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摘 要：学生思维能力的养成与提高，根植于数学本身的魅力和逻辑体系，来源于数学资源的有效组合和设计。基于学生对数学思维题需求的调查，结合内外因的综合分析，整体把控“数学思维题”的有效设计，过程性监控落实成效管理，将数学思想方法和思维能力的养成渗透其中，提升问题解决能力，发展学科素养。
关键词：学生需求;数学思维题;有效设计
数学是思维的体操。《义务教育数学课程标准（实验稿）》明确提出数学思想方法是小学数学教育的基本目标之一，要培养学生逐步学会用数学的眼光看待世界、分析和解决问题。在生活中，数学教学更多地被家长和学生期待为思维的训练场。在教学中，教师实现数学知识和技能作用发挥的同时也致力于发挥数学思想的作用。因此，基于学生内在需求和数学思维功能要求的数学题设计和研究是值得每个数学教师深思的话题。
一、“数学思维题”需求调查和定位
兴趣是最好的老师。对于“你喜欢做数学思维题吗”这个问题，通过对本校六年级四个班学生的问卷调查、个别访谈、课堂观察，笔者了解到近七成学生是喜欢做数学思维题的（如图1）。在“你平时会做一些‘数学思维题’吗”的回答中，“经常做”和“经常不做”选项大约各占20%，但无论是喜欢做数学思维题还是不喜欢做数学思维题，60%左右的学生会“偶尔做”数学思维题。说明数学思维题还是存在内在需求和“群众基础”的。对于“为什么喜欢做数学思維题”，八成以上学生喜欢“数学思维题”的原因是“想挑战自己”和“锻炼自己的思维”（如下表1）。由此可见，学生对数学思维题存在一定的期待。
调查中，我们也发现了那些不喜欢做“数学思维题”的同学给出的原因也恰好是“感觉自己不会做”或是“题目太难了”，表现为对自己缺乏自信和担心题目难度大。可见“数学思维题”的难易程度是左右学生喜好的一个关键因素。这对“数学思维题”的设计与教学提出了一种挑战，也引发了不少数学教师的思考。到底怎么样的思维题既能激发学生的兴趣和热情，又能切实提升学生的数学能力？笔者认为数学思维题有别于竞赛性质的奥数题，是建立在学生书本知识基础之上，并以数学思想渗透和数学方法提炼为目的，为大部分学生喜爱的思维发展和能力提升题。它是对数学知识、方法、规律本质的深层次认识，强调的是学生解决数学问题中形成的策略和程序，综合运用数学知识及方法处理数学问题时的数学一般化思考。
二、“数学思维题”整体设计时机和策略
心理学研究表明：学生的思维在于后天培养和训练。要实现学生数学思维发展和提升的需求，就要从发展学生能力入手，在解决问题中激活学生存储在头脑中的知识，并根据需要及时提取并参与到思维活动中。学生对于“数学思维题”的内在需求固然存在，但绝对不是持久的，它受制于很多外在因素的影响，如教学进度、知识的难易程度、学生的作业量等。要使“数学思维题”保持新鲜度和持久力，在出题的时机上就很有讲究。因此，“数学思维题”的整体设计构思立足于知识的发生、问题解决、复习的过程中，针对学生的思维盲点、解题盲目性以及认知盲区，结合日常的教学活动和专项训练进行有效设计和实施。
1.在知识由表及里的发生过程中适时渗透
总体而言，数学教学内容可分为表层知识和深层知识。表层知识包含概念、性质、法则、公式、公理、定理等基本内容，它是知识发生的基础，带有较强的操作性。深层知识主要是数学思想和方法，它是以数学知识为载体，蕴含于表层知识之中。知识是由表及里螺旋上升的过程，学生通过对教材中表层知识的学习，才能进一步学习和领悟相关数学思想方法的深层知识。
在知识的发生过程中设计数学思维题来帮助学生破解思维上的盲点，实现学生对数学知识由表及里的发展。比如在用比的知识解决问题教学前，设计这样的数学思维题：李明和何刚同时从两家的中点反向行走。30分钟后，李明到达何刚家，何刚离李明家还有300米，已知何刚的速度是李明的3/4，李明和何刚两家相距多少米？开始学生选用普通的分数解法，相对难度较高。教师适时引导学生将已知条件“何刚的速度是李明的3/4”转化为“何刚和李明的速度比是3∶4”，即相同时间内何刚行3份，李明行了4份，李明比何刚多行1份，多行300米，也就是1份是300米。因此李明行了4乘300等于1200米，李刚行了3乘300等于900米，两家相距2100米。表面上解决的是分数应用题，通过转化思想用比例的知识可以采用整数解法，学生经历化难为易的同时也感受到了思维的灵活性。在小学阶段，类似这样运用转化思想，从表层知识走进深层理解的问题还有很多。比如在图形面积公式推导中，学习了长方形面积、平行四边形面积、三角形面积、梯形面积的公式后还可以设计这样的思考问题：每个图形的面积公式与（a b）h÷2之间有什么关系？借助几何画板的功能，学生利用数形结合的思想方法可以从深层次了解到：当a=b时，就是长方形和平行四边形的面积=ah;当a=0时，三角形的面积就是bh÷2。渗透着数学思想方法的“数学思维题”设计，让学生经历新知识和旧知识之间的转化，在掌握表层知识的同时，又能领悟到深层知识，促使学生思维产生质的飞跃。
2.在问题由外而内的解决过程中及时出击
培养学生解决问题的综合能力是数学思维教学的核心目标。教学工作中，我们往往有这样的困扰：平时题目练习讲评得再多，学生对知识的掌握仍是不尽如人意。只要变化一些问题情境的个别条件，学生就会不知所措。究其原因，部分学生停留在记忆模仿解题的水平，比较粗浅地掌握一些问题的外在模型，而问题的本质或者问题关键中心点没有触及。这是学生的信息筛选能力以及分析问题的能力欠缺所致。
在解决“数学思维题”问题的过程中，应将数学思想方法运用于解题的中心位置，运用数学思想方法及时出击。小学生的习惯性错误往往来源于学生解题的盲目性，没有在解题前先思考以下几个问题：怎样去想？怎样才能想到？如何去找解题的思路？因此，要设计学生能在问题解决中充分发挥自身数学思想的联想、构造。在学习圆柱体积计算时设计了这样的问题：在一个长、宽、高分别是12分米、10分米和8分米的长方体纸箱中装进一个最大的圆柱体模型，这个最大圆柱体模型的体积是多少？练习时大部分学生看到“最大”，盲目地直接利用12分米作为直径列式计算。这时教师引导学生画图来思考，不同方向的底面和高可以形成不同的圆柱体，需要分成三种情况来思考。同时通过俯视图和想象可知，底面圆形的大小是由短边来确定的，切不可盲目把数据拿来就用。三种分类形成三种列式：3.14×（10÷2）×（10÷2）×8;3.14×（8÷2）×（8÷2）×12;3.14×（8÷2）×（8÷2）×10。而在观察对比后再次引导学生关注底面半径的平方与高的乘积即可。 上述问题看似简单，学生也相当熟悉，但要抓住问题的本质并非易事。设计这样的“数学思维题”旨在改变学生解题策略，即探求问题的本质，由外而内地分析结构特征，明确条件和问题，采取合理的途径和方法。面临一道数学思维题采用什么样的策略，是学生接触和分析问题之后首先进行的选择性的思维操作。若学生能在解决问题的过程中有效利用画图等手段并由外而内地了解问题的本质，除了少走弯路外，还能有效提升学生的数学能力。
3.在由内而外的综合复习中密集提炼概括
整个数学知识点的系列教学中，综合复习可以将内隐的数学思想外显于数学知识的体系中。复习阶段的“数学思维题”设计要使学生知道：一个问题有的可以用多种思维方式从不同角度解决，有的要用多种思维方式协同解决。
在图形面积计算的综合复习中蕴含着很多知识点，在问题解决中也蕴含着不少解题策略，如图形分割、图形拼组、图形变换等。因此，这个阶段的数学思维题设计就不是就题论题，而是授之以“鱼”后更要授之以“渔”。
如图2，第一题的设计在于考查学生图形变换的解题能力，要求用不同的方法，于是有的学生通过添加辅助线将原有图形转化为两个扇形，利用两个扇形的面积减去两个三角形的面积就能解决问题。也有的学生利用方中圆的固定比关系（方外圆：圆内方=π：2）求解问题。第二题的设计一开始难度很大，学生对题意的理解也存在思维困难。在教师补充说明“相切”的大致含义，同时通过图示的转化引导学生与圆环的面积计算联系起来后，学生一下子豁然开朗。这时，解题的关键在于勾股定理的运用，这成为部分学生理解上的一个“挑战”，但作为六年级毕业班学生，这样的“挑战”也是可以完成的。综合复习的“数学思维题”设计更强调数学相关知识之间的联系，并以适当的方式将数学思想方法加以概括，突破知识难点，学生才能真正意义上领会和掌握。
4.在从放到收的专项设计中提炼顿悟
“数学思维题”的设计是为学生设置“疑问”或者用变换的例题教学或者收集学生的典型错误加以变式对比，当然还可以针对某一个问题组织学生进行讨论并探究，这均属于专项设计与训练的范畴。在激发学生学习兴趣的同时发挥学生体悟与反思概括能力，再进行正确的思维引导。
学生是探究的主体，所以要设计可供学生探索的“学”材，并给学生留有时空，让他们经历思维碰撞的过程。根据条件补充问题，给学生开放思考的空间。如教学“相遇问题求时间”应用题，练习时设计了这样的开放题：一辆客车和一辆货车从相距700千米的两地同时相向而行，客车的速度为每小时80千米，货车的速度为每小时60千米，（
关键词：学生需求;数学思维题;有效设计
数学是思维的体操。《义务教育数学课程标准（实验稿）》明确提出数学思想方法是小学数学教育的基本目标之一，要培养学生逐步学会用数学的眼光看待世界、分析和解决问题。在生活中，数学教学更多地被家长和学生期待为思维的训练场。在教学中，教师实现数学知识和技能作用发挥的同时也致力于发挥数学思想的作用。因此，基于学生内在需求和数学思维功能要求的数学题设计和研究是值得每个数学教师深思的话题。
一、“数学思维题”需求调查和定位
兴趣是最好的老师。对于“你喜欢做数学思维题吗”这个问题，通过对本校六年级四个班学生的问卷调查、个别访谈、课堂观察，笔者了解到近七成学生是喜欢做数学思维题的（如图1）。在“你平时会做一些‘数学思维题’吗”的回答中，“经常做”和“经常不做”选项大约各占20%，但无论是喜欢做数学思维题还是不喜欢做数学思维题，60%左右的学生会“偶尔做”数学思维题。说明数学思维题还是存在内在需求和“群众基础”的。对于“为什么喜欢做数学思維题”，八成以上学生喜欢“数学思维题”的原因是“想挑战自己”和“锻炼自己的思维”（如下表1）。由此可见，学生对数学思维题存在一定的期待。
调查中，我们也发现了那些不喜欢做“数学思维题”的同学给出的原因也恰好是“感觉自己不会做”或是“题目太难了”，表现为对自己缺乏自信和担心题目难度大。可见“数学思维题”的难易程度是左右学生喜好的一个关键因素。这对“数学思维题”的设计与教学提出了一种挑战，也引发了不少数学教师的思考。到底怎么样的思维题既能激发学生的兴趣和热情，又能切实提升学生的数学能力？笔者认为数学思维题有别于竞赛性质的奥数题，是建立在学生书本知识基础之上，并以数学思想渗透和数学方法提炼为目的，为大部分学生喜爱的思维发展和能力提升题。它是对数学知识、方法、规律本质的深层次认识，强调的是学生解决数学问题中形成的策略和程序，综合运用数学知识及方法处理数学问题时的数学一般化思考。
二、“数学思维题”整体设计时机和策略
心理学研究表明：学生的思维在于后天培养和训练。要实现学生数学思维发展和提升的需求，就要从发展学生能力入手，在解决问题中激活学生存储在头脑中的知识，并根据需要及时提取并参与到思维活动中。学生对于“数学思维题”的内在需求固然存在，但绝对不是持久的，它受制于很多外在因素的影响，如教学进度、知识的难易程度、学生的作业量等。要使“数学思维题”保持新鲜度和持久力，在出题的时机上就很有讲究。因此，“数学思维题”的整体设计构思立足于知识的发生、问题解决、复习的过程中，针对学生的思维盲点、解题盲目性以及认知盲区，结合日常的教学活动和专项训练进行有效设计和实施。
1.在知识由表及里的发生过程中适时渗透
总体而言，数学教学内容可分为表层知识和深层知识。表层知识包含概念、性质、法则、公式、公理、定理等基本内容，它是知识发生的基础，带有较强的操作性。深层知识主要是数学思想和方法，它是以数学知识为载体，蕴含于表层知识之中。知识是由表及里螺旋上升的过程，学生通过对教材中表层知识的学习，才能进一步学习和领悟相关数学思想方法的深层知识。
在知识的发生过程中设计数学思维题来帮助学生破解思维上的盲点，实现学生对数学知识由表及里的发展。比如在用比的知识解决问题教学前，设计这样的数学思维题：李明和何刚同时从两家的中点反向行走。30分钟后，李明到达何刚家，何刚离李明家还有300米，已知何刚的速度是李明的3/4，李明和何刚两家相距多少米？开始学生选用普通的分数解法，相对难度较高。教师适时引导学生将已知条件“何刚的速度是李明的3/4”转化为“何刚和李明的速度比是3∶4”，即相同时间内何刚行3份，李明行了4份，李明比何刚多行1份，多行300米，也就是1份是300米。因此李明行了4乘300等于1200米，李刚行了3乘300等于900米，两家相距2100米。表面上解决的是分数应用题，通过转化思想用比例的知识可以采用整数解法，学生经历化难为易的同时也感受到了思维的灵活性。在小学阶段，类似这样运用转化思想，从表层知识走进深层理解的问题还有很多。比如在图形面积公式推导中，学习了长方形面积、平行四边形面积、三角形面积、梯形面积的公式后还可以设计这样的思考问题：每个图形的面积公式与（a b）h÷2之间有什么关系？借助几何画板的功能，学生利用数形结合的思想方法可以从深层次了解到：当a=b时，就是长方形和平行四边形的面积=ah;当a=0时，三角形的面积就是bh÷2。渗透着数学思想方法的“数学思维题”设计，让学生经历新知识和旧知识之间的转化，在掌握表层知识的同时，又能领悟到深层知识，促使学生思维产生质的飞跃。
2.在问题由外而内的解决过程中及时出击
培养学生解决问题的综合能力是数学思维教学的核心目标。教学工作中，我们往往有这样的困扰：平时题目练习讲评得再多，学生对知识的掌握仍是不尽如人意。只要变化一些问题情境的个别条件，学生就会不知所措。究其原因，部分学生停留在记忆模仿解题的水平，比较粗浅地掌握一些问题的外在模型，而问题的本质或者问题关键中心点没有触及。这是学生的信息筛选能力以及分析问题的能力欠缺所致。
在解决“数学思维题”问题的过程中，应将数学思想方法运用于解题的中心位置，运用数学思想方法及时出击。小学生的习惯性错误往往来源于学生解题的盲目性，没有在解题前先思考以下几个问题：怎样去想？怎样才能想到？如何去找解题的思路？因此，要设计学生能在问题解决中充分发挥自身数学思想的联想、构造。在学习圆柱体积计算时设计了这样的问题：在一个长、宽、高分别是12分米、10分米和8分米的长方体纸箱中装进一个最大的圆柱体模型，这个最大圆柱体模型的体积是多少？练习时大部分学生看到“最大”，盲目地直接利用12分米作为直径列式计算。这时教师引导学生画图来思考，不同方向的底面和高可以形成不同的圆柱体，需要分成三种情况来思考。同时通过俯视图和想象可知，底面圆形的大小是由短边来确定的，切不可盲目把数据拿来就用。三种分类形成三种列式：3.14×（10÷2）×（10÷2）×8;3.14×（8÷2）×（8÷2）×12;3.14×（8÷2）×（8÷2）×10。而在观察对比后再次引导学生关注底面半径的平方与高的乘积即可。 上述问题看似简单，学生也相当熟悉，但要抓住问题的本质并非易事。设计这样的“数学思维题”旨在改变学生解题策略，即探求问题的本质，由外而内地分析结构特征，明确条件和问题，采取合理的途径和方法。面临一道数学思维题采用什么样的策略，是学生接触和分析问题之后首先进行的选择性的思维操作。若学生能在解决问题的过程中有效利用画图等手段并由外而内地了解问题的本质，除了少走弯路外，还能有效提升学生的数学能力。
3.在由内而外的综合复习中密集提炼概括
整个数学知识点的系列教学中，综合复习可以将内隐的数学思想外显于数学知识的体系中。复习阶段的“数学思维题”设计要使学生知道：一个问题有的可以用多种思维方式从不同角度解决，有的要用多种思维方式协同解决。
在图形面积计算的综合复习中蕴含着很多知识点，在问题解决中也蕴含着不少解题策略，如图形分割、图形拼组、图形变换等。因此，这个阶段的数学思维题设计就不是就题论题，而是授之以“鱼”后更要授之以“渔”。
如图2，第一题的设计在于考查学生图形变换的解题能力，要求用不同的方法，于是有的学生通过添加辅助线将原有图形转化为两个扇形，利用两个扇形的面积减去两个三角形的面积就能解决问题。也有的学生利用方中圆的固定比关系（方外圆：圆内方=π：2）求解问题。第二题的设计一开始难度很大，学生对题意的理解也存在思维困难。在教师补充说明“相切”的大致含义，同时通过图示的转化引导学生与圆环的面积计算联系起来后，学生一下子豁然开朗。这时，解题的关键在于勾股定理的运用，这成为部分学生理解上的一个“挑战”，但作为六年级毕业班学生，这样的“挑战”也是可以完成的。综合复习的“数学思维题”设计更强调数学相关知识之间的联系，并以适当的方式将数学思想方法加以概括，突破知识难点，学生才能真正意义上领会和掌握。
4.在从放到收的专项设计中提炼顿悟
“数学思维题”的设计是为学生设置“疑问”或者用变换的例题教学或者收集学生的典型错误加以变式对比，当然还可以针对某一个问题组织学生进行讨论并探究，这均属于专项设计与训练的范畴。在激发学生学习兴趣的同时发挥学生体悟与反思概括能力，再进行正确的思维引导。
学生是探究的主体，所以要设计可供学生探索的“学”材，并给学生留有时空，让他们经历思维碰撞的过程。根据条件补充问题，给学生开放思考的空间。如教学“相遇问题求时间”应用题，练习时设计了这样的开放题：一辆客车和一辆货车从相距700千米的两地同时相向而行，客车的速度为每小时80千米，货车的速度为每小时60千米，（