在数学学习中，待定系数法是常见的数学方法，也是重要的数学方法.一般来说，用待定系数法解数学问题时，它的结论是未知的，但结论的结构是可以判断出的某种确定的形式.在这种确定的形式中，只要求出其中一些关键的系数，问题的结论就求出来了.这些关键的系数叫作待定系数，这种解题方法叫作待定系数法.待定系数法解数学题的步骤：①确定所求问题含待定系数的解析式；②根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；③解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.
　　例1求（x2 x 3）5展开式中含x项的系数.
　　解：设（x2 x 3）5=a10x10 a9x9 … a1x a0（a1等是待定的系数），对式子两边求导数得5（2x 1）（x2 x 3）4=10a10x9 9a9x8 … a1，令x=0，則a1=5×34=405.
　　例2已知数列{an}的前2项分别为23、79，以后的各项由公式an 2=23an 1 13an给出，求数列{an}的通项公式.
　　解：由an 2=23an 1 13an可设an 2 λan 1=μ（an 1 λan）（λ、μ是待定系数），从而有an 2=（μ-λ）an 1 λμan与an 2=23an 1 13an相比较得μ-λ=23λμ=13，解得λ=13μ=1或λ=-1μ=-13，从而an 2 13an 1=an 1 13an，且an 2-an 1=-13（an 1-an）.又a1=23，a2=79，于是an 1 13an=1且an 1-an=19·-13n-1.两式消去an 1得数列（an）的通项公式an=34 14×-13n.
　　例3已知圆过点A（1，4），且与过点B（6，8）的直线相切于点C（3，5），求圆的方程.
　　解：由两点式得过B，C的直线方程是x-y 2=0.设所求圆的方程为（x-3）2 （y-5）2 λ（x-y 2）=0（λ是待定系数），将点（1，4）代入此方程，解得λ=5.再代入（x-3）2 （y-5）2 λ（x-y 2）=0，求得圆方程为x2 y2-x-15y 44=0.
　　例4已知x，y，z都是正数，求xy 2yzx2 y2 z2的最大值.
　　解：由已知有：xy≤λx2 14λy2，2yz≤μy2 1μz2，λ，μ是正数（λ、μ是待定的系数）xy 2yz≤λx2 14λy2 μy2 1μz2=λx2 14λ μy2 1μz2.令λ=14λ μ=1μ，解得μ=255，λ=52.于是xy 2yz≤52x2 y2 z2.当λx2=14λy2，μy2=1μz2，即y=2λx=5x，z=μy=2λμx=2x时取等号，故xy zyzx2 y2 z2的最大值52.
　　例5已知函数y=mx2 43x nx2 1的最大值为7，最小值为-1，求此函数的表达式.
　　解：求函数的表达式，实际上就是确定系数m，n的值.将函数式变形为（y-m）x2-43x （y-n）=0.因为x∈R，所以Δ=（-43）2-4（y-m）（y-n）≥0，即y2-（m n）y （mn-12）≤0.①要使函数有最大值7，最小值-1，亦就是-1≤y≤7.显然，（y 1）（y-7）≤7，即y2-6y-7≤0.②比较①②系数得方程组：m n=6，mn-12=-7.解得m=5，n=1.或m=1，n=5.故所求函数表达式为y=5x2 43x 1x2 1或y=x2 43x 5x2 1.
　　总之，待定系数法是一种重要的学习方法，也是数学研究中一种不可缺少的数学方法.本文介绍了待定系数法在初等数学中数列、解析几何、导数中的应用，在以后的学习中还会遇到待定系数法在不定积分中、常微分方程中和初等数学中的应用.通过以上实例说明了待定系数法在数学学习中的重要性.