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发散思维即求异思维,它是从一点出发沿着多个方向达到思维目标的思维方式。美国心理学家吉尔福特则把发散思维定义为一种不依常规、寻求变异、从多方面寻求问题答案的思维形式。从发散思维展开的方式来看,一般可以分为横向拓广式、纵向深入式、多向联合式。发散思维是素质教育中创造性思维的主导成份。因此,我们教师在平时的教学过程中应有意识、有目的、有计划地培养学生的发散思维。有意提供一些多种解答方法的习题、探索性习题,激励学生用多种方法去解决问题,允许学生大胆提出对问题的看法和独特的见解等等。本文从以下几方面谈培养发散思维的途径和主要方法:
1、问中发散
问中发散是运用适当的设问技巧, 培养学生思维的灵活性, 教师要多设计一些“为什么”、“是什么”之类的问题,
例如：解方程由3x - 5 = 2x + 16 到x = 21 的依据是什么, 对顶角为什么相等?
同时教师提出问题后要有极大的耐心, 给学生充足的时间, 使学生有一种松弛感, 无拘无束地思考, 这样学生的思维才能得到有效的发展。
2、题中发散
题中发散就是教师根据课本中的练习题, 设计一些开放性题型, 增强思维的敏锐性。
2．1、条件开放
条件开放是指改变已知条件, 结论不变, 这种练习可锻炼学生从不同的条件变化过程, 找到结论成立的实质。
例如, 在学习了全等三角形的判定后, 我们设计了这样一道条件开放型试题: “同学们知道, 只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等, 你如何处理和安排这三个条件, 使两上三角形全等, 你依照方案(1) 还可以写出几个方案。
解两边和一角对应相等的两个三角形, 方案(1) 若这个角的对边恰好是这两边中的大边, 则这两个三角形全等, 学生分组讨论后, 写出了如下九个方案来, 即方案(2) 若这个角是这两边的夹角,则这个三角形全等。方案(3) 若这个角是直角,则这两个三角形全等。方案(4) 若这两边相等,则这两个三角形全等。方案(5) 若这个角是钝角, 则这两个三角形全等。方案(6) 若这两个三角形都是锐角三角形, 则这两个三角形全等。方案(7)若这两个三角形都是钝角三角形, 则这两个三角形全等。方案(8) 若这角的对边恰好是两边中的小边, 则这两个三角形全等。方案(9) 若这个角是两个三角形的公共角, 它所对的边为其中一已知边, 则这两个三角形全等。方案(10) 若这两边中有一边为两个三角形的公共边, 另一边为已知角的对边, 则这两个三角形全等。
以上方案均可证明,证明从略。这样训练学生的发散思维和创造能力总会得以有效地提高。
2．2、结论开放
结论开放题型是指在同一条件, 可得到多种结论。
例如: 如图⊙O 内切于四边形ABCD ,AB = AD ,连结AC、BD ,由这些条件你能推出哪些结论? (不再标注其它字母, 不再添加辅助线, 不写推理过程)
学生分组讨论写出以下结论:①∠ABD = ∠ADB ;②AC 平分∠BAD; ③AC 垂直平分BD;④∠BAC = ∠DBA = 90°;⑤BC = CD; ⑥S四边形ABCD =12AC•BD; ⑦AC 过圆心O 等。
2．2．3、条件、结论同时开放
例如：某城市一种出租车起价是10 元(即行驶距离在5 km 以内都需付10 元车费) ,达到或超过5 km 每增加1 km加价1. 2 元(不足1 km按1 km计) ,现在某人乘这种出租车从甲地到乙地,支付车费17. 2 元, 从甲地到乙地的路程大约是多少?
解：如果设甲地到乙地的路程为x km ,则有
1712 —1. 2 ≤ (x - 5) x1. 2 + 10 < 17. 2 ,
解得 10≤x < 11
若是把条件“达到”两字去掉则有
17.2 —1. 2 < (x - 5) x1. 2 ≤17. 2
解得 10 < x ≤11
这种题目能训练学生思维的敏锐性,又能让学生认识数学知识来源于生产生活,服务于生产生活实际。
3动中发散
动中发散就是让学生通过实际动手操作来发散学生的思维, 在一次课外活动,我们举行了一次制作长方体包装盒的小制作比赛, 具体要求, ①制成的包装盒是长方体形状; ②形状尺寸合理, 节省用料; ③包装的外观设计美观。需要什么材料, 怎样设计尺寸, 学生不得不进行观察、思考实地考察。这样的活动是培养学生动手动脑, 解决实际问题的有效途径。
4解中发散
解中发散就是通过一题多解来调动学生的积极性和主动性,拓宽学生的解题思路,培养发散思维。例如,已知在△ABC中,AD 是高, ,求证∠BAC = 90°,仔细分析题目的条件与结论,可以从以下不同的角度寻找证明途径。
(1) 从已知条件的角度探索
思路1 : 要证∠BAC = 90°, 只需证∠BAC =∠ADB(或∠BAC = ∠ADC) 即可。
为此,需要证明△ABC∽ △DAC(或△ABC∽ △DAC) ,由条件及隐含条件 很容易证得。
思路2 :因为∠ABD + ∠BAD = 90°,要证∠BAC= 90°,只需证∠ABD = ∠CAD ,即证△ABD∽ △CAD。
(2) 从判定直角三角形的角度探索。
思路3 :利用勾股定理的逆定理,即证,在Rt △ABD 和Rt △ACD 中联系已知条件就不难获证。
(3) 从特殊角的三角函数值的角度探索
思路4 :证明cos ∠BAC = 0
培养发散思维的方法和途径还有很多,有待我们在教学实践中去探索。
1、问中发散
问中发散是运用适当的设问技巧, 培养学生思维的灵活性, 教师要多设计一些“为什么”、“是什么”之类的问题,
例如：解方程由3x - 5 = 2x + 16 到x = 21 的依据是什么, 对顶角为什么相等?
同时教师提出问题后要有极大的耐心, 给学生充足的时间, 使学生有一种松弛感, 无拘无束地思考, 这样学生的思维才能得到有效的发展。
2、题中发散
题中发散就是教师根据课本中的练习题, 设计一些开放性题型, 增强思维的敏锐性。
2．1、条件开放
条件开放是指改变已知条件, 结论不变, 这种练习可锻炼学生从不同的条件变化过程, 找到结论成立的实质。
例如, 在学习了全等三角形的判定后, 我们设计了这样一道条件开放型试题: “同学们知道, 只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等, 你如何处理和安排这三个条件, 使两上三角形全等, 你依照方案(1) 还可以写出几个方案。
解两边和一角对应相等的两个三角形, 方案(1) 若这个角的对边恰好是这两边中的大边, 则这两个三角形全等, 学生分组讨论后, 写出了如下九个方案来, 即方案(2) 若这个角是这两边的夹角,则这个三角形全等。方案(3) 若这个角是直角,则这两个三角形全等。方案(4) 若这两边相等,则这两个三角形全等。方案(5) 若这个角是钝角, 则这两个三角形全等。方案(6) 若这两个三角形都是锐角三角形, 则这两个三角形全等。方案(7)若这两个三角形都是钝角三角形, 则这两个三角形全等。方案(8) 若这角的对边恰好是两边中的小边, 则这两个三角形全等。方案(9) 若这个角是两个三角形的公共角, 它所对的边为其中一已知边, 则这两个三角形全等。方案(10) 若这两边中有一边为两个三角形的公共边, 另一边为已知角的对边, 则这两个三角形全等。
以上方案均可证明,证明从略。这样训练学生的发散思维和创造能力总会得以有效地提高。
2．2、结论开放
结论开放题型是指在同一条件, 可得到多种结论。
例如: 如图⊙O 内切于四边形ABCD ,AB = AD ,连结AC、BD ,由这些条件你能推出哪些结论? (不再标注其它字母, 不再添加辅助线, 不写推理过程)
学生分组讨论写出以下结论:①∠ABD = ∠ADB ;②AC 平分∠BAD; ③AC 垂直平分BD;④∠BAC = ∠DBA = 90°;⑤BC = CD; ⑥S四边形ABCD =12AC•BD; ⑦AC 过圆心O 等。
2．2．3、条件、结论同时开放
例如：某城市一种出租车起价是10 元(即行驶距离在5 km 以内都需付10 元车费) ,达到或超过5 km 每增加1 km加价1. 2 元(不足1 km按1 km计) ,现在某人乘这种出租车从甲地到乙地,支付车费17. 2 元, 从甲地到乙地的路程大约是多少?
解：如果设甲地到乙地的路程为x km ,则有
1712 —1. 2 ≤ (x - 5) x1. 2 + 10 < 17. 2 ,
解得 10≤x < 11
若是把条件“达到”两字去掉则有
17.2 —1. 2 < (x - 5) x1. 2 ≤17. 2
解得 10 < x ≤11
这种题目能训练学生思维的敏锐性,又能让学生认识数学知识来源于生产生活,服务于生产生活实际。
3动中发散
动中发散就是让学生通过实际动手操作来发散学生的思维, 在一次课外活动,我们举行了一次制作长方体包装盒的小制作比赛, 具体要求, ①制成的包装盒是长方体形状; ②形状尺寸合理, 节省用料; ③包装的外观设计美观。需要什么材料, 怎样设计尺寸, 学生不得不进行观察、思考实地考察。这样的活动是培养学生动手动脑, 解决实际问题的有效途径。
4解中发散
解中发散就是通过一题多解来调动学生的积极性和主动性,拓宽学生的解题思路,培养发散思维。例如,已知在△ABC中,AD 是高, ,求证∠BAC = 90°,仔细分析题目的条件与结论,可以从以下不同的角度寻找证明途径。
(1) 从已知条件的角度探索
思路1 : 要证∠BAC = 90°, 只需证∠BAC =∠ADB(或∠BAC = ∠ADC) 即可。
为此,需要证明△ABC∽ △DAC(或△ABC∽ △DAC) ,由条件及隐含条件 很容易证得。
思路2 :因为∠ABD + ∠BAD = 90°,要证∠BAC= 90°,只需证∠ABD = ∠CAD ,即证△ABD∽ △CAD。
(2) 从判定直角三角形的角度探索。
思路3 :利用勾股定理的逆定理,即证,在Rt △ABD 和Rt △ACD 中联系已知条件就不难获证。
(3) 从特殊角的三角函数值的角度探索
思路4 :证明cos ∠BAC = 0
培养发散思维的方法和途径还有很多,有待我们在教学实践中去探索。