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在中学数学教学中，解题教学是中学数学教学的主要形式，数学习题的教学可以培养学生的思维能力，提高学生独立分析问题和解决问题的能力，培养学生的创造能力.此外，学生通过对数学题的解决，可以加深对数学基本知识的理解，有效地提高教学质量.新的数学课程标准指导下的教材对习题的呈现方式发生了变化，教材中的习题都有一定的代表性，很多数学题都具有探索性和应用性，在习题的处理方式上，在习题数量的选择上，都给了教师和学生很大的空间.在教学中，教师要选择有启发性的，能举一反三的，有一定难度又能锻炼学生思维的数学习题，而且还要学生做够一定量的习题，才能达到数学教学的各种要求.那么如何才能摆脱题海，让学生学得轻松而数学思维能力又能得到提升呢？笔者就自己的教学经验谈几点看法.
一、当前数学解题教学出现的困惑与现状
新课程改革已经实施了几年，在数学解题的教学中，有很大一部分教师认为教材上的例题、习题有的难度偏大，习题的数量很多，新课程增加了很多传统教材没有的内容，课时偏紧，根本没有时间去处理教材上的习题，于是很多教师就放弃一部分，结果学生练习的量不够，导致教学成绩不理想；关于解题教学的另外一个现状是教师在解题教学中重知识而轻能力，重结果而轻过程，不去分析题目所蕴含的数学思想方法，不总结题目的通性通法，偏于技巧.对于通性通法的理解就是学生能想到的方法，而不是教师强加给学生的方法，对于一些题目如果教师用一个很巧的方法，学生可能会理解，但不是通法，这样对学生解题能力的提高是没有任何好处的，要注意高中数学的教学不是去搞竞赛数学，而是大众化的数学，是为学生一生的发展奠定基础.下面举一个案例.
例1已知tanα=3,求sinα+2cosα5cosα-sinα的值.
这是三角函数的知识，考查同角三角函数的基本关系.笔者在教学实践中，经常看到这样的教学方式，就是教师要刻意地把所求的式子转化为一次齐次式，即sinα+2cosα5cosα-sinα=tanα+25-tanα，可对于学生来说是想不到，但能理解.如果在教学中多关注学生的思维，就会发现，这个题目最基本的解法，也是学生最容易想到的,就是利用tanα=3,得到sinα=3cosα，然后代入所求的式子中得：sinα+2cosα5cosα-sinα=3cosα+2cosα5cosα-3cosα=52.在課堂上用这种解法的学生很多，这里体现了一种化归思想.这道题还有一种解法就是分别求出sinα,cosα，再代入原式中求解.当然在解题教学中我们也要提倡一题多解，但这样的一题多解是建立在学生的认知基础上的，而不是把教师的思维强加于学生.在上题的教学中教师可以先让学生思考，是否还有其他解法，让学生自己发现第一种解法，适当的时候教师指导即可，这就是解题教学应注意的.
二、培养学生解题能力的基本途径
1.学会审题
要解决一个数学问题首先必须学会审题，要清楚已知条件是什么,求证什么，或求解什么.在数学例题的教学中，教师应强调审题的重要性，并做出认真审题的示范，教会学生掌握审题的方法，养成认真审题的习惯.学生解题的错误往往是由于没有认真分析题目的已知条件就急于解题造成的，在这样的情况下，教师应抓住学生的这种错误并分析其原因，使学生汲取经验教训.对于一些综合性强的问题，特别是要学会挖掘题目的隐含条件，否则我们根本不可能去解决它.下面用一道高考试题作为例子来进行说明.
例2△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a,b,c,cos(A-C)+cosB=32,b2=ac.求B.
笔者在高三的复习中采用了这道题目，做对的学生很少，原因在于没有认真审题，没有挖掘出题目本身隐含的条件.本题考查了两角和的余弦及正弦定理，本题的第一个隐含条件是三角形的内角和为180°，就可以把cos(A-C)+cosB=32化为cos(A-C)-cos(A+C)=32，然后化为sinA sinC=34，又由b2=ac及正弦定理得，sin2B=sinA•sinC=34，故sinB=32或sinB=-32，关键是取哪个值.这里又有第二个隐含条件是b2=ac，b是a,c的等比中项，即a 2.充分利用课本习题进行一题多解的训练，培养学生的发散思维
在新教材中可以进行一题多解的例题很多，习题也很多，教师要让学生跳出题海，可行的办法就是一题多解，把那些具有典型性、启发性的问题作为课堂教学的例题使用，可以起到事半功倍的效果.通过一题多解，可以大大地节省教师在课堂上画图或者抄题的时间，一节课上就讨论一个题目，题目的多种解法就涵盖了数学中的很多知识和数学思想方法，学生学得轻松，也就避免了学生盲目做题，而没有效果的局面.下面举例说明.
例3一条直线与两条直线l1:2x-y-2=0,l2:x+y+3=0相交，且该直线被夹在已知两条直线之间的线段被点P(3,0)平分，求此直线的方程.
这是平面解析几何初步中的一道习题，题目的条件很少，学生很容易画图解决，但这个题目的解答方法却是很多的，蕴含很深的数学思想，教师可以把它作为直线方程复习课上的一道例题，以达到以点带面的效果.笔者在教学中采用以下的教学方法.
（1）课前准备
复习：直线方程有哪几种形式？各自的适用范围是什么？
问题：（用幻灯片展示上面的例题）试解本题并分析你的解答过程.
由于学生在课前已经对该题进行了思考，因此只给10分钟的时间用于学生书写解答过程，并交流自己的解法.
（2）解决问题，交流解法
学生1：画出图形，设所求的直线与两直线l1,l2分别交于点A(x1,y1),B(x2,y2),因为点P(3,0)是线段AB的中点，由中点坐标公式得：x1+x2=6,y1+y2=0.
又因为点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1，l2上，所以得到：2x1-y1-2=0，x2+y2+3=0.把以上四个方程联立组成方程组解出点A113,163,由点P(3,0)及点A得到直线方程为：8x-y-24=0.
学生2：设所求直线方程为y=k(x-3)，其中k是直线的斜率，由所设的直线与已知两条直线组成两个方程组，解出两个交点坐标，再由中点坐标公式建立一个关于斜率k的方程，求出直线的斜率，进而求出直线方程.但解交点坐标较麻烦.
解答过程如下：
解设所求的直线与两直线l1，l2分别交于点A(x1,y1),B(x2,y2)，设所求直线的斜率为k，则所求直线的方程为y=k(x-3)，于是：
① y=k(x-3),
2x-y-2=0. ② y=k(x-3),
x+y+3=0.
由①得x1=2-3k2-k，y1=4kk-2,由②得x2=3k-31+k,y2=6k1+k，又由中点坐标公式得y1+y2=0，即4kk-2+6k1+k=0，解得k=8.所以，所求直线方程是：8x-y-24=0.
在展示了上面的两种解法以后，教师需要学生说说自己的解题思路是怎样想到的，这样对学生来说不仅是一个只会做的过程，而且还要求学生会说.
教师首先要求学生1说解题思路，然后要求学生说解决这个问题用到了哪些知识，最后说用到了什么数学思想.
学生1：要求直线的方程，需要找到两个点的坐标，而所求直线只知道一个点的坐标，需要解出两个交点中的一个点的坐标即可，于是用列方程组的办法解决.所用的知识是中点坐标公式，是用方程的思想解决问题.
学生2：要求直线的方程就要两个条件，即直线上的一个点及直线的斜率，因此用待定系数法设出直线方程，也是用方程的思想解决.
（3）解题反思，优化解题过程
对于第二种解法，教师要求学生思考是否有不妥的地方.（由于学生的思维不严密，造成学生在设直线方程为斜截式或者点斜式方程时总是忘记考虑直线的斜率不存在的情况，因此教师特意强调这点.）对于这个问题只有极个别的学生提到了要考虑斜率不存在的情况，但至于如何考虑则不清楚，因此教师要加以补充.方法就是通过图形加以判断，或者通过代数运算说明当直线的斜率不存在时，点P(3,0)不可能是中点，然后才用第二种解法.通过对这道题目的解答，学生学会求直线方程的几种方法，还有就是在解题过程中体现了坐标法的思想.既巩固了所学的基础知识，又达到了训练学生思维的目的，
3.在复习课中使用开放型的问题来提高复习效果
开放型的问题由于答案不具有唯一性，可以锻炼学生的思维能力，在设计问题时，要保证所设计的问题尽量覆盖所需要复习的知识.例如在立体几何初步的复习中可以设计这样的题目：给你一个正方体，请你在这个正方体中（可以添加辅助线）尽可能多的找出线线平行、线面平行、面面平行的例子，尽可能多的找出线线垂直，线面垂直、面面垂直的例子；如果这样的问题太过于开放，可以加一些限制条件.又如在直线方程的复习中可以这样：请你任意写出两个点的坐标，然后写出直线方程的各种形式.
总之，解题教学贯穿整个高中数学教学的始终，我们不提倡纯粹地教学生解题，而忽视基本概念，基本原理的学习，但是数学的学习又离不开解题，通过解题巩固所学的基本概念与基本原理，培养学生分析解决问题的能力是高中数学的基本任务.因此，基本概念的学习与解题教学是不矛盾的，在教学中，需要高中数学教师提升自己的解题能力，只有自身的能力得到了提高，學生的能力才会得到提高.
（上接61页）
3.“对话”法
在习题评讲时，有时采用师生对话的方法，也会取得较好的效果.当较多学生解答该题有困难时，教师可以请一位有代表性的学生说说他的想法，发现学生对于这一道题的“最近发展区”，有针对性地提出启发性的问题，使学生在一问一答中获得完整的求解思路.
案例3
图3题目如图3，在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC内的射影H是△ABC的垂心（三角形三条边上的高交于一点，这点叫做这个三角形的垂心）.求证：PC⊥AB.
在平行班教学时，多数学生对该题无法下手，教师请具有代表性的学生说想法.
师：说说你对该题的想法？
G同学：我还不会做，没有想好.
师：没关系，很多同学可能也没想好.你从已知中能获得什么呢？
G同学：由已知可以得到PH⊥平面ABC，还有CH⊥AB.
师：好，要证明什么？
G同学：要证明PC⊥AB.
师：结合要证明的问题，你还能从已知中挖掘出什么？请其他同学也思考一下这个问题.
G同学（考虑片刻）：老师，我知道了，从已知中还可以进一步得到PH⊥AB，又因为CH⊥AB，所以AB⊥平面PHC，从而有AB⊥PC，也就是PC⊥AB.
师：说得很好，请把详细的证明过程书写出来……
采用师生对话的方法，能够快速地获得学生的思维症结，针对性强，在师生问答的过程中，提高学生的思维水平，同时也能够为学生自己解题提供一种自问自答寻求解题思路的示范.
三、结论
在立体几何部分的证明题评讲时，考虑大多数学生的接受情况，可以灵活采用多种评讲方法.本文仅通过三个案例介绍了三种评讲方法，相信通过我们一线教师的大胆实践，不断思考，还可以探索出更多更好的评讲方法，使习题评讲课也能变得多姿多彩.
【参考文献】
［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003.
［2］单墫.普通高中课程标准实验教科书（必修2）［M］.南京：江苏教育出版社，2007.
一、当前数学解题教学出现的困惑与现状
新课程改革已经实施了几年，在数学解题的教学中，有很大一部分教师认为教材上的例题、习题有的难度偏大，习题的数量很多，新课程增加了很多传统教材没有的内容，课时偏紧，根本没有时间去处理教材上的习题，于是很多教师就放弃一部分，结果学生练习的量不够，导致教学成绩不理想；关于解题教学的另外一个现状是教师在解题教学中重知识而轻能力，重结果而轻过程，不去分析题目所蕴含的数学思想方法，不总结题目的通性通法，偏于技巧.对于通性通法的理解就是学生能想到的方法，而不是教师强加给学生的方法，对于一些题目如果教师用一个很巧的方法，学生可能会理解，但不是通法，这样对学生解题能力的提高是没有任何好处的，要注意高中数学的教学不是去搞竞赛数学，而是大众化的数学，是为学生一生的发展奠定基础.下面举一个案例.
例1已知tanα=3,求sinα+2cosα5cosα-sinα的值.
这是三角函数的知识，考查同角三角函数的基本关系.笔者在教学实践中，经常看到这样的教学方式，就是教师要刻意地把所求的式子转化为一次齐次式，即sinα+2cosα5cosα-sinα=tanα+25-tanα，可对于学生来说是想不到，但能理解.如果在教学中多关注学生的思维，就会发现，这个题目最基本的解法，也是学生最容易想到的,就是利用tanα=3,得到sinα=3cosα，然后代入所求的式子中得：sinα+2cosα5cosα-sinα=3cosα+2cosα5cosα-3cosα=52.在課堂上用这种解法的学生很多，这里体现了一种化归思想.这道题还有一种解法就是分别求出sinα,cosα，再代入原式中求解.当然在解题教学中我们也要提倡一题多解，但这样的一题多解是建立在学生的认知基础上的，而不是把教师的思维强加于学生.在上题的教学中教师可以先让学生思考，是否还有其他解法，让学生自己发现第一种解法，适当的时候教师指导即可，这就是解题教学应注意的.
二、培养学生解题能力的基本途径
1.学会审题
要解决一个数学问题首先必须学会审题，要清楚已知条件是什么,求证什么，或求解什么.在数学例题的教学中，教师应强调审题的重要性，并做出认真审题的示范，教会学生掌握审题的方法，养成认真审题的习惯.学生解题的错误往往是由于没有认真分析题目的已知条件就急于解题造成的，在这样的情况下，教师应抓住学生的这种错误并分析其原因，使学生汲取经验教训.对于一些综合性强的问题，特别是要学会挖掘题目的隐含条件，否则我们根本不可能去解决它.下面用一道高考试题作为例子来进行说明.
例2△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a,b,c,cos(A-C)+cosB=32,b2=ac.求B.
笔者在高三的复习中采用了这道题目，做对的学生很少，原因在于没有认真审题，没有挖掘出题目本身隐含的条件.本题考查了两角和的余弦及正弦定理，本题的第一个隐含条件是三角形的内角和为180°，就可以把cos(A-C)+cosB=32化为cos(A-C)-cos(A+C)=32，然后化为sinA sinC=34，又由b2=ac及正弦定理得，sin2B=sinA•sinC=34，故sinB=32或sinB=-32，关键是取哪个值.这里又有第二个隐含条件是b2=ac，b是a,c的等比中项，即a
在新教材中可以进行一题多解的例题很多，习题也很多，教师要让学生跳出题海，可行的办法就是一题多解，把那些具有典型性、启发性的问题作为课堂教学的例题使用，可以起到事半功倍的效果.通过一题多解，可以大大地节省教师在课堂上画图或者抄题的时间，一节课上就讨论一个题目，题目的多种解法就涵盖了数学中的很多知识和数学思想方法，学生学得轻松，也就避免了学生盲目做题，而没有效果的局面.下面举例说明.
例3一条直线与两条直线l1:2x-y-2=0,l2:x+y+3=0相交，且该直线被夹在已知两条直线之间的线段被点P(3,0)平分，求此直线的方程.
这是平面解析几何初步中的一道习题，题目的条件很少，学生很容易画图解决，但这个题目的解答方法却是很多的，蕴含很深的数学思想，教师可以把它作为直线方程复习课上的一道例题，以达到以点带面的效果.笔者在教学中采用以下的教学方法.
（1）课前准备
复习：直线方程有哪几种形式？各自的适用范围是什么？
问题：（用幻灯片展示上面的例题）试解本题并分析你的解答过程.
由于学生在课前已经对该题进行了思考，因此只给10分钟的时间用于学生书写解答过程，并交流自己的解法.
（2）解决问题，交流解法
学生1：画出图形，设所求的直线与两直线l1,l2分别交于点A(x1,y1),B(x2,y2),因为点P(3,0)是线段AB的中点，由中点坐标公式得：x1+x2=6,y1+y2=0.
又因为点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1，l2上，所以得到：2x1-y1-2=0，x2+y2+3=0.把以上四个方程联立组成方程组解出点A113,163,由点P(3,0)及点A得到直线方程为：8x-y-24=0.
学生2：设所求直线方程为y=k(x-3)，其中k是直线的斜率，由所设的直线与已知两条直线组成两个方程组，解出两个交点坐标，再由中点坐标公式建立一个关于斜率k的方程，求出直线的斜率，进而求出直线方程.但解交点坐标较麻烦.
解答过程如下：
解设所求的直线与两直线l1，l2分别交于点A(x1,y1),B(x2,y2)，设所求直线的斜率为k，则所求直线的方程为y=k(x-3)，于是：
① y=k(x-3),
2x-y-2=0. ② y=k(x-3),
x+y+3=0.
由①得x1=2-3k2-k，y1=4kk-2,由②得x2=3k-31+k,y2=6k1+k，又由中点坐标公式得y1+y2=0，即4kk-2+6k1+k=0，解得k=8.所以，所求直线方程是：8x-y-24=0.
在展示了上面的两种解法以后，教师需要学生说说自己的解题思路是怎样想到的，这样对学生来说不仅是一个只会做的过程，而且还要求学生会说.
教师首先要求学生1说解题思路，然后要求学生说解决这个问题用到了哪些知识，最后说用到了什么数学思想.
学生1：要求直线的方程，需要找到两个点的坐标，而所求直线只知道一个点的坐标，需要解出两个交点中的一个点的坐标即可，于是用列方程组的办法解决.所用的知识是中点坐标公式，是用方程的思想解决问题.
学生2：要求直线的方程就要两个条件，即直线上的一个点及直线的斜率，因此用待定系数法设出直线方程，也是用方程的思想解决.
（3）解题反思，优化解题过程
对于第二种解法，教师要求学生思考是否有不妥的地方.（由于学生的思维不严密，造成学生在设直线方程为斜截式或者点斜式方程时总是忘记考虑直线的斜率不存在的情况，因此教师特意强调这点.）对于这个问题只有极个别的学生提到了要考虑斜率不存在的情况，但至于如何考虑则不清楚，因此教师要加以补充.方法就是通过图形加以判断，或者通过代数运算说明当直线的斜率不存在时，点P(3,0)不可能是中点，然后才用第二种解法.通过对这道题目的解答，学生学会求直线方程的几种方法，还有就是在解题过程中体现了坐标法的思想.既巩固了所学的基础知识，又达到了训练学生思维的目的，
3.在复习课中使用开放型的问题来提高复习效果
开放型的问题由于答案不具有唯一性，可以锻炼学生的思维能力，在设计问题时，要保证所设计的问题尽量覆盖所需要复习的知识.例如在立体几何初步的复习中可以设计这样的题目：给你一个正方体，请你在这个正方体中（可以添加辅助线）尽可能多的找出线线平行、线面平行、面面平行的例子，尽可能多的找出线线垂直，线面垂直、面面垂直的例子；如果这样的问题太过于开放，可以加一些限制条件.又如在直线方程的复习中可以这样：请你任意写出两个点的坐标，然后写出直线方程的各种形式.
总之，解题教学贯穿整个高中数学教学的始终，我们不提倡纯粹地教学生解题，而忽视基本概念，基本原理的学习，但是数学的学习又离不开解题，通过解题巩固所学的基本概念与基本原理，培养学生分析解决问题的能力是高中数学的基本任务.因此，基本概念的学习与解题教学是不矛盾的，在教学中，需要高中数学教师提升自己的解题能力，只有自身的能力得到了提高，學生的能力才会得到提高.
（上接61页）
3.“对话”法
在习题评讲时，有时采用师生对话的方法，也会取得较好的效果.当较多学生解答该题有困难时，教师可以请一位有代表性的学生说说他的想法，发现学生对于这一道题的“最近发展区”，有针对性地提出启发性的问题，使学生在一问一答中获得完整的求解思路.
案例3
图3题目如图3，在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC内的射影H是△ABC的垂心（三角形三条边上的高交于一点，这点叫做这个三角形的垂心）.求证：PC⊥AB.
在平行班教学时，多数学生对该题无法下手，教师请具有代表性的学生说想法.
师：说说你对该题的想法？
G同学：我还不会做，没有想好.
师：没关系，很多同学可能也没想好.你从已知中能获得什么呢？
G同学：由已知可以得到PH⊥平面ABC，还有CH⊥AB.
师：好，要证明什么？
G同学：要证明PC⊥AB.
师：结合要证明的问题，你还能从已知中挖掘出什么？请其他同学也思考一下这个问题.
G同学（考虑片刻）：老师，我知道了，从已知中还可以进一步得到PH⊥AB，又因为CH⊥AB，所以AB⊥平面PHC，从而有AB⊥PC，也就是PC⊥AB.
师：说得很好，请把详细的证明过程书写出来……
采用师生对话的方法，能够快速地获得学生的思维症结，针对性强，在师生问答的过程中，提高学生的思维水平，同时也能够为学生自己解题提供一种自问自答寻求解题思路的示范.
三、结论
在立体几何部分的证明题评讲时，考虑大多数学生的接受情况，可以灵活采用多种评讲方法.本文仅通过三个案例介绍了三种评讲方法，相信通过我们一线教师的大胆实践，不断思考，还可以探索出更多更好的评讲方法，使习题评讲课也能变得多姿多彩.
【参考文献】
［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003.
［2］单墫.普通高中课程标准实验教科书（必修2）［M］.南京：江苏教育出版社，2007.