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摘要：正确确定煤系岩体力学参数的概率分布是承压水上采煤底板稳定可靠性分析的关键。以淮北矿区部分煤矿下组煤底板砂岩强度参数为例，以K-S检验法对数据进行概率分布拟合，获取参数分布类型及统计量。以此大样本概型为先验函数，具体工作面底板岩体小样本参数的概型为似然函数，基于Bayes方法对其优化，得到验后分布的概型参数。计算结果表明，下组煤底板砂岩强度参数全部接受正态分布和对数正态分布，优化后的方差有所下降，可以提高底板采动稳定可靠性分析结果，从而达到优化目的。
关键词：煤层底板；岩体参数；概率分布；Bayes优化
中图分类号：TD163文献标志码：A文章编号：1672-1098（2014）04-0015-04
淮南潘三矿8煤层为其主采煤层之一，然该地区松散层下部含水层直接覆盖在煤系地层之上，该含水层具有富水性较强、水压高等特点，给浅部煤层的安全开采带来严重的安全隐患。基于可靠性理论分析采动条件下，顶板在高水压作用下的稳定性是一种行之有效的方法。而岩体力学参数的概率分布推断是顶板稳定可靠性分析的关键步骤之一。由于受地质运动、赋存环境以及人类工程活动的影响，地质体力学性质非常复杂，其本身的各种力学参数具有很大的不确定性。正确选择和建立输入参数的概率模型、估计其特征参数是可靠性分析的关键步骤之一，它直接影响可靠性最终的计算结果和精度。 因此，岩体力学参数的概率分布特性研究始终是一项基础性的重要工作。
而在计算具体工作面采动顶板稳定可靠度问题时，由于技术或经济等原因，岩块样本数常常较少，难以对其参数进行单独的统计分析。因此，在小样本条件下如何分析数据的分布特征为愈来愈多的学者所关注。而比较可行的就是利用已有的资料获得顶板岩体参数的概率分布，对新的工作面的小样本数据进行优化，具有重要意义。本文针对这一问题，引入Bayes统计推断方法，利用淮南矿区潘三、顾桥以及丁集等矿8煤顶板已有资料进行统计分析，并利用K-S检验法对其概率分布进行检验，确定出概率分布形式，以此作为先验分布，以小样本参数的概型为似然函数，利用Bayes方法对概型参数进行优化，可解决具体工作面覆岩获取岩体参数大样本的困难性[1-4]，对正确统计岩体参数概率分布函数具有重要意义。
1覆岩岩体参数先验分布
11样本收集及异常值判断
矿区8煤层浅部覆岩主要为砂岩和泥岩的组合体，岩体参数具有很大的不确定性，本文以砂岩强度参数为例进行概率分布拟合分析。根据潘三、顾桥以及丁集的地质报告和各矿所做的科研报告，收集到8煤层浅部顶板砂岩内聚力60个样本、摩擦角55个样本、抗拉强度58个样本，共173个砂岩强度参数样本，如表1所示。表18煤层顶板砂岩强度参数
以抗拉强度为例，经计算顶板的单轴抗拉强度均值=300 MPa，3 s=0837，上述58组数据的ei值均小于3 s，说明抗压强度样本中没有异常值[5]。同理检测出其余强度指标值样本皆没有异常值。
12验前分布的假设检验
根据收集到的岩体物理力学参数，当数据量较大时，可通过直方图来直观的体现概率密度函数的形状。本次收集到得的岩体各项指标样本数皆大于25，由此可以通过直方图分析概型。摩擦角和抗拉强度参数的直方图如图1所示。从直方图中可以看出，统计指标具有中间大，两端小的特点，显示出优势集中。对图形态分析，初步拟定正态分布、对数正态分布、威布尔分布三种概型进行检验。三种常见的分布函数列出如下
1） 正态分布
F（x）=12π∫e-（x-μ）22σ2dx=（x-μσ）（4）
2） 对数正态分布
F（x）=12πσ∫e-（ln x-μ）22σ2 dx=（ln x-μσ）（5）
3） 威布尔分布
威布尔分布的密度函数为
f（x）=αβ-αxα-1e（-x/β）αx≥0
0其他 （6）
式中：α为形状参数，β为比例参数。
各种分布参数的估计采用极大似然法，采用K-S法进行假设检验。
K-S检验法是检验单一样本是否来自某一特定分布的方法。它的检验方法是以样本数据的累计频数分布与特定理论分布比较，若两者间的差距很小，则推论该样本取自某特定分布族。
用F0（x）表示理论分布的分布函数，Fn（x）表示一组随机样本的累计频率函数。设D为F0（x）与Fn（x）差距的最大值，定义如下式
D=max|Fn（x）-F0（x）|
当实际观测D>D（n，α）（D（n，α）是显著水平为α样本容量为n时，D的拒绝临界值），则拒绝假设，反之则接受假设。
顶板砂岩强度参数概率分布拟合的参数估计以及K-S检验结果如表2所示。由表2可见，在显著水平α=005上，所有指标全部接受正态分布和对数正态分布，全部不接受威布尔分布。另外，砂岩各强队参数值的假设检验的值，正态分布比对数正态分布小；其差值较小，故在下面的Bayes优化中，主要对强度参数的正态分布参数进行优化。
摩擦角/（°）抗拉强度/MPa
图1砂岩强度参数概率分布拟合图
表28煤顶板砂岩强度参数假定模型的参数估计及假设检验
强度指标正态分布uσK-S检验结果D对数正态分布uσK-S检验结果Dweibull分布αβK-S检验结果DD（n，005）内聚力4580470111480110134641029×1017 摩擦角379531005365008500739921241×1018 抗拉强度3050310071090090113121201×1018 注：内聚力、抗拉强度单位MPa，摩擦角单位（°）2概型参数优化的Bayes 方法
Bayes公式可写成如下形式[6] p″（θi）=p′（θi）p（zθi）∑p′（θi）p（zθi） （7）
式中：p″（θi）为验后概率；p′（θi）为先验概率；p（zθi）为试验概率。
对于是连续分布的情况，Bayes公式可写成[7]
f″（θ）=kL（θ）f′（θ） （8）
式中：f″（θ）为验后概率密度函数； f′（θ）为先验概率密度函数；L（θ）为似然函数；k为归一化常数。
若随机变量θ的验后分布概率与先验分布概率分别一致时，则验后分布的均值和方差分别为
u=∫∞-∞θf″（θ）dθ （9）
σ2=∫∞-∞（θ-u）2f″（θ）dθ （10）
如果随机变量θ的先验分布f′（θ）为正态分布N[u′，（σ′）2]，则似然函数L（θ）为正态分布N[u″，（σ″）2]，验后分布f″（θ）也为正态分布N[u″，（σ″）2]，其中均值u″和方差（σ″）2分别为
u″=u*（σ′）2+u′（σ*）2（σ′）2+（σ*）2 （11）
（σ″）2=（σ′σ*）2（σ′）2+（σ*）2 （12）
式中：u*、u′分别为似然函数、先验函数和后验函数的均值；（σ*）2、（σ′）2、（σ″）2分别为似然函数、先验函数和后验函数的方差。
3顶板岩体参数Bayes方法优化
顶板岩体参数Bayes方法优化以潘三矿12318综采工作面为例。12318综采工作面位于矿区西部一采区，是该矿8煤首采面。工作面标高-675～455 m， 走向长1 971 m， 倾斜长205 m，煤层平均厚度3. 3 m。设防的含水层主要是新生界下部含水层，下含水压高达5 MPa，且富水较强，对工作面的安全生产威胁较大。工作面留设85 m防水煤岩柱，煤柱岩性主要为细砂岩。利用工作面内探放水孔的顶板砂岩强度参数测试（见表3）为补充数据，用Bayes方法对正态分布参数（u，σ2）进行优化。
表312318工作面砂岩强度参数测试数据
内聚力/MPa摩擦角/（°）抗拉强度/MPa 4283715301 43628 4235276 39378321 36376298 41381308 419382318 423373302
由于表3数据与表1数据来自同一个正态整体，即似然函数L（θ）为正态分布，其均值、方差分别如表4所示。
表4似然函数的均值和方差
强度指标均值u*方差（σ*）2内聚力/MPa4062 50044 5抗拉强度/MPa30050022 65摩擦角/（°）37131 21071 8
表2为先验分布的正态分布，将表2与4中的数据代入公式（5）和（6）可得正态分布的验后概率密度函数，其均值、方差分别见表5。
表5验后的均值和方差
强度指标均值u″方差（σ″）2内聚力/MPa41490037抗拉强度/MPa30050022 58摩擦角/（°）3713107
经Bayes方法优化后， 方差值比先验分布和似然函数的方差值小，从而达到优化岩土强度参数的目的。所以12318工作面的砂岩强度参数可以按表4的正态分布为母体，对顶板采动稳定进行可靠性分析。
4结论
针对工作面顶板岩体参数测试数据较少，难以对其参数进行单独的统计分析。本文引入Bayes 法对参数进行优化处理。根据收集到的淮南矿区部分煤矿8煤顶板砂岩强度参数，以K-S检验法对此数据进行概率分布拟合，获取参数分布类型及统计量。以此大样本概型为先验函数，具体工作面顶板岩体小样本参数的概型为似然函数，基于Bayes方法对其优化，得到验后分布的概型参数。获的主要结论如下：
1） 淮南潘谢矿区8煤顶板砂岩强度参数全部接受正态分布和对数正态分布，
2） 经Bayes优化后的方差有所下降，可以提高顶板采动稳定可靠性分析精度。顶板岩体力学参数的准确确定对采动顶板抗水压能力评估研究提供了重要依据。
参考文献：
[1]严春风，宋建波，朱可善.岩体结构面倾向参数概率分布函数改进的Bayes 的推断方法[J].工程地质学报，1999，7 （4）： 349-354.
[2]王俊杰，陈爱玖，姬凤玲，等.岩土参数的概率分布拟合及Bayes方法优化[J].华北水利水电学院学报，2004，25（2）：51-54.
[3]李夕兵，宫凤强.岩土力学参数概率分布的推断方法研究综述[J].长沙理工大学学报：自然科学版，2007，4（1）： 1-8.
[4]李红英，谭跃虎，赵辉.某滑坡体岩土参数概率分布统计分析方法研究[J].地下空间与工程学报，2012，8（3）：659-665.
[5]毕忠伟.岩体力学参数推断的Bayes方法及截尾可靠度的研究与应用[D].中南大学，2008.
[6]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，1989：22-23.
[7]高大钊.土力学可靠原理[M].北京：中国建筑工业出版社，1989：32-35.
（责任编辑：李丽，范君）
关键词：煤层底板；岩体参数；概率分布；Bayes优化
中图分类号：TD163文献标志码：A文章编号：1672-1098（2014）04-0015-04
淮南潘三矿8煤层为其主采煤层之一，然该地区松散层下部含水层直接覆盖在煤系地层之上，该含水层具有富水性较强、水压高等特点，给浅部煤层的安全开采带来严重的安全隐患。基于可靠性理论分析采动条件下，顶板在高水压作用下的稳定性是一种行之有效的方法。而岩体力学参数的概率分布推断是顶板稳定可靠性分析的关键步骤之一。由于受地质运动、赋存环境以及人类工程活动的影响，地质体力学性质非常复杂，其本身的各种力学参数具有很大的不确定性。正确选择和建立输入参数的概率模型、估计其特征参数是可靠性分析的关键步骤之一，它直接影响可靠性最终的计算结果和精度。 因此，岩体力学参数的概率分布特性研究始终是一项基础性的重要工作。
而在计算具体工作面采动顶板稳定可靠度问题时，由于技术或经济等原因，岩块样本数常常较少，难以对其参数进行单独的统计分析。因此，在小样本条件下如何分析数据的分布特征为愈来愈多的学者所关注。而比较可行的就是利用已有的资料获得顶板岩体参数的概率分布，对新的工作面的小样本数据进行优化，具有重要意义。本文针对这一问题，引入Bayes统计推断方法，利用淮南矿区潘三、顾桥以及丁集等矿8煤顶板已有资料进行统计分析，并利用K-S检验法对其概率分布进行检验，确定出概率分布形式，以此作为先验分布，以小样本参数的概型为似然函数，利用Bayes方法对概型参数进行优化，可解决具体工作面覆岩获取岩体参数大样本的困难性[1-4]，对正确统计岩体参数概率分布函数具有重要意义。
1覆岩岩体参数先验分布
11样本收集及异常值判断
矿区8煤层浅部覆岩主要为砂岩和泥岩的组合体，岩体参数具有很大的不确定性，本文以砂岩强度参数为例进行概率分布拟合分析。根据潘三、顾桥以及丁集的地质报告和各矿所做的科研报告，收集到8煤层浅部顶板砂岩内聚力60个样本、摩擦角55个样本、抗拉强度58个样本，共173个砂岩强度参数样本，如表1所示。表18煤层顶板砂岩强度参数
以抗拉强度为例，经计算顶板的单轴抗拉强度均值=300 MPa，3 s=0837，上述58组数据的ei值均小于3 s，说明抗压强度样本中没有异常值[5]。同理检测出其余强度指标值样本皆没有异常值。
12验前分布的假设检验
根据收集到的岩体物理力学参数，当数据量较大时，可通过直方图来直观的体现概率密度函数的形状。本次收集到得的岩体各项指标样本数皆大于25，由此可以通过直方图分析概型。摩擦角和抗拉强度参数的直方图如图1所示。从直方图中可以看出，统计指标具有中间大，两端小的特点，显示出优势集中。对图形态分析，初步拟定正态分布、对数正态分布、威布尔分布三种概型进行检验。三种常见的分布函数列出如下
1） 正态分布
F（x）=12π∫e-（x-μ）22σ2dx=（x-μσ）（4）
2） 对数正态分布
F（x）=12πσ∫e-（ln x-μ）22σ2 dx=（ln x-μσ）（5）
3） 威布尔分布
威布尔分布的密度函数为
f（x）=αβ-αxα-1e（-x/β）αx≥0
0其他 （6）
式中：α为形状参数，β为比例参数。
各种分布参数的估计采用极大似然法，采用K-S法进行假设检验。
K-S检验法是检验单一样本是否来自某一特定分布的方法。它的检验方法是以样本数据的累计频数分布与特定理论分布比较，若两者间的差距很小，则推论该样本取自某特定分布族。
用F0（x）表示理论分布的分布函数，Fn（x）表示一组随机样本的累计频率函数。设D为F0（x）与Fn（x）差距的最大值，定义如下式
D=max|Fn（x）-F0（x）|
当实际观测D>D（n，α）（D（n，α）是显著水平为α样本容量为n时，D的拒绝临界值），则拒绝假设，反之则接受假设。
顶板砂岩强度参数概率分布拟合的参数估计以及K-S检验结果如表2所示。由表2可见，在显著水平α=005上，所有指标全部接受正态分布和对数正态分布，全部不接受威布尔分布。另外，砂岩各强队参数值的假设检验的值，正态分布比对数正态分布小；其差值较小，故在下面的Bayes优化中，主要对强度参数的正态分布参数进行优化。
摩擦角/（°）抗拉强度/MPa
图1砂岩强度参数概率分布拟合图
表28煤顶板砂岩强度参数假定模型的参数估计及假设检验
强度指标正态分布uσK-S检验结果D对数正态分布uσK-S检验结果Dweibull分布αβK-S检验结果DD（n，005）内聚力4580470111480110134641029×1017 摩擦角379531005365008500739921241×1018 抗拉强度3050310071090090113121201×1018 注：内聚力、抗拉强度单位MPa，摩擦角单位（°）2概型参数优化的Bayes 方法
Bayes公式可写成如下形式[6] p″（θi）=p′（θi）p（zθi）∑p′（θi）p（zθi） （7）
式中：p″（θi）为验后概率；p′（θi）为先验概率；p（zθi）为试验概率。
对于是连续分布的情况，Bayes公式可写成[7]
f″（θ）=kL（θ）f′（θ） （8）
式中：f″（θ）为验后概率密度函数； f′（θ）为先验概率密度函数；L（θ）为似然函数；k为归一化常数。
若随机变量θ的验后分布概率与先验分布概率分别一致时，则验后分布的均值和方差分别为
u=∫∞-∞θf″（θ）dθ （9）
σ2=∫∞-∞（θ-u）2f″（θ）dθ （10）
如果随机变量θ的先验分布f′（θ）为正态分布N[u′，（σ′）2]，则似然函数L（θ）为正态分布N[u″，（σ″）2]，验后分布f″（θ）也为正态分布N[u″，（σ″）2]，其中均值u″和方差（σ″）2分别为
u″=u*（σ′）2+u′（σ*）2（σ′）2+（σ*）2 （11）
（σ″）2=（σ′σ*）2（σ′）2+（σ*）2 （12）
式中：u*、u′分别为似然函数、先验函数和后验函数的均值；（σ*）2、（σ′）2、（σ″）2分别为似然函数、先验函数和后验函数的方差。
3顶板岩体参数Bayes方法优化
顶板岩体参数Bayes方法优化以潘三矿12318综采工作面为例。12318综采工作面位于矿区西部一采区，是该矿8煤首采面。工作面标高-675～455 m， 走向长1 971 m， 倾斜长205 m，煤层平均厚度3. 3 m。设防的含水层主要是新生界下部含水层，下含水压高达5 MPa，且富水较强，对工作面的安全生产威胁较大。工作面留设85 m防水煤岩柱，煤柱岩性主要为细砂岩。利用工作面内探放水孔的顶板砂岩强度参数测试（见表3）为补充数据，用Bayes方法对正态分布参数（u，σ2）进行优化。
表312318工作面砂岩强度参数测试数据
内聚力/MPa摩擦角/（°）抗拉强度/MPa 4283715301 43628 4235276 39378321 36376298 41381308 419382318 423373302
由于表3数据与表1数据来自同一个正态整体，即似然函数L（θ）为正态分布，其均值、方差分别如表4所示。
表4似然函数的均值和方差
强度指标均值u*方差（σ*）2内聚力/MPa4062 50044 5抗拉强度/MPa30050022 65摩擦角/（°）37131 21071 8
表2为先验分布的正态分布，将表2与4中的数据代入公式（5）和（6）可得正态分布的验后概率密度函数，其均值、方差分别见表5。
表5验后的均值和方差
强度指标均值u″方差（σ″）2内聚力/MPa41490037抗拉强度/MPa30050022 58摩擦角/（°）3713107
经Bayes方法优化后， 方差值比先验分布和似然函数的方差值小，从而达到优化岩土强度参数的目的。所以12318工作面的砂岩强度参数可以按表4的正态分布为母体，对顶板采动稳定进行可靠性分析。
4结论
针对工作面顶板岩体参数测试数据较少，难以对其参数进行单独的统计分析。本文引入Bayes 法对参数进行优化处理。根据收集到的淮南矿区部分煤矿8煤顶板砂岩强度参数，以K-S检验法对此数据进行概率分布拟合，获取参数分布类型及统计量。以此大样本概型为先验函数，具体工作面顶板岩体小样本参数的概型为似然函数，基于Bayes方法对其优化，得到验后分布的概型参数。获的主要结论如下：
1） 淮南潘谢矿区8煤顶板砂岩强度参数全部接受正态分布和对数正态分布，
2） 经Bayes优化后的方差有所下降，可以提高顶板采动稳定可靠性分析精度。顶板岩体力学参数的准确确定对采动顶板抗水压能力评估研究提供了重要依据。
参考文献：
[1]严春风，宋建波，朱可善.岩体结构面倾向参数概率分布函数改进的Bayes 的推断方法[J].工程地质学报，1999，7 （4）： 349-354.
[2]王俊杰，陈爱玖，姬凤玲，等.岩土参数的概率分布拟合及Bayes方法优化[J].华北水利水电学院学报，2004，25（2）：51-54.
[3]李夕兵，宫凤强.岩土力学参数概率分布的推断方法研究综述[J].长沙理工大学学报：自然科学版，2007，4（1）： 1-8.
[4]李红英，谭跃虎，赵辉.某滑坡体岩土参数概率分布统计分析方法研究[J].地下空间与工程学报，2012，8（3）：659-665.
[5]毕忠伟.岩体力学参数推断的Bayes方法及截尾可靠度的研究与应用[D].中南大学，2008.
[6]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，1989：22-23.
[7]高大钊.土力学可靠原理[M].北京：中国建筑工业出版社，1989：32-35.
（责任编辑：李丽，范君）