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极限在初等数学和高等数学之间起着重要的衔接作用，是从初等数学的思维方式到高等数学的思维方式的质的转变。故此，极限在初等数学和高等数学中都有着很重要的地位。
一、 极限的定义
从极限的发展来看，极限的定义有几种，按时间的发展，定义趋向完善。
柯西定义的极限。柯西是抛弃了物理和几何直观，通过变量来定义极限的概念。它的定义：如果代表某变量的一串数值无限地趋近某一定值时，其差可以任意小，那么这个固定值叫做一串数值的极限。
经过多位数学家的努力到近代，极限的定义才完善。近代极限的定义则分为两种：数列极限和函数极限。它们的定义分别如下：
数列极限：设{an}为数列，a为定数，若?坌?着＞0，?埚正整数N，使得当n＞N时，有
则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限。记为：an= a 。函数极限：设 f 为定义在[a,+∞）上的函数，A为定数，若?坌?着＞0，?埚M（≥a），使得当x＞M时，有
则称函数 f 当x趋于+∞时以A为极限。记为：f（x）= A。[2]
以上是两种极限的定义，下面我们来看看极限的简短的发展史和应用史。
二、极限的发展史
最早运用极限理论来解决实际问题的是大物理学家、数学家牛顿。牛顿在研究流数方面，不仅引入导数概念，而且明确地把倒数作为增量之比的极限。18世纪的后半期，法国数学家达朗贝尔首次把极限理论作为微积分的基础而试图为微积分做出严格证明。他把欧洲大陆的数学家引导到极限概念作为分析学中心概念的轨道上来，他把最初之比理解为一种极限，认为极限和极限理论是微积分的真正抽象。达朗贝尔明确提出极限概念，为解决微积分理论基础问题取得很大的进步，但对文集粉的方法并求做出充分的证明。
直到18世纪末，虽然使微积分有相当进展，但并未获得突破性进展。尽管有些数学家因感到毫无希望而放弃了努力。但这次燃眉之急的工作却从未中止过，关于数学分析基础问题相当广泛而又激烈的争论。为19世纪以法国大数学柯西为代表的分析批判运动积累了丰富的材料和经验。柯西和德国的维尔斯特拉斯等杰出数学家卓有成效的工作，使以极限理论为基础的数学得以确定。[3]
上述是极限的发展史及应用史的大概过程，由中可以看出极限的地位很重要。现代及近代数学分析中，极限作为基础性的知识，是每个数学专业大学生必需了解和掌握的知识。故对于中学生来说，必需要了解极限的基本性概念和运算法则及其应用的基础性知识，为以后学习做铺垫。下面是极限在中学数学中的几个方面应用。
三、极限在中学数学中的应用
极限问题在中职数学中就分成函数极限和数列极限。
3.1 数列极限知识
极限在数列中的应用大概有4个方面，分别是：①用有限处理无限时的应用。②常用极限qn= 0，且|q|＜1的应用。③ 极限在数列中的存在性应用。④ 极限的定义应用。下面我们分别对这几个方面的应用举例说明。
3.1.1 用有限处理无限时的应用。
例1 求
分析：这样的问题在中学中出现就会学生出错，我们先看看学生这面的极限求法上出现什么样的问题
错解：原式 =
分析：上面解答运用了定理“和数列的极限等于每个数列极限的和”，但忽略了这个定理成立的条件是有限个都有极限的数列，由在原式变为
时，虽然各项都有极限，但违反了“有限个”原则，因而错误的，对于这种无穷多次代数和的极限，必须先化成有穷项的形式，本题的正确解法是将原式中的分子可化为：
从这上面可看出，极限中的有限和无限之间的划分相对清楚，故我们应该分清楚何时用“有限”何时用“无限”。
3.1.2 常用极限 的应用
例2 设首项为1，公比是 的等比数列的前n之和为Sn，又设Tn=， 求
分析：这是常用极限 在等比數列中的各种情况应用，但是这个极限中注意q的取值范围，在这方面同学们容易犯错，我们来看看学生们会出现何种错解，我们应该怎么样去解答这问题。
错解：∵ S
分析：上面解答使用公式 （ ）时，忽略了 这一条件，因此求得的仅是 时 的极限，其它情形时的极限是否也是 呢？必须另行计算，
事实上，当q>1时， =0
当q=1时，Tn=
所以 Tn = =1
故正确答案是当0 当q＞1时， Tn =
极限在数列中的应用应注意数列的条件，如上例中，等比数列的求和中，我们知道，等比数列的求和（前n项）的三种情况，故应在解题中注意。
3.1.3 极限存在性在数列中的应用
极限的存在问题在极限中很重要，在数列的极限求解中学生容易犯错。故下面看看存在性问题在数列中的应用。
错解：由已知得
分析：极限的运算法则是在各项数列的极限都存在时才成立，若没有这个特定条件而盲目套用法则是导致错误的根源。
本例题的正确解法如下：
课本中在讲运算法则时，明确规定的条件是各个极限必须存在，这样才能用加法运算法则，其它同样如此。
3.1.4极限定义在数列证明中的应用
数列极限证明中常常用到极限的定义，下面看看极限定义在证明中的应用。
分析：根据定义验证极限时使用放大法的思路是：
再解不等式 ，求出 ，取 ，即找到了N，在进行放大时，除了要求 较之 容易解之外，还必须注意 不能恒大于某个正的常数（如果它大于这个常数，则当?着取小于这个常数的数时，g（n）＜?着就不成立）。上面证明将-0放大成为1+，这是恒大于1的数，它不可能小于任意小的正数?着，因而求出的N不是我们所需要的N，事实上，若取?着=0.5，则N===-2为负数，显然没有意义，可见计算有误。 正确的解法是：
任给 ，
由 -0 =≤=＜?着
得n＞+1，取 N=+1，
则当n＞N时，
恒有-0 ＜?着 故原命题成立。[6]
数列极限在中学数学中的极限知识占很大一部分，故同学们学习时应要更加的重视，另外极限在函数中的应用是另外一大部分，在函数中的应用如下：
3.2 函数极限知识
由数列极限的定义和函数极限的定义中看出，两者比较想象，极限在函数中的应用相对要复杂。数列中的n的变化是正整数内的变化，是离散型的，而函数的是x的变化趋向是实数范围，是连续型的，且x的趋向有可能是某一各具体的实数值，函数极限的出错率也是很高的。
3.2.1 重要极限在函数极限中的应用
例1 求 tan n sin
分析：学生在使用重要极限=1时，如求时，把看作了公式中的x，此时变量的趋向必须是→0才满足这个公式的条件，而这里都是x→0，显然与公式不符。
事实上，当x→0时，→∞
因此，≠1，可见解答有误。
正确的解答为：
因为 tan x=0，sin≤1，由“有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量”可知，tan xsin=0。[9]
函数极限中有两个重要极限，我们上面说了一个，另外一个重要极限为 1+=e在函数极限中也有很广泛的应用，而这两个极限就是函数极限中的两个重要極限。
函数极限中一定要注意变量的变化规律，一般是万变不离其宗，紧抓定义、公式和规则，掌握其基本。
3.2.2 极限的存在性在函数中的应用。
分析：“ f（x）”是函数f（x）当x→∞时极限的符号，不是x 轴上的某一点，也不是某个很大的数，“x→∞”表示的是x在变化过程中，它取值的绝对值无限增大的量，它包含“x→+∞”和“x→-∞”两种情形求f（x）时，如果f（x）≠f（x）则它的极限不存在，本题的解答涉及根号下算术根的问题，而x取正值和x取负值所得算术根的表现形式并不一样。上面解答仅按照x 取正值时进行计算，求出的是x→+∞时函数得到极限，x→-∞时这个函数的极限是什么呢？这里没有给予交待，因而解答是不完整的，正确的解答是：
当x→+∞时，解答如上。
当x→-∞时，原式
这里让我们注意到，函数极限中也存在没有极限的情况，也表现出函数极限和数列极限的区别是：x→∞时，函数极限范围大，它的存在也有一定的规则，必须当x→+∞时的极限和当x→-∞时的极限相等时，整个式子才有极限。
极限的存在性在上面我们说过在数列中应用很重要，同样极限的存在性在函数中也是很重要，然而学生在对待这个问题的时候又经常出现问题，他们容易忽视。
∵ x→0时此函数的左右极限不等。
∴ 无极限。
上面讲述的是大学中的单侧极限，在高中现行教材中也涉及到，故我们要注意函数极限存在的条件，左右侧相等时，才有极限。
函数极限的应用区别于数列极限中的极限应用，但也是互相联系的，但在高中数学中，极限的应用并不仅仅在函数和数列的求解中，在解析几何的求解也有应用。
3.3 极限知识在解析几何中的应用
极限是高中数学的重要知识点，它在沟通初等数学与高等数学的联系中起着其它知识点无法替代的作用，它的应用也很广泛，在解析几何上的应用有着很巧妙的效果。在此，列举范例说明它在解析集合中的应用。
例1 过椭圆+=1的左焦点F作与x轴不垂直的弦AB， AB的垂直平分线交AB于M，交x轴于N，则FN:AB=
分析：观察右图由题意可知，不论直线AB的倾角怎样变化，FN:AB的倾角恒为某一定值。若用极限观点探究这一定值，可回避不少的繁复运算。
∵ a=6，c===3
令直线AB的倾角→0，这时AB→2a，易知道点N→原点O，则FN:AB→c， ∴ FN:AB=c:2a=1:4。[5]
例2：如下图P点在双曲线-=1的右支上，求△PF1F2内切圆圆心的轨迹。
解：根据双曲线的定义结合圆的切线长定理，
有 HF1-HF2= PF1-PF2=8
又 HF1+HF2= 2c=10
可知 HF1=9， HF2=1，故 OH=4
所以圆心的横坐标xG=4，即圆心G的轨迹应为直线x=4上一部分，须确定其极限点。
当点P在第一象限沿双曲线向右无限延伸，易知 kF1P 趋近与渐进线的斜率。
又 ∠GF1H=∠PF1H，记F1G的斜率为k，则由=，得k=，
再由 =，得GH=3
即知点（4，3）为轨迹的一极限点。
由于双曲线及点P均关于x轴对称
∴ 内切圆圆心G的轨迹为x=4（-3＜y＜3）
此类涉及极限点的问题，若处理不当则回影响轨迹的纯粹性和完备性。
例3：已知直线 l : x-ny=0（n∈N），圆M :（x+1）2+（y+1）2=1 ，抛物线 ?椎：y= （x-1）2，又l与M交于点A，B，l 与?椎交于点Ｃ，Ｄ，求。
解：圆心M（－１，－１）到直线l的距离
d= ∵ AB=4（1-d2）=
设 c（x1，y1），d（x2，y2）
联立 x-ny=0和y=（x-1）2
得 nx2-（2n+1）x+n=0
∴ （x1-x2）2 = （x1+x2）2-4x1x2
=-4?=
CD=1+（x1-x2）2 =
∴ = =2。
综观上述三个方面的极限运用可看出，极限在中学中有着重要的作用，也和大学中的数学分析有着密切的联系，故我们应该重视极限知识。
一、 极限的定义
从极限的发展来看，极限的定义有几种，按时间的发展，定义趋向完善。
柯西定义的极限。柯西是抛弃了物理和几何直观，通过变量来定义极限的概念。它的定义：如果代表某变量的一串数值无限地趋近某一定值时，其差可以任意小，那么这个固定值叫做一串数值的极限。
经过多位数学家的努力到近代，极限的定义才完善。近代极限的定义则分为两种：数列极限和函数极限。它们的定义分别如下：
数列极限：设{an}为数列，a为定数，若?坌?着＞0，?埚正整数N，使得当n＞N时，有
则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限。记为：an= a 。函数极限：设 f 为定义在[a,+∞）上的函数，A为定数，若?坌?着＞0，?埚M（≥a），使得当x＞M时，有
则称函数 f 当x趋于+∞时以A为极限。记为：f（x）= A。[2]
以上是两种极限的定义，下面我们来看看极限的简短的发展史和应用史。
二、极限的发展史
最早运用极限理论来解决实际问题的是大物理学家、数学家牛顿。牛顿在研究流数方面，不仅引入导数概念，而且明确地把倒数作为增量之比的极限。18世纪的后半期，法国数学家达朗贝尔首次把极限理论作为微积分的基础而试图为微积分做出严格证明。他把欧洲大陆的数学家引导到极限概念作为分析学中心概念的轨道上来，他把最初之比理解为一种极限，认为极限和极限理论是微积分的真正抽象。达朗贝尔明确提出极限概念，为解决微积分理论基础问题取得很大的进步，但对文集粉的方法并求做出充分的证明。
直到18世纪末，虽然使微积分有相当进展，但并未获得突破性进展。尽管有些数学家因感到毫无希望而放弃了努力。但这次燃眉之急的工作却从未中止过，关于数学分析基础问题相当广泛而又激烈的争论。为19世纪以法国大数学柯西为代表的分析批判运动积累了丰富的材料和经验。柯西和德国的维尔斯特拉斯等杰出数学家卓有成效的工作，使以极限理论为基础的数学得以确定。[3]
上述是极限的发展史及应用史的大概过程，由中可以看出极限的地位很重要。现代及近代数学分析中，极限作为基础性的知识，是每个数学专业大学生必需了解和掌握的知识。故对于中学生来说，必需要了解极限的基本性概念和运算法则及其应用的基础性知识，为以后学习做铺垫。下面是极限在中学数学中的几个方面应用。
三、极限在中学数学中的应用
极限问题在中职数学中就分成函数极限和数列极限。
3.1 数列极限知识
极限在数列中的应用大概有4个方面，分别是：①用有限处理无限时的应用。②常用极限qn= 0，且|q|＜1的应用。③ 极限在数列中的存在性应用。④ 极限的定义应用。下面我们分别对这几个方面的应用举例说明。
3.1.1 用有限处理无限时的应用。
例1 求
分析：这样的问题在中学中出现就会学生出错，我们先看看学生这面的极限求法上出现什么样的问题
错解：原式 =
分析：上面解答运用了定理“和数列的极限等于每个数列极限的和”，但忽略了这个定理成立的条件是有限个都有极限的数列，由在原式变为
时，虽然各项都有极限，但违反了“有限个”原则，因而错误的，对于这种无穷多次代数和的极限，必须先化成有穷项的形式，本题的正确解法是将原式中的分子可化为：
从这上面可看出，极限中的有限和无限之间的划分相对清楚，故我们应该分清楚何时用“有限”何时用“无限”。
3.1.2 常用极限 的应用
例2 设首项为1，公比是 的等比数列的前n之和为Sn，又设Tn=， 求
分析：这是常用极限 在等比數列中的各种情况应用，但是这个极限中注意q的取值范围，在这方面同学们容易犯错，我们来看看学生们会出现何种错解，我们应该怎么样去解答这问题。
错解：∵ S
分析：上面解答使用公式 （ ）时，忽略了 这一条件，因此求得的仅是 时 的极限，其它情形时的极限是否也是 呢？必须另行计算，
事实上，当q>1时， =0
当q=1时，Tn=
所以 Tn = =1
故正确答案是当0
极限在数列中的应用应注意数列的条件，如上例中，等比数列的求和中，我们知道，等比数列的求和（前n项）的三种情况，故应在解题中注意。
3.1.3 极限存在性在数列中的应用
极限的存在问题在极限中很重要，在数列的极限求解中学生容易犯错。故下面看看存在性问题在数列中的应用。
错解：由已知得
分析：极限的运算法则是在各项数列的极限都存在时才成立，若没有这个特定条件而盲目套用法则是导致错误的根源。
本例题的正确解法如下：
课本中在讲运算法则时，明确规定的条件是各个极限必须存在，这样才能用加法运算法则，其它同样如此。
3.1.4极限定义在数列证明中的应用
数列极限证明中常常用到极限的定义，下面看看极限定义在证明中的应用。
分析：根据定义验证极限时使用放大法的思路是：
再解不等式 ，求出 ，取 ，即找到了N，在进行放大时，除了要求 较之 容易解之外，还必须注意 不能恒大于某个正的常数（如果它大于这个常数，则当?着取小于这个常数的数时，g（n）＜?着就不成立）。上面证明将-0放大成为1+，这是恒大于1的数，它不可能小于任意小的正数?着，因而求出的N不是我们所需要的N，事实上，若取?着=0.5，则N===-2为负数，显然没有意义，可见计算有误。 正确的解法是：
任给 ，
由 -0 =≤=＜?着
得n＞+1，取 N=+1，
则当n＞N时，
恒有-0 ＜?着 故原命题成立。[6]
数列极限在中学数学中的极限知识占很大一部分，故同学们学习时应要更加的重视，另外极限在函数中的应用是另外一大部分，在函数中的应用如下：
3.2 函数极限知识
由数列极限的定义和函数极限的定义中看出，两者比较想象，极限在函数中的应用相对要复杂。数列中的n的变化是正整数内的变化，是离散型的，而函数的是x的变化趋向是实数范围，是连续型的，且x的趋向有可能是某一各具体的实数值，函数极限的出错率也是很高的。
3.2.1 重要极限在函数极限中的应用
例1 求 tan n sin
分析：学生在使用重要极限=1时，如求时，把看作了公式中的x，此时变量的趋向必须是→0才满足这个公式的条件，而这里都是x→0，显然与公式不符。
事实上，当x→0时，→∞
因此，≠1，可见解答有误。
正确的解答为：
因为 tan x=0，sin≤1，由“有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量”可知，tan xsin=0。[9]
函数极限中有两个重要极限，我们上面说了一个，另外一个重要极限为 1+=e在函数极限中也有很广泛的应用，而这两个极限就是函数极限中的两个重要極限。
函数极限中一定要注意变量的变化规律，一般是万变不离其宗，紧抓定义、公式和规则，掌握其基本。
3.2.2 极限的存在性在函数中的应用。
分析：“ f（x）”是函数f（x）当x→∞时极限的符号，不是x 轴上的某一点，也不是某个很大的数，“x→∞”表示的是x在变化过程中，它取值的绝对值无限增大的量，它包含“x→+∞”和“x→-∞”两种情形求f（x）时，如果f（x）≠f（x）则它的极限不存在，本题的解答涉及根号下算术根的问题，而x取正值和x取负值所得算术根的表现形式并不一样。上面解答仅按照x 取正值时进行计算，求出的是x→+∞时函数得到极限，x→-∞时这个函数的极限是什么呢？这里没有给予交待，因而解答是不完整的，正确的解答是：
当x→+∞时，解答如上。
当x→-∞时，原式
这里让我们注意到，函数极限中也存在没有极限的情况，也表现出函数极限和数列极限的区别是：x→∞时，函数极限范围大，它的存在也有一定的规则，必须当x→+∞时的极限和当x→-∞时的极限相等时，整个式子才有极限。
极限的存在性在上面我们说过在数列中应用很重要，同样极限的存在性在函数中也是很重要，然而学生在对待这个问题的时候又经常出现问题，他们容易忽视。
∵ x→0时此函数的左右极限不等。
∴ 无极限。
上面讲述的是大学中的单侧极限，在高中现行教材中也涉及到，故我们要注意函数极限存在的条件，左右侧相等时，才有极限。
函数极限的应用区别于数列极限中的极限应用，但也是互相联系的，但在高中数学中，极限的应用并不仅仅在函数和数列的求解中，在解析几何的求解也有应用。
3.3 极限知识在解析几何中的应用
极限是高中数学的重要知识点，它在沟通初等数学与高等数学的联系中起着其它知识点无法替代的作用，它的应用也很广泛，在解析几何上的应用有着很巧妙的效果。在此，列举范例说明它在解析集合中的应用。
例1 过椭圆+=1的左焦点F作与x轴不垂直的弦AB， AB的垂直平分线交AB于M，交x轴于N，则FN:AB=
分析：观察右图由题意可知，不论直线AB的倾角怎样变化，FN:AB的倾角恒为某一定值。若用极限观点探究这一定值，可回避不少的繁复运算。
∵ a=6，c===3
令直线AB的倾角→0，这时AB→2a，易知道点N→原点O，则FN:AB→c， ∴ FN:AB=c:2a=1:4。[5]
例2：如下图P点在双曲线-=1的右支上，求△PF1F2内切圆圆心的轨迹。
解：根据双曲线的定义结合圆的切线长定理，
有 HF1-HF2= PF1-PF2=8
又 HF1+HF2= 2c=10
可知 HF1=9， HF2=1，故 OH=4
所以圆心的横坐标xG=4，即圆心G的轨迹应为直线x=4上一部分，须确定其极限点。
当点P在第一象限沿双曲线向右无限延伸，易知 kF1P 趋近与渐进线的斜率。
又 ∠GF1H=∠PF1H，记F1G的斜率为k，则由=，得k=，
再由 =，得GH=3
即知点（4，3）为轨迹的一极限点。
由于双曲线及点P均关于x轴对称
∴ 内切圆圆心G的轨迹为x=4（-3＜y＜3）
此类涉及极限点的问题，若处理不当则回影响轨迹的纯粹性和完备性。
例3：已知直线 l : x-ny=0（n∈N），圆M :（x+1）2+（y+1）2=1 ，抛物线 ?椎：y= （x-1）2，又l与M交于点A，B，l 与?椎交于点Ｃ，Ｄ，求。
解：圆心M（－１，－１）到直线l的距离
d= ∵ AB=4（1-d2）=
设 c（x1，y1），d（x2，y2）
联立 x-ny=0和y=（x-1）2
得 nx2-（2n+1）x+n=0
∴ （x1-x2）2 = （x1+x2）2-4x1x2
=-4?=
CD=1+（x1-x2）2 =
∴ = =2。
综观上述三个方面的极限运用可看出，极限在中学中有着重要的作用，也和大学中的数学分析有着密切的联系，故我们应该重视极限知识。