论文部分内容阅读
【摘要】本研究之主要目的在于探讨小学教师的估算知识与估算教学。研究对象为台北地区小学五年级担任数学科教学教师，选取具数理背景及非数理背景共六位，进行深入研究。访谈六位参与研究教师本身的估算知识，了解教师的估算知识与估算教学。
【关键词】估算；估算知识；估算策略；估算教学；小学教师
一、研究目的
纵观国内外的数学课程标准，已有越来越多的国家重视估算教学，并强调其重要性。美国数学教师协会（NCTM,2000）出版《学校数学课程与评量标准》当中的“数与计算”，建议学生要能熟练地计算，并能做合理的估计；除了继续强调估算的重要性外，并建议加强估算的教学。估算在过去数学教学中，是较被忽略的课题，在联考制度引导教学的情况下，为了获得较高的数学成绩，向来都强调笔算的技能、速度和唯一的答案，总是重视算则的机械式演练与计算技能的熟练，而缺乏思考、逻辑推理的培养（杨德清，2000）。但随着教育不断地改革，目前课程标准也越来越重视估算这部分领域，认为估算学习对于学生的数感以及数学思维有相当程度的帮助。一般来说，数字感较好的学生，通常都能够使用估算的技巧来协助计算、验算与解题。而经由估算课题的教学，也更能促使学生对数学概念、程序计算、解题三者间的联结，有更深入的理解（教育部，2003）。可见各国数学教育界已逐渐重视估算能力的培养，估算教学亦成为改革的重要方向之一。
综上所述，可以清楚了解到估算的应用在日常生活当中占有重要的角色，因此掌握这些基本能力是相当重要的，目前估算教学已受到许多先进国家的重视，并强调其重要性，而台湾数学课程虽已包含了估算的内涵，但是要如何将学校教学中所含的估算概念融入生活当中与其作统整联结，值得进一步地探讨。因此，估算的概念并不像我们所谓的分数、小数一样明确，对于教师能否在教学中融入估算的应用去进行教学，这是值得探讨的部分。
二、文献探讨
估算意义与重要性
许多学者提出估算是综合多种能力、技巧与数概念的运算，并结合心算快速地计算出合理性的答案。林彩凤（1995）也提出估算不是形式的计算，而是结合心算、数概念及一些运算技巧，如取近似值、位值概念等快速地得到与精算结果接近且合理的约略讯息答案，这个过程完全是内在运思而不假借任何外界的计算工具。估算是个人对数字及运算的一般性了解，即以弹性的方式运用所理解的数学知识进行数学判断，并发展有用的策略以处理面对数学情境的一种能力及倾向（杨德清，1997）。
三、估算策略
研究者整理学者们研究发现之估算策略，其内容叙述如下：
首位法。取数值之首位来简化数值，通常会视情况将各数取头（或去尾），并做适当的调整再心算。（Reys，1982）
改良式首位法。比首位法更灵活，它是将首位和其他部分分开处理，再做结合运算，使估算值更接近正确值。（Reys，1982）
丛集策略。先观察算式中的数值接近何数值（估计平均值或较佳数值），再加以运算。（Reys，1982）
四舍五入法。将原数值经四舍五入后，产生较易计算的值，再运算求出估算值。通常会在调整算式的过程中使用，是一个好的策略，因为调整时会高估其中一数低估另外一数。（Reys，1982）
兼容数字策略。选择算式中的数字将原式处理成较易计算的形式。（Reys，1982、孟宪腾，1997）
利用特殊数字0，1，5，10，100，12或14等。每个人处理数字形式的习惯不同，因此会做各种数值形式间之转换，以利运算。（Reys，1982）
使用分数。将问题中的数字看成分数的形式来处理，但不改变原问题的结构。（Reys，1982）
使用已知或较理想的数。将算式以较熟悉或以熟知结果的形式做比对，利用该熟知结果的形式为依据做估算，不必再执行烦琐的计算。（Reys，1982）
舍入两个数。在乘法问题中将两数皆舍入，使答案成为十的非零乘幂。（Levine，1982）
舍入一个数。舍入问题中的其中一数，另一数不做改变，使问题更为容易估算。（Dowker，1992）
因式化。将问题中的数字做因子分解，或同时除以某个公因子，而简化原问题的数字，以便处理。（Dowker，1992）
前位算法。利用标准算法大约地计算出估算值。例如：12×11。4≈12×11得到132，再加上12×0。4＝4。8，而得到136。8。（Reys，1982）
分配律。利用a×（b+c）＝ab+ac的分配律规则处理问题中的数字运算。（Reys，1982）
其他还有“取5为近似值”：将接近5的数值取近似值为5，接近0的数值取近似值为0，接近10的数值取近似值为10（林彩凤，1995）；“心算法”：直接心算出答案或将心算所得之答案改为估算答案等估算策略（支毅君，1996）。
四、估算与估算教学相关研究
支毅君（1996）之研究，在估算教学上，多数教师听过“估算”一词，在解连加题目时，最普遍使用的是“四舍五入法”；亦有半数人会使用丛集策略，大部分的教师可以判断答案的合理性。有五分之四的教师认为估算在日常生活中很重要，并且认为应在小学课程中加上估算课程。估算教学能帮助学生学习数的概念以及过程的了解，也就是在过程中不仅能学到估算技巧还能有助于位值、数值大小、数的事实概念以及各种运算意义的学习，更能去察觉答案之合理性。孟宪腾（1997）认为估算教学知识是指结合估算知识与教学知识，职前教师在进行估算教学时能将估算的知识（例如：估算的策略、估算合理性的问题……）与教学知识结合而成的估算教学知识。在美国数学教师协会(NCTM，1991）提出学童可以借由使用笔算、心算、估算及电算器等不同的方法来促进数感发展。在教学过程中，鼓励学童与同侪分享心算、估算的策略，可以促进学童了解数字的基本关系与运算法则，且在某些情境下想要了解一些概念，心算、估算比精算更有效。估算的进步必须借由持续的练习，如同一些数学技巧必须经由练习方能有所进步。若将估算集中于某单元进行教学，易使估算限于运算系统的一部分，且学生见到估算题时会采取生硬的策略运算（Sowder，1984）。另外教师在估算的教学过程中扮有重要的角色，因此教师必需激发学生学习估算的动机意愿，安排适当的课程内容。
五、研究方法
研究设计与对象
本研究之主要目的在探讨小学教师的估算知识与估算教学。研究对象为台北地区小学五年级担任数学科教学的教师，选取具数理背景及非数理背景共六位，进行深入研究。访谈六位参与研究教师本身的估算知识，了解教师的估算知识与估算教学。研究者设计“教师估算知识访谈”题目，内容涵盖估算的内涵、估算教学、估算解题等。文中凡提及之人名，皆以代号称之，表1为参与研究教师之背景资料表。
【关键词】估算；估算知识；估算策略；估算教学；小学教师
一、研究目的
纵观国内外的数学课程标准，已有越来越多的国家重视估算教学，并强调其重要性。美国数学教师协会（NCTM,2000）出版《学校数学课程与评量标准》当中的“数与计算”，建议学生要能熟练地计算，并能做合理的估计；除了继续强调估算的重要性外，并建议加强估算的教学。估算在过去数学教学中，是较被忽略的课题，在联考制度引导教学的情况下，为了获得较高的数学成绩，向来都强调笔算的技能、速度和唯一的答案，总是重视算则的机械式演练与计算技能的熟练，而缺乏思考、逻辑推理的培养（杨德清，2000）。但随着教育不断地改革，目前课程标准也越来越重视估算这部分领域，认为估算学习对于学生的数感以及数学思维有相当程度的帮助。一般来说，数字感较好的学生，通常都能够使用估算的技巧来协助计算、验算与解题。而经由估算课题的教学，也更能促使学生对数学概念、程序计算、解题三者间的联结，有更深入的理解（教育部，2003）。可见各国数学教育界已逐渐重视估算能力的培养，估算教学亦成为改革的重要方向之一。
综上所述，可以清楚了解到估算的应用在日常生活当中占有重要的角色，因此掌握这些基本能力是相当重要的，目前估算教学已受到许多先进国家的重视，并强调其重要性，而台湾数学课程虽已包含了估算的内涵，但是要如何将学校教学中所含的估算概念融入生活当中与其作统整联结，值得进一步地探讨。因此，估算的概念并不像我们所谓的分数、小数一样明确，对于教师能否在教学中融入估算的应用去进行教学，这是值得探讨的部分。
二、文献探讨
估算意义与重要性
许多学者提出估算是综合多种能力、技巧与数概念的运算，并结合心算快速地计算出合理性的答案。林彩凤（1995）也提出估算不是形式的计算，而是结合心算、数概念及一些运算技巧，如取近似值、位值概念等快速地得到与精算结果接近且合理的约略讯息答案，这个过程完全是内在运思而不假借任何外界的计算工具。估算是个人对数字及运算的一般性了解，即以弹性的方式运用所理解的数学知识进行数学判断，并发展有用的策略以处理面对数学情境的一种能力及倾向（杨德清，1997）。
三、估算策略
研究者整理学者们研究发现之估算策略，其内容叙述如下：
首位法。取数值之首位来简化数值，通常会视情况将各数取头（或去尾），并做适当的调整再心算。（Reys，1982）
改良式首位法。比首位法更灵活，它是将首位和其他部分分开处理，再做结合运算，使估算值更接近正确值。（Reys，1982）
丛集策略。先观察算式中的数值接近何数值（估计平均值或较佳数值），再加以运算。（Reys，1982）
四舍五入法。将原数值经四舍五入后，产生较易计算的值，再运算求出估算值。通常会在调整算式的过程中使用，是一个好的策略，因为调整时会高估其中一数低估另外一数。（Reys，1982）
兼容数字策略。选择算式中的数字将原式处理成较易计算的形式。（Reys，1982、孟宪腾，1997）
利用特殊数字0，1，5，10，100，12或14等。每个人处理数字形式的习惯不同，因此会做各种数值形式间之转换，以利运算。（Reys，1982）
使用分数。将问题中的数字看成分数的形式来处理，但不改变原问题的结构。（Reys，1982）
使用已知或较理想的数。将算式以较熟悉或以熟知结果的形式做比对，利用该熟知结果的形式为依据做估算，不必再执行烦琐的计算。（Reys，1982）
舍入两个数。在乘法问题中将两数皆舍入，使答案成为十的非零乘幂。（Levine，1982）
舍入一个数。舍入问题中的其中一数，另一数不做改变，使问题更为容易估算。（Dowker，1992）
因式化。将问题中的数字做因子分解，或同时除以某个公因子，而简化原问题的数字，以便处理。（Dowker，1992）
前位算法。利用标准算法大约地计算出估算值。例如：12×11。4≈12×11得到132，再加上12×0。4＝4。8，而得到136。8。（Reys，1982）
分配律。利用a×（b+c）＝ab+ac的分配律规则处理问题中的数字运算。（Reys，1982）
其他还有“取5为近似值”：将接近5的数值取近似值为5，接近0的数值取近似值为0，接近10的数值取近似值为10（林彩凤，1995）；“心算法”：直接心算出答案或将心算所得之答案改为估算答案等估算策略（支毅君，1996）。
四、估算与估算教学相关研究
支毅君（1996）之研究，在估算教学上，多数教师听过“估算”一词，在解连加题目时，最普遍使用的是“四舍五入法”；亦有半数人会使用丛集策略，大部分的教师可以判断答案的合理性。有五分之四的教师认为估算在日常生活中很重要，并且认为应在小学课程中加上估算课程。估算教学能帮助学生学习数的概念以及过程的了解，也就是在过程中不仅能学到估算技巧还能有助于位值、数值大小、数的事实概念以及各种运算意义的学习，更能去察觉答案之合理性。孟宪腾（1997）认为估算教学知识是指结合估算知识与教学知识，职前教师在进行估算教学时能将估算的知识（例如：估算的策略、估算合理性的问题……）与教学知识结合而成的估算教学知识。在美国数学教师协会(NCTM，1991）提出学童可以借由使用笔算、心算、估算及电算器等不同的方法来促进数感发展。在教学过程中，鼓励学童与同侪分享心算、估算的策略，可以促进学童了解数字的基本关系与运算法则，且在某些情境下想要了解一些概念，心算、估算比精算更有效。估算的进步必须借由持续的练习，如同一些数学技巧必须经由练习方能有所进步。若将估算集中于某单元进行教学，易使估算限于运算系统的一部分，且学生见到估算题时会采取生硬的策略运算（Sowder，1984）。另外教师在估算的教学过程中扮有重要的角色，因此教师必需激发学生学习估算的动机意愿，安排适当的课程内容。
五、研究方法
研究设计与对象
本研究之主要目的在探讨小学教师的估算知识与估算教学。研究对象为台北地区小学五年级担任数学科教学的教师，选取具数理背景及非数理背景共六位，进行深入研究。访谈六位参与研究教师本身的估算知识，了解教师的估算知识与估算教学。研究者设计“教师估算知识访谈”题目，内容涵盖估算的内涵、估算教学、估算解题等。文中凡提及之人名，皆以代号称之，表1为参与研究教师之背景资料表。