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【摘 要】数学中的探索性思维是对未知规律寻求认识和解决的一种思维活动，它对学生学习数学和培养思维意义重大。本文从对问题特殊与一般的探讨，命题变更，复杂问题简单化，逆向思考等四个方面进行阐述，揭示探索性思维培养的有效性和可行性。
【关键词】数学思维 探索性 逆向
学生在学习数学的过程中，经常需要进行分析演绎、联想、认识等活动。在分析之前，往往需要直觉；在演绎之前要归纳；在联想之前要类比；在认识之前要辨析，这些均离不开数学思维。而探索性思维是对未知问题或规律寻求认识和解决的思维活动，是一个多层次的思维体系。在中学数学教学中，培养学生的探索性思维，是由探索性思维的特点、数学的本质及中学生的实际情况所决定的：中学数学不再只简单地要求学生识记公式、结论，它强调学生能在掌握数学基础知识之外，能对数、形有一定的分析、探索、总结的能力，能够独立地思考，灵活地应用。因此，培养探索性思维，在数学教学中显得尤为重要，教师可以有意识地安排一些关于题设、结论、方法、规律等方面的问题，让学生探索。
如何引导学生完成数学教学探索这一系列的思维训练呢？本文将从以下几个方面利用实例分析进行阐述。
一、对问题特殊与一般性的相互探索，激发学生的发现动机
在数学的学习过程中，我们常常会碰到一些必须由一般性转化到特殊，或者由特殊性延伸到一般的情况，通过它们之间相互的转化与探索，能大大激发学生的发现动机，扩展他们的视野，提高他们的数学思维品质。通过以下的实例，可见一斑。
例1：H是等腰△ABC的垂心，记与分别表示△ABC和△HBC的面积，保持底边BC不变，让A点到BC的距离变小，请问：﹒的值变小，变大，还是不变？证明你的结论。
思路分析：如图所示，因为﹒=，由于边BC不变，所以﹒值的变化，只由的大小决定。故我们首先探索值的变化情况，尝试从特殊情况入手进行探索。若让顶点A运动到H点，那么，垂心H就运动到原A点的位置，于是的值不变，因此﹒的值也不变。通过这种由一般到特殊的探索，我们初步猜想：﹒的值不变。
其次，再探索的值的大小。同样，考察特殊情况：若点A与H重合时，即△ABC为等腰直角三角形，这时，=BD2，于是得到等于BC的一半的平方。
这个结论是否具有一般性呢？我们对一般情况进行论证：试探证明值不变且等于BC的一半的一方。
事实上，在Rt△ABD中，AD=BD，在Rt△HBD中，HD=BD，因为，+=900，所以，tan，故：至此，問题解决。
以上例题为一种一般性问题向特殊情形进行探索的过程，通过这个问题的研究和探索，学生容易产生一种求知欲望得到满足的欢乐和学有所成的愉悦，激发了他们的发现动机，而且还培养了他们的数学思维品质。
二、对命题进行变更，培养学生探索性思维的灵活性与深刻性
对命题进行简单变更时，常见的变换方法有由封闭式的题型改为开放式的题型，将静止的确定问题变更为运动的不确定性问题等等，比如：
原题：边长为1的正△ABC中，D、E分别为AB与AC的中点，将△ABC沿DE折成直二面角，求的长度。
问题经过变更后，DE不再是静止的了，从而AB的大小随DE的位置变化而变化，故可设FO=x，将AB表示成关于x的一个函数，再利用函数最值的方法求出问题的答案，认识了这个实质，就可得到：，当x=，即DE为中位线时，AB的最小值为。
此结果正好说明原题是改造后问题的一个特例。经过这样的训练，能使学生的认识由表及里、由静到动、积极探索、不断深入，从而训练和培养学生探索性思维的灵活性和深刻性。
三、对复杂问题简单化，使学生进一步形成探索新问题的思维方式
有些问题直接思考，较难找到解决它的突破口，应考虑将其简单化，找到规律与方法之后，再探求其解决之道。
例2：已知且，求证：
思路分析：对于上述一般性问题，我们从简单的二元入手，试图寻求规律，即：已知且，求证：
四、对问题进行逆向思考和探索，培养学生探索性思维的多样性
逆向思维是由果索因、知本求源，从原问题的相反方向入手研究的一种数学思维方法，它是探索性思维的重要组成部分。加强这方面的训练，可改变其思维结构，培养思维的灵活性、深刻性、多样性和双向能力，提高分析与解决问题的水平。实践中的某些问题，若从逆向进行思考，则能迅速找到解决的思路，非常便捷地求解，收到奇效。
我们发现，对问题进行逆向思考，的确收到了意想不到的效果。在实际教育教学中，多进行这种训练，确实可以提高学生探索性思维的多样性。
通过以上的分析，我们容易发现不同的问题应该利用不同的方式，从不同的角度进行分析探索，这也正好说明数学中的探索性思维可以从几个不同的方面进行训练和培养。分析与实践都表明，教学中探索性思维的培养，对学生成绩的提高及数学品质的锻炼，都是行之有效的，也有确凿可行的。
参考文献：
[1] 薛金星 怎样解题 北京教育出版社 2011
[2] 梁植文 中学数学教材教法 高等教育出版社 1997
[3] 余元希等 初等代数研究 高等教育出版社 1997
[4] 蒋志萍，汪文贤 数学思维方法 浙江大学出版社 2011
【关键词】数学思维 探索性 逆向
学生在学习数学的过程中，经常需要进行分析演绎、联想、认识等活动。在分析之前，往往需要直觉；在演绎之前要归纳；在联想之前要类比；在认识之前要辨析，这些均离不开数学思维。而探索性思维是对未知问题或规律寻求认识和解决的思维活动，是一个多层次的思维体系。在中学数学教学中，培养学生的探索性思维，是由探索性思维的特点、数学的本质及中学生的实际情况所决定的：中学数学不再只简单地要求学生识记公式、结论，它强调学生能在掌握数学基础知识之外，能对数、形有一定的分析、探索、总结的能力，能够独立地思考，灵活地应用。因此，培养探索性思维，在数学教学中显得尤为重要，教师可以有意识地安排一些关于题设、结论、方法、规律等方面的问题，让学生探索。
如何引导学生完成数学教学探索这一系列的思维训练呢？本文将从以下几个方面利用实例分析进行阐述。
一、对问题特殊与一般性的相互探索，激发学生的发现动机
在数学的学习过程中，我们常常会碰到一些必须由一般性转化到特殊，或者由特殊性延伸到一般的情况，通过它们之间相互的转化与探索，能大大激发学生的发现动机，扩展他们的视野，提高他们的数学思维品质。通过以下的实例，可见一斑。
例1：H是等腰△ABC的垂心，记与分别表示△ABC和△HBC的面积，保持底边BC不变，让A点到BC的距离变小，请问：﹒的值变小，变大，还是不变？证明你的结论。
思路分析：如图所示，因为﹒=，由于边BC不变，所以﹒值的变化，只由的大小决定。故我们首先探索值的变化情况，尝试从特殊情况入手进行探索。若让顶点A运动到H点，那么，垂心H就运动到原A点的位置，于是的值不变，因此﹒的值也不变。通过这种由一般到特殊的探索，我们初步猜想：﹒的值不变。
其次，再探索的值的大小。同样，考察特殊情况：若点A与H重合时，即△ABC为等腰直角三角形，这时，=BD2，于是得到等于BC的一半的平方。
这个结论是否具有一般性呢？我们对一般情况进行论证：试探证明值不变且等于BC的一半的一方。
事实上，在Rt△ABD中，AD=BD，在Rt△HBD中，HD=BD，因为，+=900，所以，tan，故：至此，問题解决。
以上例题为一种一般性问题向特殊情形进行探索的过程，通过这个问题的研究和探索，学生容易产生一种求知欲望得到满足的欢乐和学有所成的愉悦，激发了他们的发现动机，而且还培养了他们的数学思维品质。
二、对命题进行变更，培养学生探索性思维的灵活性与深刻性
对命题进行简单变更时，常见的变换方法有由封闭式的题型改为开放式的题型，将静止的确定问题变更为运动的不确定性问题等等，比如：
原题：边长为1的正△ABC中，D、E分别为AB与AC的中点，将△ABC沿DE折成直二面角，求的长度。
问题经过变更后，DE不再是静止的了，从而AB的大小随DE的位置变化而变化，故可设FO=x，将AB表示成关于x的一个函数，再利用函数最值的方法求出问题的答案，认识了这个实质，就可得到：，当x=，即DE为中位线时，AB的最小值为。
此结果正好说明原题是改造后问题的一个特例。经过这样的训练，能使学生的认识由表及里、由静到动、积极探索、不断深入，从而训练和培养学生探索性思维的灵活性和深刻性。
三、对复杂问题简单化，使学生进一步形成探索新问题的思维方式
有些问题直接思考，较难找到解决它的突破口，应考虑将其简单化，找到规律与方法之后，再探求其解决之道。
例2：已知且，求证：
思路分析：对于上述一般性问题，我们从简单的二元入手，试图寻求规律，即：已知且，求证：
四、对问题进行逆向思考和探索，培养学生探索性思维的多样性
逆向思维是由果索因、知本求源，从原问题的相反方向入手研究的一种数学思维方法，它是探索性思维的重要组成部分。加强这方面的训练，可改变其思维结构，培养思维的灵活性、深刻性、多样性和双向能力，提高分析与解决问题的水平。实践中的某些问题，若从逆向进行思考，则能迅速找到解决的思路，非常便捷地求解，收到奇效。
我们发现，对问题进行逆向思考，的确收到了意想不到的效果。在实际教育教学中，多进行这种训练，确实可以提高学生探索性思维的多样性。
通过以上的分析，我们容易发现不同的问题应该利用不同的方式，从不同的角度进行分析探索，这也正好说明数学中的探索性思维可以从几个不同的方面进行训练和培养。分析与实践都表明，教学中探索性思维的培养，对学生成绩的提高及数学品质的锻炼，都是行之有效的，也有确凿可行的。
参考文献：
[1] 薛金星 怎样解题 北京教育出版社 2011
[2] 梁植文 中学数学教材教法 高等教育出版社 1997
[3] 余元希等 初等代数研究 高等教育出版社 1997
[4] 蒋志萍，汪文贤 数学思维方法 浙江大学出版社 2011