摘 要： 本文通过几个具体实例探讨了压缩映射原理在线性方程组解的唯一性、数列极限的存在性、方程的近似解、积分方程的解这四个方面的应用，阐明了压缩映射在数学各分支中应用的灵活性和广泛性.
　　关键词： 压缩映射 线性方程组 数列 方程
　　泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，泛函分析在数学的其他分支中应用也很广泛.度量空间是泛函分析中一个最简单和常用的概念.压缩映射原理作为泛函分析中完备度量空间概念的应用，它在许多关于存在唯一性定理的证明（如：代数方程、分析、积分方程、微分方程）中起着重要作用.下面我们通过具体实例，深入探讨压缩映射原理在线性方程组解的唯一性、数列极限的存在性、方程的近似解、积分方程的解这四个方面的具体应用.
　　定义[1]：设（X，d）是度量空间，T是X到X中的映射，若存在数a，0　　几何意义：x和y经过压缩映射T映射后，像的距离缩短，不超过原像距离的a倍.
　　定理（压缩映射原理）[1]：设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，则T有且只有一个不动点，即方程Tx=x，有且只有一个解.
　　1.线性方程组解的唯一性
　　例1[2]：设a ，i，j=1，2，…，n，为一组实数，适合条件0< （a -δ ） <1，其中δ 当i=j时为1，否则为0，求证：线性方程组
　　a x a x … a x =b a x a x … a x =b …？摇？摇…？摇？摇…？摇？摇…a x a x … a x =b
　　对任何一组固定的实数b ，b ，…，b ，必有唯一的一组解x ，x ，…，x .
　　证：记A=a ？摇 a ？摇 … ？摇a a ？摇 a ？摇 … ？摇a …？摇？摇…？摇？摇…？摇？摇…a ？摇 a ？摇 … ？摇a ，
　　？坌X，Y∈R ，记X=（x ，x ，…，x ） ，||X|| = ，
　　d（X，Y）=||X-Y|| ，令F（X）=（E-A）X b，其中E是n×n阶的单位矩阵，b=（b ，b ，…b ） ，则易知F为R →R 的映射.？坌X，Y∈R ，有
　　D（F（X），F（Y））=d（（E-A）X b，（E-A）Y b）
　　=||（E-A）（X-Y）|| ≤||E-A|| ·||X-Y|| =αd（X，Y）.
　　其中α=||E-A||= （a -δ ） 是矩阵范数[3]，且0<α<1，故F为压缩映射.
　　由压缩映射原理，F有唯一不动点X.因为
　　X=F（X）？圳X=（E-A）X b？圳AX=b.
　　故对任何一组固定的实数b ，b ，…，b ，必有唯一的一组解x ，x ，…，x .
　　2.数列极限的存在性
　　例2：已知a =0，a = ，a = ，…，a = ，…，求数列{a }的极限.
　　解：令f（x）= ，x∈[0， ∞），则f：[0， ∞）→[0， ∞）.由于 f′（x）= ，故对任意x，y∈[0， ∞），存在ξ介于x与y之间，使得
　　|f（x）-f（y）|=|f′（ξ）||x-y|≤ |x-y|.
　　记α= ∈（0，1），则f是压缩映射.由压缩映射原理，方程x=f（x）有唯一解，记为x .
　　由已知a =0，a =f（a ），n=1，2，…，则
　　|a -a |=|f（a ）-f（a ）|≤α|a -a |≤…≤a |a -a |.
　　对？坌n>m，有
　　|a -a |≤|a -a | … |a -a |
　　≤（α … α ）|a -a |
　　=a · |a -a |
　　< |a -a |→0，（n，m→∞）.
　　故{a }是柯西数列，从而收敛.记其极限为a.在a =f（a ）两边取极限n→∞，由的连续性知，a=f（a），即a是方程x=f（x）的解，故a=x .解方程x=f（x）= 得x = ，所以{a }的极限为 .
　　3.方程的近似解
　　例3：求方程x=1-x 的近似解
　　分析：若令f（x）=1-x ，则f：[0，1]→[0，1]，对任意x ，x ∈[0，1]，存在ξ介于x 与x 之间，使得|f（x ）-f（x ）|=4ξ |x -x |.在[1/ ，1]的范围内，f不是压缩映射，因此不能直接对f应用压缩映射原理.然而我们可以适当改变迭代格式，使之满足压缩映射原理.为此，引进一个参数λ（λ≠0），令G（x）=（1-λ）x λ（1-x ），则方程x=1-x 等价于x=G（x）.适当选择参数λ，可使得|G′（x）|≤q<1.
　　解：取λ= 则当x∈[0，1]时，|G′（x）|=|1-λ-4λx |=| - x |≤ .所以G：[0，1]→[0，1]且？坌x ，x ∈[0，1]，有|G（x ）-G（x ）| ≤ |x -x |.故G是压缩映射，由压缩映射原理，方程x=G（x）有且只有一个解，记为x ，即方程x=1-x 有且只有一个解x .
　　于是我们可以采取迭代格式x =G（x ）= .由于
　　故{x }是柯西数列，所以收敛，且极限即为方程的唯一解x .
　　4.积分方程的解
　　例4[4]：考虑常微分方程的初值问题： =F（t，x）x（0）=x .设F（t，x）对变量x关于t一致地满足局部Lipschitz条件：？埚δ>0及L>0，使得当|t|≤h，以及|x -x |≤δ，|x -x |≤δ时，有|F（t，x ）-F（t，x ）|≤L|x -x |.F（t，x）在[-h，h]×[x -δ，x δ]上连续，
　　M=max{|F（t，x）|（t，x）∈[-h，h]×[x -δ，x δ]}.
　　求证：若h　　分析：该问题的解等价于求连续函数x（t），使之满足如下积分方程：
　　为此考虑映射T（x）（t）=x ？蘩 F（τ，x（τ））dτ.这样求该初值问题的解，等价于求C[-h，h]到自身的映射T的不动点x.
　　证：令B（x ，δ）是C[-h，h]中的闭球{x∈C[-h，h]： |x（t）-x |≤δ}，由于对任意x∈B（x ，δ），有
　　由Lh<1知，T是B（x ，δ）到B（x ，δ）中的压缩映射.而B（x ，δ）是C[-h，h]的闭子空间，故（B（x ，δ），d）完备，应用压缩映射原理知，存在x∈B（x ，δ），使得x（t）为该问题的解.
　　参考文献：
　　[1]程其襄，张奠宙，魏国强，胡善文，王漱石.实变函数与泛函分析基础（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2010.
　　[2]王康喆.浅谈Banach压缩映射定理的应用[J].科技信息（学术研究），2008，13：53.
　　[3]徐树方，高立，张平文.数值线性代数（第二版）[M].北京：北京大学出版社，2013.
　　[4]张恭庆，林源渠.泛函分析讲义（上册）[M].北京：北京大学出版社，2001.
　　资助项目：中国矿业大学（北京）2014年“大学生创新训练计划”项目“线性算子理论及其应用”（Y20141701）；北京市人才培养共建项目“数学系人才培养模式的改革与创新探索”.