在高考数学试题中,简单题、中档题、难题的比例大约为3∶5∶2,对于大多数学生来说,应在前面的80%做文章,尤其是中档题做得好坏,直接影响着高考数学时的成败.从中档题的分布来看,一般覆盖了整个选择题和填空题,在简答题中,中档题一般位于前几题;从知识点来看基本考查了高中数学的各个章节的内容.所以在高考复习中,我们应加强处理中档题的方法和思路.本文仅从简答题方面加以论述.
　　
　　一、条件的分析、转化和挖掘
　　
　　中档题的条件比较复杂,内涵丰富,这就要求我们首先需要理清条件,寻找解题线索,例如化繁为简,使条件更为明朗,或者挖掘题目中隐含的条件等.
　　【例1】 (2009,浙江(理),20)如图1-1,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E、F、O分别为PA、PB、AC的中点,AC=16,PA=PC=10.
　　图1-1
　　(Ⅰ)设G是OC的中点,证明:FG∥平面BOE:
　　(Ⅱ)证明:在△ABO内存在一点M,使FM⊥平面BOE,并求点M到OA、OB的距离.
　　分析:由面面垂直及等腰三角形等条件,可建立空间直角坐标系,用向量法求解.
　　证明:(1)如图1-2,连结OP,以O为坐标原点,分别以OB、OC、OP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,
　　则O(0,0,0),A(0,-8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,-4,3),F(4,0,3),由题意得,G(0,4,0),因OB=(8,0,0),OE=(0,-4,3),因此平面BOE的法向量为n=(0,3,4),FG=(-4,4,-3),得n•FG=0,又直线FG不在平面BOE内,因此有FG∥平面BOE.
　　图1-2
　　(Ⅱ)设点M的坐标为(x0,y0,0),则FM=(x0-4,y0,-3),因为FM⊥平面BOE,所以有FM∥n,因此有x0=4,y0=-94,即点M的坐标为(4,-94,0),在平面直角坐标系xOy中,△AOB的内部区域满足不等式组x>0,y<0,x-y<8,经检验,点M的坐标满足上述不等式组,所以在△ABO内存在一点M,使FM⊥平面BOE,由点M的坐标得点M到OA、OB的距离分别为4和94.
　　【例2】 (2009,全国(理),19)甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2局中,甲、乙各胜1局.
　　(Ⅰ)求甲获得这次比赛胜利的概率;
　　(Ⅱ)设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求ξ的分布列及数学期望.
　　解:(1)通过挖掘题目中的隐含条件,则有P=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648.
　　(2)ξ的可能取值为2,3.
　　p(ξ=2)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52,
　　p(ξ=3)=1-0.52=0.48.
　　ξ的分布列为:
　　ξ
　　2
　　3
　　P
　　0.52
　　0.48
　　Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48.
　　
　　二、从结论的需要寻找解题思路
　　
　　所谓“执果索因”,即对问题的结论做一番分析,看看欲得出结论需要做一些什么工作,然后再联系条件寻找解决问题的突破口.
　　【例3】 (2009,安徽(理),16)在△ABC中,C-A=π2,sinB=13.
　　(Ⅰ)求sinA的值;
　　(Ⅱ)设AC=6,求△ABC的面积.
　　分析:从题目所求的问题出发,要得到sinA的值,可由条件得到C-A=π2,C+A=π-B,从而得到A=π4-B2,问题得以解决.
　　解:(Ⅰ)由C-A=π2,且C+A=π-B,
　　∴A=π4-B2,
　　∴sinA=sin(π4-B2)=22(cosB2-sinB2),
　　∴sin2A=12(1-sinB)=13,又sinA>0,∴sinA=33.
　　(Ⅱ)由正弦定理得ACsinB=BCsinA,
　　∴BC=ACsinAsinB=6•3313=32,又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=33×223+63×13=63,
　　∴S△ABC=12AC•BC•sinC=12×6×32×63=32.
　　
　　三、问题背景的揭示和应用
　　
　　每一个问题都有其起源和背景,数学综合题更是如此.因此,顺藤摸瓜,思索一下与该题有关的概念、定义或图形,追根溯源,寻找问题的基石,那么得到的不仅是解决问题的最佳途径,还能弄清问题的来龙去脉.
　　【例4】 (2008,湖北(理),19)如图2,在以点O为圆心,|AB|=4为直径的半圆ADB中,OD⊥AB,P是半圆弧上一点,∠POB=30°,曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹,且曲线C过点P.
　　图2
　　(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
　　(Ⅱ)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.若△OEF的面积不小于22,求直线l斜率的取值范围.
　　解:(Ⅰ)以O为原点,AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0),D(0,2),P(3,1),依题意得
　　||MA|-|MB||=|PA|-|PB|
　　=(2+3)2+12-(2-3)2+12
　　=22<|AB|=4.
　　∴曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线.
　　设实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,则c=2,2a=22,∴a2=2,b2=c2-a2=2.
　　∴曲线C的方程为x22-y22=1.
　　(Ⅱ)依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理得
　　(1-k2)x2-4kx-6=0.①
　　∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,
　　∴1-k2≠0,Δ=(-4k)2+4×6(1-k2)>0,
　　即k≠±1,-3　　∴k∈(-3,-1)∪(-1,1)∪(1,3).②
　　设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得x1+x2=4k1-k2,x1x2=-61-k2,于是
　　|EF|=(x1-x2)2+(y1-y2)2
　　=(1+k2)(x1-x2)2
　　=1+k2(x1+x2)2-4x1x2
　　=1+k2•223-k2|1-k2|.
　　而原点O到直线l的距离d=21+k2,
　　∴S△OEF=12d•|EF|=12•21+k2•1+k2•223-k2|1-k2|=223-k2|1-k2|.
　　若△OEF面积不小于22,即S△OEF≥22,则有
　　223-k2|1-k2|≥22k4-k2-2≤0,解得-2≤k≤2.③
　　综合②、③知,直线l的斜率的取值范围为[-2,-1)∪(-1,1)∪(1,2].
　　说明:通过以上解答我们发现,点M的轨迹是双曲线,本题(Ⅱ)的背景是直线与圆锥曲线的一个简单应用.从中可以看出,我们在解题过程中,只要认真分析题目,挖掘题目的背景知识和本质内容,就能把这类中档题给解答出来.
　　四、相关问题的承上启下
　　相关题,即具有相同大前提的一组问题,许多中档题都属于这一类型.在大前提下的一组问题往往相互联系、相互制约、层层递进、逐步深入.因此,在解这类题时,要注意承上启下,即充分利用已经得到的结论.
　　【例5】 (2009,北京(理),18)设函数f(x)=xekx(k≠0).
　　(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
　　(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
　　(Ⅲ)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求k的取值范围.
　　解:(Ⅰ)f′(x)=(1+kx)ekx,f′(0)=1,f(0)=0,
　　曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x.
　　(Ⅱ)由f′(x)=(1+kx)ekx=0,得x=-1k(k≠0).
　　若k>0,则当x∈(-∞,-1k)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
　　当x∈(-1k,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
　　若k<0,则当x∈(-∞,-1k)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,
　　当x∈(-1k,+∞)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.
　　(Ⅲ)由(Ⅱ)知,若k>0,则当且仅当-1k≤-1,即k≤1时,函数f(x)在(-1,1)内单调递增,
　　若k<0,则当且仅当-1k≥1,即k≥-1时,函数f(x)在(-1,1)内单调递增,
　　综上可知,函数f(x)在(-1,1)内单调递增时,k的取值范围是[-1,0)∪(0,1].
　　说明:第Ⅲ小题求参数k的取值范围有一定的难度,但我们充分利用了第Ⅱ小题的结论,承上启下,大大降低了难度,从而较快地解答了本题.
　　(责任编辑:金 铃)