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【内容摘要】在数学教学过程中，经常需要引导学生采取化归思想，把未知的问题朝向已知方向转化，把高次问题朝低次问题的方向转化，把繁杂的问题朝简单的方向转化，把隐藏的问题朝显然的问题方向转化，把一个不规范的问题转化为规范问题，运用数学中的已有成果和经验，已形成了固定的模式、方法和步骤去解决未知的问题。
【关键词】未知问题 规范问题 化归思想 解题
化归，就是转化与归结的意思，化归思想就是把有待解决的未解决的问题，通过转化过程，变为已解决过的问题或已熟悉的规范性问题，从而求得问题解决的思想。
人类在劳动实践过程中，积累了丰富的经验，在研究问题的过程中获得了大量的成果，许多问题的解决形成了固定的方法和模式，人们把这种有相对确定的解决方法和程序的问题，叫做规范问题；把一个未知的或复杂的问题转化为规范问题的方法，称为问题的化归。数学中解题的过程就是数学问题的化归过程，许多数学问题直接去解往往非常困难，而通过转化就大大简便了解题过程，下面谈谈化归思想在解题中的运用：
一、化抽象问题转为具体问题
有些题目，把抽象的问题具体化，一般问题特殊化，往往可以很快得到结果或答案。
例1平行四边形两邻边的长分别为a和b，如果它分别绕边长为a，b的边旋转一周，则形成的两个旋转体体积之比是（）
A. B. C. D.
分析：抽象问题具体化，令平行四边形为矩形，马上可知答案为（D）。
例2 若a＜b＜0，则下列结论中正确的是（）
A、a＋b＜－a＋b＜a－b＜－a－b
B、a＋b＜a－b＜－a＋b＜－a－b
C、－a－b＜a－b＜－a＋b＜a＋b
D、－a－b＜a＋b＜－a＋b＜a－b
分析：直接比较四个代数式大小，由于太抽象，所以困难较大，但由于a和b均在一定范围内取值，所以不妨赋予a和b均在一定范围内特殊值。通过对具体数值比较而确定本题答案。
解：∵a＜b＜0不妨设a＝－3 b＝－2
∴a＋b＝－5－a＋b＝＋1a－b＝－1 －a－b＝5
∴a＋b＜a－b＜－a＋b＜－a－b
故选（B）
二、将隐含条件变为已知条件
解题中，不仅要善于对题目的表面形式进行观察，并发现其特点，而且要善于挖掘隐含条件，使其转化为已知条件。
例3已知，那么复数的辐角主值是（）
A. B.
C. D.
分析：若用常规法，把复数化为三角形式，思路虽正确，但复杂且花费时间多。仔细挖掘一下隐含条件，发现四个选择支分别为四个象限内的角。考虑到，因此辐角应在第一象限，故很快判断（B）。
三、化复杂问题为简单问题
有的数学问题看上去比较复杂，如果我们善于对问题的形式特征进行观察、转化，用灵活的方法求解，那么往往能使复杂问题简单化。
例4 若锐角满足
，
求证：。
分析：如果把这一问题仅仅看作一个三角函数关系式，解答起来就非常复杂，但是若将等式转化为关于的一元二次方程
有一个根，在利用韦达定理，问题就可以容易解决了。
例5证明：对于任意的，恒有不等式
分析：本题欲直接从左边或从右边入手，则困难重重。但若设，可化归为向量问题求解，问题就简单得多。
证明：设，则
而
即，得
值得一提的是，换元法也是中学数学化归思想的一个重要方法，它可以将高次问题转化成低次问题，将复杂的代数方程问题转化成简单的三角方程问题加以解决。
四、变正向思维为逆向思维
在解决某一类问题时，思维定势造成了很强的指向性，但这种指向性有时又成为思维的障碍，这时，尝试逆向思维，往往能迅速解决问题。思维是可逆的，但逆向思维必须经过训练才能形成，这对于数学的学习特别重要。运算可以互逆，等式、定理也可以互逆。
例6四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种。
A、150 B、147 C、144 D、141
分析：本题正面入手，情况复杂，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简单多了。
解：10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选（D）。
例7设实系数二次方程，已知由其系数组成的a，bd，c三数构成等差数列，求证：上述两个方程中至少有一个方程有实根。
分析：此题若用正向思维去证明，需要技巧运算繁琐，极易造成错误。若转化为逆向思维，假设两个方程均无实根，则只要令，即且，所以
⑴而题设a，bd，c三数成等差数列，
⑵则⑴与⑵两式出现矛盾，这就是所谓的反证法。
数学中充满着已知与未知，异与同，多与少，一般与特殊等矛盾，这些矛盾的对立面无不在一定条件下互相转化。这是唯物辩证法在数学思想方法上的体现，转化的方向一般是把未知的问题朝向已知方向转化，把难的问题朝较易的方向转化，把繁杂的问题朝简单的方向转化，把生疏的问题朝熟悉的方向转化。我们在教学过程中，必须经常引导学生采取“转化”策略，加强逆向思维的训练，这样，才能开拓学生的思维，提高解题的技能技巧，达到一定的效果。
（作者单位：725000陕西省汉滨区江北高中）
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键词】未知问题 规范问题 化归思想 解题
化归，就是转化与归结的意思，化归思想就是把有待解决的未解决的问题，通过转化过程，变为已解决过的问题或已熟悉的规范性问题，从而求得问题解决的思想。
人类在劳动实践过程中，积累了丰富的经验，在研究问题的过程中获得了大量的成果，许多问题的解决形成了固定的方法和模式，人们把这种有相对确定的解决方法和程序的问题，叫做规范问题；把一个未知的或复杂的问题转化为规范问题的方法，称为问题的化归。数学中解题的过程就是数学问题的化归过程，许多数学问题直接去解往往非常困难，而通过转化就大大简便了解题过程，下面谈谈化归思想在解题中的运用：
一、化抽象问题转为具体问题
有些题目，把抽象的问题具体化，一般问题特殊化，往往可以很快得到结果或答案。
例1平行四边形两邻边的长分别为a和b，如果它分别绕边长为a，b的边旋转一周，则形成的两个旋转体体积之比是（）
A. B. C. D.
分析：抽象问题具体化，令平行四边形为矩形，马上可知答案为（D）。
例2 若a＜b＜0，则下列结论中正确的是（）
A、a＋b＜－a＋b＜a－b＜－a－b
B、a＋b＜a－b＜－a＋b＜－a－b
C、－a－b＜a－b＜－a＋b＜a＋b
D、－a－b＜a＋b＜－a＋b＜a－b
分析：直接比较四个代数式大小，由于太抽象，所以困难较大，但由于a和b均在一定范围内取值，所以不妨赋予a和b均在一定范围内特殊值。通过对具体数值比较而确定本题答案。
解：∵a＜b＜0不妨设a＝－3 b＝－2
∴a＋b＝－5－a＋b＝＋1a－b＝－1 －a－b＝5
∴a＋b＜a－b＜－a＋b＜－a－b
故选（B）
二、将隐含条件变为已知条件
解题中，不仅要善于对题目的表面形式进行观察，并发现其特点，而且要善于挖掘隐含条件，使其转化为已知条件。
例3已知，那么复数的辐角主值是（）
A. B.
C. D.
分析：若用常规法，把复数化为三角形式，思路虽正确，但复杂且花费时间多。仔细挖掘一下隐含条件，发现四个选择支分别为四个象限内的角。考虑到，因此辐角应在第一象限，故很快判断（B）。
三、化复杂问题为简单问题
有的数学问题看上去比较复杂，如果我们善于对问题的形式特征进行观察、转化，用灵活的方法求解，那么往往能使复杂问题简单化。
例4 若锐角满足
，
求证：。
分析：如果把这一问题仅仅看作一个三角函数关系式，解答起来就非常复杂，但是若将等式转化为关于的一元二次方程
有一个根，在利用韦达定理，问题就可以容易解决了。
例5证明：对于任意的，恒有不等式
分析：本题欲直接从左边或从右边入手，则困难重重。但若设，可化归为向量问题求解，问题就简单得多。
证明：设，则
而
即，得
值得一提的是，换元法也是中学数学化归思想的一个重要方法，它可以将高次问题转化成低次问题，将复杂的代数方程问题转化成简单的三角方程问题加以解决。
四、变正向思维为逆向思维
在解决某一类问题时，思维定势造成了很强的指向性，但这种指向性有时又成为思维的障碍，这时，尝试逆向思维，往往能迅速解决问题。思维是可逆的，但逆向思维必须经过训练才能形成，这对于数学的学习特别重要。运算可以互逆，等式、定理也可以互逆。
例6四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种。
A、150 B、147 C、144 D、141
分析：本题正面入手，情况复杂，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简单多了。
解：10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选（D）。
例7设实系数二次方程，已知由其系数组成的a，bd，c三数构成等差数列，求证：上述两个方程中至少有一个方程有实根。
分析：此题若用正向思维去证明，需要技巧运算繁琐，极易造成错误。若转化为逆向思维，假设两个方程均无实根，则只要令，即且，所以
⑴而题设a，bd，c三数成等差数列，
⑵则⑴与⑵两式出现矛盾，这就是所谓的反证法。
数学中充满着已知与未知，异与同，多与少，一般与特殊等矛盾，这些矛盾的对立面无不在一定条件下互相转化。这是唯物辩证法在数学思想方法上的体现，转化的方向一般是把未知的问题朝向已知方向转化，把难的问题朝较易的方向转化，把繁杂的问题朝简单的方向转化，把生疏的问题朝熟悉的方向转化。我们在教学过程中，必须经常引导学生采取“转化”策略，加强逆向思维的训练，这样，才能开拓学生的思维，提高解题的技能技巧，达到一定的效果。
（作者单位：725000陕西省汉滨区江北高中）
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”