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摘要：如何在课堂教学中开展探究性学习，是目前数学教学改革中的一个十分重要的课题。文章以《正弦定理》的教学为例，探索了在课堂教学中开展探究性学习活动的一种方法：“情境·问题·探究”教学法，即通过设置数学情境——提出问题——探究问题，最后解决问题，使学生经历数学探究活动的过程，从而培养他们的数学探究能力。
关键词：情境；提出问题；探究；数学探究性学习
传统的高中教学从总体上看比较单一，基本是以教师讲授为主。受此影响，高中学生数学学习方式以被动接受为主，大部分学生学习数学主要通过“听讲、记笔记、做题、做大量的课外习题”的步骤得以进行。在这种情况下，学生只是机械地解答别人提供的题目，而鲜有主动提出问题的时间与机会。这样，学生只是在做“学答”，而非做“学问。”因此，在《普通高中数学课程标准（实验）》中，明确提出了“要通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程，倡导积极主动，勇于探索的学习方式。”
所谓探究，就是探索和研究。数学探究性学习，是指学生在教师的引导下，根据教师提供的数学情境，伴随数学知识的发生、形成、发展的过程，进行探索活动，达到以掌握数学知识，发展数学探索能力，培养数学探索能力的目的。在这一过程中，学生要自己发现问题，通过亲身实践、动手操作，合作交流，创造性地解决问题，在此基础上再进一步地提出新的问题。因此，发现和提出问题，是数学探究活动的起点和核心。数学学习中的探究活动，将学生置于“探索研究”的环境中，使得“学数学”有了“做数学”的特征。现以《正弦定理》一课为例。
正弦定理是解斜三角形的一个十分重要的定理。在笔者以往的教学中，都是遵循教师讲、学生听，然后再分题型进行训练巩固的方法进行的。这样教学总觉得干巴巴的，毫无新意。在最近一次的教学中，笔者遵循探究学习的理念，将书本上的一道例题改编成一个数学情境，设计并实施了如下的教学过程。
第一版块：设置情境。（用投影仪投影到大屏幕上）如图1，一条河的两岸平行，河宽d=1km。因上游暴发特大洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A处囤积的重要物资及留守人员用船转运到正对岸的码头B处或其下游1km的C处。已知船在静水中的速度为v1=5km/h，水流速度v2=3km/h。
第二版块：提出问题。
师：为了确定转运方案，请同学们设身处地考虑一下有关的问题，将各自的问题经小组（前后4人自然分为一小组）汇总整理后交给我。
待各小组将题纸交给我后，我筛选了几张有代表性的题纸通过实物投影仪向全班展示，经大家归纳整理后得到如下的5个问题：
（1）船应开往B处还是C处？
（2）船从A开到B、C分别需要多少时间？
（3）船从A到B、C的距离分别是多少？
（4）船从A到B、C时的速度大小分别是多少？
（5）船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B、C？
师：大家讨论一下，应该怎样解决上述问题？
经过讨论，达成如下共识：要回答问题（1），需要解决问题（2），要解决问题（2），需要先解决问题（3）和（4），问题（3）用直角三角形知识可解，所以重点是解决问题（4），问题（4）与问题（5）是两个相关问题，因此，解决上述问题的关键是解决问题（4）和（5）。
师：请同学们先在草稿纸上画出与问题对应的示意图，明确已知什么，要求什么，怎样求解。
学生开始画图，思考，教师巡视，指导、点拨。等大部分学生都已停笔后，教师根据巡视得来的情况，选择学生汇报解题的经过以及遇到的困难。
S1：船从A开往B的情况（如图 2），根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水中的速度大小v及v1与v2的夹角θ：
S2：船从A开往C的情况（如图 3），|AD|＝v1＝5，|DE|＝|AF|＝v2＝3，易求得∠AED＝∠EAF＝45°，还需求θ及v。我不知道怎样解这两个问题，因为以前从未遇到过类似的问题。
师：请大家想一下，这两个问题的数学实质是什么?
部分学生：在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。
师：请大家讨论一下，如何解决这两个问题?
S3：在已知条件下，若能知道三角形中两条边与其对角这四个元素之间的数量关系，则可以解决上述问题，求出另一边的对角。
S4：如果另一边的对角已经求出，那么第三个角也能够求出。只要能知道三角形中两条边与其对角这四个元素的数量关系，则第三边也可求出。
S5：在已知条件下，如果能知道三角形中三条边和一个角这四个元素之间的数量关系，也能求出第三边和另一边的对角。
师：同学们的设想很好，只要能知道三角形中两条边与它们的对角间的数量关系，或者三条边与一个角间的数量关系，则这两个问题都能够顺利解决。下面我们先来解答问题：三角形中，任意两条边与其对角之间有怎样的数量关系?
第三版块：解决问题。
师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的?
有学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中试探一下。
师：如图4，请各小组研究在Rt△ABC中，任意两边及其对角这四个元素间有什么关系？
师：这个结论在非直角三角形中是否成立？
学生们七嘴八舌地回答：“不一定成立。”“有可能成立。”我继续问：图4
那到底成立不成立呢？怎样检验呢？有学生说可以先用具体例子检验。若有一个不成立，则结论不成立；若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。
师：这是个好办法。请每个小组任意作出一个非Rt△ABC，用量角器和刻度尺量出各边的长和各角的大小，用计算器具体检验一下，然后报告检验结果。
因为使用计算器是学生必须学习的，因此，几分钟后，多数小组报告结论成立，只有两个小组报告结论不成立。我在引导学生找出失误的原因（因测量有误）后指出：现在该如何证明此关系式在任意△ABC中都成立呢？
S6：想法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决。
S7：因为要证明的是一个等式，所以应先找到一个可以作为证明基础的等量关系。
师：在三角形中有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？
学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值：①三角形的面积不变；②三角形同一边上的高不变；③三角形外接圆直径不变（在我的引导下）。接着，学生分别利用这 3种关系作为基础得出了如下3种证法：
证法1：如图5，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有：
AD=b·sin∠BCA，
BE=c·sin∠CAB，
CF=a·sin∠ABC。
∴S△ABC=a·b·sin∠C
=b·c·sin∠A
=c·a·sin∠B。
证法2：如图5，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有
AD=b·sin∠C=c·sin∠B，
BE=a·sin∠C=c·sin∠A．
第四版块：应用定理。
师：刚才我们通过自己的探索而发现的这个结论，就是“正弦定理”。这说明，只要我们能够认真钻研，我们也可以发现一些重要的知识的。正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系，下面请大家考虑一下，这个定理有什么作用呢？能解决什么问题？
学生们经过思考后，提出可以解决以下的问题：已知三角形的两边与一边的对角，可求另一边的对角；已知三角形的两角与一角的对边，可求另一角的对边。
我接着归纳，与判断三角形全等相似，前一类型的问题可以称为“S’S’A”，后一类问题可以称为“AAS’”。接着，教师让学生用正弦定理解决本节课开始时提出的问题。
在整个过程中，我采用了“情境—问题—探索”的模式，立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流、动手实践，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐。
本课中，在我的启导下，学生首先提出的问题是：船应开往B处还是C处？答案取决于船从A到达B、C的时间；船从 A到达B、C的时间，又取决于船从A到达B、C的距离和船的速度的大小；而船能否到达B、C，又取决于船的航向。这些都是具有实际意义的问题，去掉问题的实际意义得出过渡性数学问题，抓住过渡性问题的数学实质，将其上升为一般性数学问题，即目标问题。本课结束后，有学生还提出了这样一些问题：如果船可以在对岸任意一处停靠，那么最短用时是多少？三角形中三条边与一个角之间有什么关系？等等。这些问题超出了本节课研究的范围，但笔者仍然对提出此问题的学生给予表扬和肯定，并要求同学们课后认真研究这些问题。
本课的另一个特点是充分利用了计算器。通过使用计算器，使“正弦定理在非直角三角形中是否成立”的探究性试验成为可能。这说明计算器在探索、检验规律方面能发挥重要作用。另外，在启发学生证明正弦定理时，教师没有限制学生的思路，使学生通过自己的努力发现了多种证法，这对启迪学生的思维，起到了积极的作用。
计算器和计算机等新技术在教学中的应用，使我们在进行探索有关规律，寻找问题本质的过程中，给予相当大的支持，也使得以往无法进行的一些探索活动变为可能。例如，在幂、指、对函数的教学中，我们可以借助《几何画板》的强大功能，通过学生自主探索函数图象变化的规律，从而提出问题，最终由学生归纳出有关的性质和结论，达成对内容的理解。
关键词：情境；提出问题；探究；数学探究性学习
传统的高中教学从总体上看比较单一，基本是以教师讲授为主。受此影响，高中学生数学学习方式以被动接受为主，大部分学生学习数学主要通过“听讲、记笔记、做题、做大量的课外习题”的步骤得以进行。在这种情况下，学生只是机械地解答别人提供的题目，而鲜有主动提出问题的时间与机会。这样，学生只是在做“学答”，而非做“学问。”因此，在《普通高中数学课程标准（实验）》中，明确提出了“要通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程，倡导积极主动，勇于探索的学习方式。”
所谓探究，就是探索和研究。数学探究性学习，是指学生在教师的引导下，根据教师提供的数学情境，伴随数学知识的发生、形成、发展的过程，进行探索活动，达到以掌握数学知识，发展数学探索能力，培养数学探索能力的目的。在这一过程中，学生要自己发现问题，通过亲身实践、动手操作，合作交流，创造性地解决问题，在此基础上再进一步地提出新的问题。因此，发现和提出问题，是数学探究活动的起点和核心。数学学习中的探究活动，将学生置于“探索研究”的环境中，使得“学数学”有了“做数学”的特征。现以《正弦定理》一课为例。
正弦定理是解斜三角形的一个十分重要的定理。在笔者以往的教学中，都是遵循教师讲、学生听，然后再分题型进行训练巩固的方法进行的。这样教学总觉得干巴巴的，毫无新意。在最近一次的教学中，笔者遵循探究学习的理念，将书本上的一道例题改编成一个数学情境，设计并实施了如下的教学过程。
第一版块：设置情境。（用投影仪投影到大屏幕上）如图1，一条河的两岸平行，河宽d=1km。因上游暴发特大洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A处囤积的重要物资及留守人员用船转运到正对岸的码头B处或其下游1km的C处。已知船在静水中的速度为v1=5km/h，水流速度v2=3km/h。
第二版块：提出问题。
师：为了确定转运方案，请同学们设身处地考虑一下有关的问题，将各自的问题经小组（前后4人自然分为一小组）汇总整理后交给我。
待各小组将题纸交给我后，我筛选了几张有代表性的题纸通过实物投影仪向全班展示，经大家归纳整理后得到如下的5个问题：
（1）船应开往B处还是C处？
（2）船从A开到B、C分别需要多少时间？
（3）船从A到B、C的距离分别是多少？
（4）船从A到B、C时的速度大小分别是多少？
（5）船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B、C？
师：大家讨论一下，应该怎样解决上述问题？
经过讨论，达成如下共识：要回答问题（1），需要解决问题（2），要解决问题（2），需要先解决问题（3）和（4），问题（3）用直角三角形知识可解，所以重点是解决问题（4），问题（4）与问题（5）是两个相关问题，因此，解决上述问题的关键是解决问题（4）和（5）。
师：请同学们先在草稿纸上画出与问题对应的示意图，明确已知什么，要求什么，怎样求解。
学生开始画图，思考，教师巡视，指导、点拨。等大部分学生都已停笔后，教师根据巡视得来的情况，选择学生汇报解题的经过以及遇到的困难。
S1：船从A开往B的情况（如图 2），根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水中的速度大小v及v1与v2的夹角θ：
S2：船从A开往C的情况（如图 3），|AD|＝v1＝5，|DE|＝|AF|＝v2＝3，易求得∠AED＝∠EAF＝45°，还需求θ及v。我不知道怎样解这两个问题，因为以前从未遇到过类似的问题。
师：请大家想一下，这两个问题的数学实质是什么?
部分学生：在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。
师：请大家讨论一下，如何解决这两个问题?
S3：在已知条件下，若能知道三角形中两条边与其对角这四个元素之间的数量关系，则可以解决上述问题，求出另一边的对角。
S4：如果另一边的对角已经求出，那么第三个角也能够求出。只要能知道三角形中两条边与其对角这四个元素的数量关系，则第三边也可求出。
S5：在已知条件下，如果能知道三角形中三条边和一个角这四个元素之间的数量关系，也能求出第三边和另一边的对角。
师：同学们的设想很好，只要能知道三角形中两条边与它们的对角间的数量关系，或者三条边与一个角间的数量关系，则这两个问题都能够顺利解决。下面我们先来解答问题：三角形中，任意两条边与其对角之间有怎样的数量关系?
第三版块：解决问题。
师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的?
有学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中试探一下。
师：如图4，请各小组研究在Rt△ABC中，任意两边及其对角这四个元素间有什么关系？
师：这个结论在非直角三角形中是否成立？
学生们七嘴八舌地回答：“不一定成立。”“有可能成立。”我继续问：图4
那到底成立不成立呢？怎样检验呢？有学生说可以先用具体例子检验。若有一个不成立，则结论不成立；若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。
师：这是个好办法。请每个小组任意作出一个非Rt△ABC，用量角器和刻度尺量出各边的长和各角的大小，用计算器具体检验一下，然后报告检验结果。
因为使用计算器是学生必须学习的，因此，几分钟后，多数小组报告结论成立，只有两个小组报告结论不成立。我在引导学生找出失误的原因（因测量有误）后指出：现在该如何证明此关系式在任意△ABC中都成立呢？
S6：想法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决。
S7：因为要证明的是一个等式，所以应先找到一个可以作为证明基础的等量关系。
师：在三角形中有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？
学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值：①三角形的面积不变；②三角形同一边上的高不变；③三角形外接圆直径不变（在我的引导下）。接着，学生分别利用这 3种关系作为基础得出了如下3种证法：
证法1：如图5，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有：
AD=b·sin∠BCA，
BE=c·sin∠CAB，
CF=a·sin∠ABC。
∴S△ABC=a·b·sin∠C
=b·c·sin∠A
=c·a·sin∠B。
证法2：如图5，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有
AD=b·sin∠C=c·sin∠B，
BE=a·sin∠C=c·sin∠A．
第四版块：应用定理。
师：刚才我们通过自己的探索而发现的这个结论，就是“正弦定理”。这说明，只要我们能够认真钻研，我们也可以发现一些重要的知识的。正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系，下面请大家考虑一下，这个定理有什么作用呢？能解决什么问题？
学生们经过思考后，提出可以解决以下的问题：已知三角形的两边与一边的对角，可求另一边的对角；已知三角形的两角与一角的对边，可求另一角的对边。
我接着归纳，与判断三角形全等相似，前一类型的问题可以称为“S’S’A”，后一类问题可以称为“AAS’”。接着，教师让学生用正弦定理解决本节课开始时提出的问题。
在整个过程中，我采用了“情境—问题—探索”的模式，立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流、动手实践，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐。
本课中，在我的启导下，学生首先提出的问题是：船应开往B处还是C处？答案取决于船从A到达B、C的时间；船从 A到达B、C的时间，又取决于船从A到达B、C的距离和船的速度的大小；而船能否到达B、C，又取决于船的航向。这些都是具有实际意义的问题，去掉问题的实际意义得出过渡性数学问题，抓住过渡性问题的数学实质，将其上升为一般性数学问题，即目标问题。本课结束后，有学生还提出了这样一些问题：如果船可以在对岸任意一处停靠，那么最短用时是多少？三角形中三条边与一个角之间有什么关系？等等。这些问题超出了本节课研究的范围，但笔者仍然对提出此问题的学生给予表扬和肯定，并要求同学们课后认真研究这些问题。
本课的另一个特点是充分利用了计算器。通过使用计算器，使“正弦定理在非直角三角形中是否成立”的探究性试验成为可能。这说明计算器在探索、检验规律方面能发挥重要作用。另外，在启发学生证明正弦定理时，教师没有限制学生的思路，使学生通过自己的努力发现了多种证法，这对启迪学生的思维，起到了积极的作用。
计算器和计算机等新技术在教学中的应用，使我们在进行探索有关规律，寻找问题本质的过程中，给予相当大的支持，也使得以往无法进行的一些探索活动变为可能。例如，在幂、指、对函数的教学中，我们可以借助《几何画板》的强大功能，通过学生自主探索函数图象变化的规律，从而提出问题，最终由学生归纳出有关的性质和结论，达成对内容的理解。