一个问题的所有答案中,x的值所构成的数列是一个等差数列;同样,y的值所构成的数列和z值所构成的数列也都是一个等差数列.
与百鸡问题相关的问题,当然不止上面所罗列的这些.要想进一步了解更多的问题,读者可以查阅相关的资料;如果有兴趣,也可以自行编拟一些与之相关的问题.不论是自行求解,还是在课余时间与朋友交流、探讨,都是一件很有意义的事情.
参考文献
[1]徐品方,徐伟.古算诗题探源[M].北京:科学出版社,2008.9
作者简介 司志本(1959—),男,河北兴隆人,教授.曾被授予河北省优秀教师,获国家曾宪梓教育基金会教师奖;有170余篇数学论文发表.