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摘 要 根据应用型本科高校的人才培养目标，分析了数学建模思想融入工科数学教学的必要性，探讨了数学建模思想融入工科数学教学的方法，并提出了一些建议。
关键词 数学建模 工科数学 教学
中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2017.01.048
1 数学建模思想融入工科数学教学的必要性
传统的工科数学最主要的课程是高等数学、线性代数和概率论与数理统计。这三门课程都存在着重理论轻应用的问题，过于追求体系的完整和逻辑的严谨性，忽略了数学从何处来、向何处去这个问题，将数学构建成一个封闭的王国。其结果是很多学生被数学中大量的概念和公式困扰，失去了学习的兴趣，更谈不上应用及创新能力的培养。这种模式显然已不能适应应用型本科高校对技术应用型人才培养目标的要求。
如何使学生既能掌握数学知识，又能应用数学知识解决实际问题是广大数学教育者关心的一个问题。中国科学院院士李大潜曾提出将数学建模思想融入数学类主干课程的建议。将数学建模思想融入到数学教学中，通过数学建模的方法对实际问题的处理，能让学生感受到数学不仅能传播知识，还能应用到实际问题中，改变传统数学教学中只注重定义、定理、证明和计算，不注重实际应用的局面，从而使学生对数学有了更全面的理解和认识，变被动学习为主动参与和积极思考，调动了学生学习的积极性，培养了学生运用数学思想和方法解决实际问题的能力，也为后续的专业课学习甚至是将来在社会的工作打下基础。
数学建模培训是实现应用型人才培养目标的一条有效途径。目前国内很多高校非常重视数学建模，不仅开设了数学模型、数学实验等课程，还鼓励学生积极参加全国大学生数学建模竞赛，且规模逐年扩大，其影响力正日益提高。数学建模能提高大学生的数学素养，锻炼大学生应用数学知识和方法解决实际问题的能力。但是限于竞赛规模和参赛学生的水平要求，受益的只是少部分学生。要想全面提高应用型本科高校大学生的素质，培养具有创新精神，适合社会发展需求的应用型人才，就不能将数学建模与大学数学课程孤立开来，而应该以大学数学课程作为载体，将数学建模思想融入到大学数学课程中去。通过多年的教学实践来看，笔者认为在数学课程教学过程中引入数学建模思想是非常有必要的，既是现代数学发展的要求，也是新世纪人才培养的要求。
2 数学建模思想融入工科数学教学的方法探讨
建模思想融入到工科数学教学中是一个缓慢的过程，要从多方面进行循序渐进的渗透。比如可在概念讲授中渗透、在定理的应用中渗透、在习题作业中渗透等多方面进行。由于工科数学教学内容多、时间较紧，在教学中教师应该注意，数学建模思想的融入要把握好时机，要集中精力针对课程的核心概念和重要内容，使数学建模内容与教材内容有机衔接，不能占用太多的时间，影响正常的教学计划。数学建模的融入仅仅是一种辅助的教学手段，教学过程中不能过于追求数学建模体系的完整，在教学过程中做到数学建模思想的渗透即可，使数学建模成为工科数学的有益补充，又不喧宾夺主，做到主次分明，相得益彰。下面从几个方面谈谈如何将数学建模思想融入工科数学教学。
2.1 在概念讲授中融入数学建模思想
事实上，大学数学课程中很多概念的引入都是从实际问题中抽象出来的数学模型，在讲授这些概念时可以还原到实际问题，由实际应用自然而然地引出概念。例如，在高等数学中，在讲导数定义的时候，可以引入求变速直线运动物体的瞬时速度的问题，教师引导学生进行思考：当时间变化很小时，变速直线运动可以近似当成匀速直线运动来看待。假设物体在时刻的位置为（），当经过很短的时间△后，物体的位置变为（+△），于是物体从到+△时间内的平均速度为V=。当△很小时，V可以近似看成物体在时刻的瞬时速度，且△越小V就越接近时刻的瞬时速度V。由极限定义可得时刻的瞬时速度V=。同样的方法，还可以用来求曲线在一点的切线斜率、非稳定电流的电流强度等等。通过比较分析，最后总结得到导数的定义，不仅顺理成章的介绍了概念，而且从多个角度加深了学生对导数本质的理解。
再比如，在概率论与数理统计中，在讲条件概率的定义之前，可先引入这样一个实际的例子：考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率一样，则两个孩子（依大小排列）的性别分别为（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）的可能性是一样的。若记A={随机抽取一个这样的家庭有一男一女}，则P（A） = ，但如果我们事先知道这个家庭至少有一个女孩，则上述事件的概率为2/3。同样的事件，在两种不同的情况下得出的概率却不一样，这很容易引起学生的兴趣。通过简单的分析，找出其中的关系，很自然地引入了条件概率的定义，同时学生对这个新概念有了更深刻的理解，也讓他们知道数学源于生活又高于生活。
以上只是举了两个常见的例子，用以说明如何将数学建模思想融入工科数学概念讲授。这样的例子不胜枚举，教师在备课时要精心准备，合理安排，选择符合日常生活的简单案例，又能紧扣所学内容，使学生真正感觉到数学来源于生活，又应用于生活。
2.2 在定理应用中融入数学建模思想
工科数学中的定理是教学重点和难点，定理一般都较抽象且难理解，学生既不清楚定理从何而来，也不清楚定理有什么用，具体怎么用。因此，教师可选择某些定理进行建模思想的融入，在课堂教学中应尽可能让学生了解定理的来龙去脉，把定理的应用结合到实际问题中。例如，在讲一元函数介值定理时，可引入“椅子能否在不平的地面上放稳”问题：把椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，放不稳。然而只须挪动几次，就可以四只脚同时着地，放稳了。通过模型假设、模型建立和模型求解几个步骤的分析发现，这其实是一个介值定理的应用问题。通过这个问题的分析证明，使学生看到如何利用抽象的介值定理来解决实际问题的方法，培养了学生的数学抽象思维能力。 2.3 结合专业题材融入数学建模思想
我校是一所以工科为主，水利为特色的应用型本科高校，毕业生广泛从事的是水利、港航、土木等相关职业，对这些毕业生来说，重要的技能是解决工程实际问题，对其数学教学必须以应用型为主，学数学主要是为了培养良好的分析及解决问题的思维方式并用来解决工作中出现的具体问题。因此，在大学数学教学中应结合相关专业知识，根据不同专业选择不同的典型问题进行教学，舍去部分教材中的纯数学例题，提高学生的专业能力。当然，这对教师提出了更高的要求，要求数学教师掌握相关的专业知识，了解相关专业数学应用情况，树立应终身学习的理念。例如，在定积分应用中，针对水利和港航类专业的学生，可选择《水力学》中计算闸门的静水压力作为例题；针对水文专业的学生，可选择《工程水文学》中计算河床平均深度等作为例题。在矩阵和线性方程组应用中，针对水利和土木专业类学生，可选择《工程力学》中求解超静定梁结构的内力作为例题。这些问题本身不难，只要教师在备课过程中多花点时间，有目的地去了解一点相关专业的专业课，从中挑选部分和课程相关的例题作为课堂例题讲解，比全部用数学教材中的纯数学例题更能激发学生的兴趣，且学生将来在学习专业课遇到类似的问题时，会有熟悉的感觉，能激起学生的求知欲望。
2.4 在课后练习中融入数学建模思想
课后练习也是培养学生熟练应用数学知识的重要环节，教材中课后练习一般涉及应用方面的习题较少，不利于学生创新能力和应用能力的培养。因此可结合教学内容，将一些实际问题进行改编作为练习，让学生自己分析问题。我校高等数学、概率论与数理统计和线性代数三门课程均有配套的自编课后习题册，习题册每章均安排了1～2个与实际问题有关的习题，作为学生选做题，供学有余力的学生进行练习，提高学生学习的兴趣及探究问题的能力。
3 数学建模思想融入工科数学教学的建议
要做好将数学建模思想融入到工科数学教学中，有几点建议：（1）任课教师要加强其它专业领域知识的学习，多与相关专业老师进行交流，选择最适合学生的例题。（2）任课教师应具备应用数学解决实际问题的能力，教师不仅要有广泛的知识面，还至少要掌握Matlab、Mathematica、Lingo、SPSS等相关数学软件的一种，并能够将其应用于教学中。（3）积极组织教师开展教研活动，探讨新的教学模式，改变单一的授课模式，多种教学方法并用。比如可采用启发式、讨论式等教学方法。（4）开设数学建模选修课，系统讲解数学建模知识，给感兴趣的学生以系统学习数学建模的机会，也是对大学数学的补充和深化。（5）组织学生参加全国大学生数学建模竞赛，选拔学生进行集中培训，让青年教师跟学生一起参加建模培训课的学习与讨论，既能指导学生，也锻炼了老师。
4 结束语
经过我校这几年的教学实践证明，将数学建模思想融入工科数学教学中是切实可行的。我校学生自2010年首次参加大学生数学建模竞赛以来，每年组织11支左右队伍参赛，7年内共获得美国大学生数学建模竞赛二等奖1项，全国大学生数学建模竞赛国家一等奖1项、二等奖2项，安徽省一等奖12项、二等奖19项、三等奖19项。作为一所民办独立学院，在安徽省同类院校中名列前茅。只有将数学建模思想融入到大学数学的教学中，才能充分调动学生学习数学的积极性，培養学生的创新能力和应用能力，从而实现应用型本科高校的人才培养目标。
2015年河海大学文天学院教学改革研究重点项目，项目编号zl201502
参考文献
[1] 李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].工程数学学报，2005.22（8）：3-7.
[2] 丁莲珍.高等数学[M].南京：河海大学出版社，2011.
[3] 柳庆新.概率论与数理统计[M].杭州：浙江大学出版社，2014.
[4] 赵静，但琦.数学建模与数学实验（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2008.
[5] 同济大学数学系.线性代数（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014.
关键词 数学建模 工科数学 教学
中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2017.01.048
1 数学建模思想融入工科数学教学的必要性
传统的工科数学最主要的课程是高等数学、线性代数和概率论与数理统计。这三门课程都存在着重理论轻应用的问题，过于追求体系的完整和逻辑的严谨性，忽略了数学从何处来、向何处去这个问题，将数学构建成一个封闭的王国。其结果是很多学生被数学中大量的概念和公式困扰，失去了学习的兴趣，更谈不上应用及创新能力的培养。这种模式显然已不能适应应用型本科高校对技术应用型人才培养目标的要求。
如何使学生既能掌握数学知识，又能应用数学知识解决实际问题是广大数学教育者关心的一个问题。中国科学院院士李大潜曾提出将数学建模思想融入数学类主干课程的建议。将数学建模思想融入到数学教学中，通过数学建模的方法对实际问题的处理，能让学生感受到数学不仅能传播知识，还能应用到实际问题中，改变传统数学教学中只注重定义、定理、证明和计算，不注重实际应用的局面，从而使学生对数学有了更全面的理解和认识，变被动学习为主动参与和积极思考，调动了学生学习的积极性，培养了学生运用数学思想和方法解决实际问题的能力，也为后续的专业课学习甚至是将来在社会的工作打下基础。
数学建模培训是实现应用型人才培养目标的一条有效途径。目前国内很多高校非常重视数学建模，不仅开设了数学模型、数学实验等课程，还鼓励学生积极参加全国大学生数学建模竞赛，且规模逐年扩大，其影响力正日益提高。数学建模能提高大学生的数学素养，锻炼大学生应用数学知识和方法解决实际问题的能力。但是限于竞赛规模和参赛学生的水平要求，受益的只是少部分学生。要想全面提高应用型本科高校大学生的素质，培养具有创新精神，适合社会发展需求的应用型人才，就不能将数学建模与大学数学课程孤立开来，而应该以大学数学课程作为载体，将数学建模思想融入到大学数学课程中去。通过多年的教学实践来看，笔者认为在数学课程教学过程中引入数学建模思想是非常有必要的，既是现代数学发展的要求，也是新世纪人才培养的要求。
2 数学建模思想融入工科数学教学的方法探讨
建模思想融入到工科数学教学中是一个缓慢的过程，要从多方面进行循序渐进的渗透。比如可在概念讲授中渗透、在定理的应用中渗透、在习题作业中渗透等多方面进行。由于工科数学教学内容多、时间较紧，在教学中教师应该注意，数学建模思想的融入要把握好时机，要集中精力针对课程的核心概念和重要内容，使数学建模内容与教材内容有机衔接，不能占用太多的时间，影响正常的教学计划。数学建模的融入仅仅是一种辅助的教学手段，教学过程中不能过于追求数学建模体系的完整，在教学过程中做到数学建模思想的渗透即可，使数学建模成为工科数学的有益补充，又不喧宾夺主，做到主次分明，相得益彰。下面从几个方面谈谈如何将数学建模思想融入工科数学教学。
2.1 在概念讲授中融入数学建模思想
事实上，大学数学课程中很多概念的引入都是从实际问题中抽象出来的数学模型，在讲授这些概念时可以还原到实际问题，由实际应用自然而然地引出概念。例如，在高等数学中，在讲导数定义的时候，可以引入求变速直线运动物体的瞬时速度的问题，教师引导学生进行思考：当时间变化很小时，变速直线运动可以近似当成匀速直线运动来看待。假设物体在时刻的位置为（），当经过很短的时间△后，物体的位置变为（+△），于是物体从到+△时间内的平均速度为V=。当△很小时，V可以近似看成物体在时刻的瞬时速度，且△越小V就越接近时刻的瞬时速度V。由极限定义可得时刻的瞬时速度V=。同样的方法，还可以用来求曲线在一点的切线斜率、非稳定电流的电流强度等等。通过比较分析，最后总结得到导数的定义，不仅顺理成章的介绍了概念，而且从多个角度加深了学生对导数本质的理解。
再比如，在概率论与数理统计中，在讲条件概率的定义之前，可先引入这样一个实际的例子：考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率一样，则两个孩子（依大小排列）的性别分别为（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）的可能性是一样的。若记A={随机抽取一个这样的家庭有一男一女}，则P（A） = ，但如果我们事先知道这个家庭至少有一个女孩，则上述事件的概率为2/3。同样的事件，在两种不同的情况下得出的概率却不一样，这很容易引起学生的兴趣。通过简单的分析，找出其中的关系，很自然地引入了条件概率的定义，同时学生对这个新概念有了更深刻的理解，也讓他们知道数学源于生活又高于生活。
以上只是举了两个常见的例子，用以说明如何将数学建模思想融入工科数学概念讲授。这样的例子不胜枚举，教师在备课时要精心准备，合理安排，选择符合日常生活的简单案例，又能紧扣所学内容，使学生真正感觉到数学来源于生活，又应用于生活。
2.2 在定理应用中融入数学建模思想
工科数学中的定理是教学重点和难点，定理一般都较抽象且难理解，学生既不清楚定理从何而来，也不清楚定理有什么用，具体怎么用。因此，教师可选择某些定理进行建模思想的融入，在课堂教学中应尽可能让学生了解定理的来龙去脉，把定理的应用结合到实际问题中。例如，在讲一元函数介值定理时，可引入“椅子能否在不平的地面上放稳”问题：把椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，放不稳。然而只须挪动几次，就可以四只脚同时着地，放稳了。通过模型假设、模型建立和模型求解几个步骤的分析发现，这其实是一个介值定理的应用问题。通过这个问题的分析证明，使学生看到如何利用抽象的介值定理来解决实际问题的方法，培养了学生的数学抽象思维能力。 2.3 结合专业题材融入数学建模思想
我校是一所以工科为主，水利为特色的应用型本科高校，毕业生广泛从事的是水利、港航、土木等相关职业，对这些毕业生来说，重要的技能是解决工程实际问题，对其数学教学必须以应用型为主，学数学主要是为了培养良好的分析及解决问题的思维方式并用来解决工作中出现的具体问题。因此，在大学数学教学中应结合相关专业知识，根据不同专业选择不同的典型问题进行教学，舍去部分教材中的纯数学例题，提高学生的专业能力。当然，这对教师提出了更高的要求，要求数学教师掌握相关的专业知识，了解相关专业数学应用情况，树立应终身学习的理念。例如，在定积分应用中，针对水利和港航类专业的学生，可选择《水力学》中计算闸门的静水压力作为例题；针对水文专业的学生，可选择《工程水文学》中计算河床平均深度等作为例题。在矩阵和线性方程组应用中，针对水利和土木专业类学生，可选择《工程力学》中求解超静定梁结构的内力作为例题。这些问题本身不难，只要教师在备课过程中多花点时间，有目的地去了解一点相关专业的专业课，从中挑选部分和课程相关的例题作为课堂例题讲解，比全部用数学教材中的纯数学例题更能激发学生的兴趣，且学生将来在学习专业课遇到类似的问题时，会有熟悉的感觉，能激起学生的求知欲望。
2.4 在课后练习中融入数学建模思想
课后练习也是培养学生熟练应用数学知识的重要环节，教材中课后练习一般涉及应用方面的习题较少，不利于学生创新能力和应用能力的培养。因此可结合教学内容，将一些实际问题进行改编作为练习，让学生自己分析问题。我校高等数学、概率论与数理统计和线性代数三门课程均有配套的自编课后习题册，习题册每章均安排了1～2个与实际问题有关的习题，作为学生选做题，供学有余力的学生进行练习，提高学生学习的兴趣及探究问题的能力。
3 数学建模思想融入工科数学教学的建议
要做好将数学建模思想融入到工科数学教学中，有几点建议：（1）任课教师要加强其它专业领域知识的学习，多与相关专业老师进行交流，选择最适合学生的例题。（2）任课教师应具备应用数学解决实际问题的能力，教师不仅要有广泛的知识面，还至少要掌握Matlab、Mathematica、Lingo、SPSS等相关数学软件的一种，并能够将其应用于教学中。（3）积极组织教师开展教研活动，探讨新的教学模式，改变单一的授课模式，多种教学方法并用。比如可采用启发式、讨论式等教学方法。（4）开设数学建模选修课，系统讲解数学建模知识，给感兴趣的学生以系统学习数学建模的机会，也是对大学数学的补充和深化。（5）组织学生参加全国大学生数学建模竞赛，选拔学生进行集中培训，让青年教师跟学生一起参加建模培训课的学习与讨论，既能指导学生，也锻炼了老师。
4 结束语
经过我校这几年的教学实践证明，将数学建模思想融入工科数学教学中是切实可行的。我校学生自2010年首次参加大学生数学建模竞赛以来，每年组织11支左右队伍参赛，7年内共获得美国大学生数学建模竞赛二等奖1项，全国大学生数学建模竞赛国家一等奖1项、二等奖2项，安徽省一等奖12项、二等奖19项、三等奖19项。作为一所民办独立学院，在安徽省同类院校中名列前茅。只有将数学建模思想融入到大学数学的教学中，才能充分调动学生学习数学的积极性，培養学生的创新能力和应用能力，从而实现应用型本科高校的人才培养目标。
2015年河海大学文天学院教学改革研究重点项目，项目编号zl201502
参考文献
[1] 李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].工程数学学报，2005.22（8）：3-7.
[2] 丁莲珍.高等数学[M].南京：河海大学出版社，2011.
[3] 柳庆新.概率论与数理统计[M].杭州：浙江大学出版社，2014.
[4] 赵静，但琦.数学建模与数学实验（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2008.
[5] 同济大学数学系.线性代数（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014.