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在磁场中置入粒子源，通过控制，可发射方向不同、速率相同的粒子，也可发射方向相同、速率不同的粒子；发射形式可以是同时发射、也可以连续发射.这些群体粒子在各种形式的有界磁场中的运动就表现的丰富多姿，能够多方位的考查知识与能力.
一、粒子源连续发射粒子的情形
模型：将粒子源放入一足够大的匀强磁场中，向某一方向发射速率相同的同种粒子，所有粒子运动的圆心都在垂直于初速度的直径线上，所有粒宏观世界动的周期相同，所有粒子的轨迹组成一组内切圆，如图1所示.
以此模型为基础，可把磁场变成各形态的有界磁场设置问题情境（如：通过粒子源设置一边界为平行四边形abcd，其中ad边与对角线bd垂直，让一束电子以大小不同的速度沿bd从b点射入磁场，如图2所示.不计电子的重力和电子之间的相互作用，电子在磁场中运动的情况是：①从ab边出射的所有电子，回旋角相同，运动时间相同；②从a点出射的电子，轨迹最长、运动时间最长），用以理解和考查带电粒子在有界磁场中运动的特点.
例1两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点O为原点，如图3所示.在y>0，00，x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B.在O点处有一小孔（图中未画出），一束质量为m、带电荷量为q（q>0）的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮.入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值.已知速度最大的粒子在0a的区域中运动的时间之比为2∶5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动的周期.试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）.图3图4
解析：由题意可知，速度小于某个值的粒子将在0 设t1为粒子在0a的区域中运动的时间，由题意可知t1t2=25，t1+t2=7T12，解得t1=T/6，t2=5T12，故有∠OCM=∠MC′N=60°，∠MC′P=150°，∠NC′P=150°-60°=90°，即NP为14圆周，因此圆心C′在x轴上.
设速度最大的粒子轨道半径为R. 由直角△COC′可得2Rsin60°=2a，R=
233a，由图知：OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界坐标为x=2（1+33）a.
点评：粒子源沿一定的方向向磁场发射速率不同的同种粒子，因运动周期与速率无关，粒子将因运动半径不同，在有界磁场中的回旋角可能不同，飞出磁场中的方位可能不同，解题的关键环节是临界状态（与磁场边界相切）的确定.
二、粒子源同时发射粒子的情形
模型：将粒子源放入一足够大的匀强磁场中，在360°范围内发射速率相同的同种带电粒子，所有粒子运动的轨道半径相同，所有粒子运动的轨迹圆心都在以粒子源为圆心、轨迹半径为半径的圆周上，轨迹分布的空间在以粒子源为圆心、轨迹直径为半径的圆周范围内（图中虚线），如图5所示.
以此模型为基础，可设置不同形状的磁场边界，将发射范围变为小于360°的某一角度（如60°、90°、180°等）、或将出射区域限定在平面内、圆周上等，以丰富问题情境（如：①若通过粒子源设置一直线边界，只在边界上方有磁场，则粒子在磁场中的运动轨迹范围如图6（a）所示的阴影区域；②若在距粒子源上方L处放置一荧光屏（边界），则粒子将在荧光屏上打出的亮区范围如图6（b）所示中的PQ部分）.
例2如图7所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板.圆形磁场最高点P处有一粒子源，能在180°范围内向圆形磁场内发射大量的带正电、电荷量为q、质量为m、速度为v的粒子，不考虑粒子间的相互作用力.
（1）若粒子在磁场中的轨迹半径是磁场半径的一半，试标出粒子轨迹在磁场中分布的区域.
（2）若粒子速度满足
v=qBRm，计算粒子出射后打在MN屏上的方位与范围.
解析：（1）当粒子轨迹半径r=R/2时，水平向左的粒子能在磁场中完成一个完整的圆周，其它方向的粒子运动轨迹的最远点都在以P为圆心、2r为半径的圆周上，进而画出粒子轨迹在磁场中分布的区域，如图8（a）所示.
（2）画出从P点沿任意方向进入磁场的粒子运动的轨迹，做两个圆心O、O′与入射点P、出射点Q的连线，当速度满足v=qBRm时，发现四条连线组成了一菱形，如图8（b）所示.由图可知， O′Q∥PO，而PO竖直，故出射方向一定水平，由此可知，所有粒子都将水平飞出磁场，垂直打到荧光屏上（水平向左进入磁场的粒子沿磁场左边界运动至边界最低点水平飞出，水平向右的进线打在荧光屏上），亮区范围ab长等于圆形磁场的直径2R.
例3如图9，在0≤x≤3a区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，在t=0 时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向夹角分布在0～180°范围内.已知沿y轴正方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场边界上P（3a，a）点离开磁场.求：
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q/m； （2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；
（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间.
解析：⑴由题意画出沿y轴正方向发射的粒子经过P点的轨迹，其圆心在x轴上的OP点，如图9（a）所示.由图示几何关系
，∠OOPP=120°，可知此粒子飞出磁场所用时间t0=T/3.根据牛顿第二定律得
（2）由于粒子速率相等，同一时刻粒子在磁场中轨迹对应的弦长一定相等，在边界线上找到与O点距离等于OP长度的两点M、N，故在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O为圆心、OP长为半径的圆弧MN上，如图9（a）所示.
设t0时刻经过P、M、N三点的粒子的速度分别为vP、vM、vN，由几何对称性可知vP与OP、vM与OM、vN与ON连线的夹角均为π/3，进而推得vM、vN的方向与y轴正方向的夹角分别为π/3和2π/3.
对于所有此时仍在磁场中的粒子，其初速度与y轴正方向间的夹角α应满足π/3≤α≤2π/3.
（3）在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应与磁场右边界相切后从磁场左边界飞出，轨迹如图9（b）所示 .由几何知识解得这种粒子在磁场中的回旋角是240°，故所用时间为2t0.所以从粒子发射到全部离开所用时间为2t0.
点评：粒子源沿不同方向发射速率相同的粒子，因轨迹半径相同，解题中就可充分利用圆图形的空间对称特点，找到解题的突破口，快捷的解决问题；同时，还要善于自觉的将题目展示的问题情境画成状态——过程（轨迹）图，标出重要的解题信息（如速度方向、圆心、回旋角等），以直观、形象的理解题意，顺利解决问题.
例4如图10所示，在0≤x≤a、0≤y ≤a/2范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内.已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一.求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的（1）速度的大小；（2）速度方向与y轴正方向夹角的正弦.
解析：设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，因
a/2 设粒子在磁场中运动的时间为t，依题意，t=T4，∠OCA=π2 ，由几何关系可得：Rsinα=R-a2，R
中国石油天然气管道局中学（065000）
一、粒子源连续发射粒子的情形
模型：将粒子源放入一足够大的匀强磁场中，向某一方向发射速率相同的同种粒子，所有粒子运动的圆心都在垂直于初速度的直径线上，所有粒宏观世界动的周期相同，所有粒子的轨迹组成一组内切圆，如图1所示.
以此模型为基础，可把磁场变成各形态的有界磁场设置问题情境（如：通过粒子源设置一边界为平行四边形abcd，其中ad边与对角线bd垂直，让一束电子以大小不同的速度沿bd从b点射入磁场，如图2所示.不计电子的重力和电子之间的相互作用，电子在磁场中运动的情况是：①从ab边出射的所有电子，回旋角相同，运动时间相同；②从a点出射的电子，轨迹最长、运动时间最长），用以理解和考查带电粒子在有界磁场中运动的特点.
例1两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点O为原点，如图3所示.在y>0，0
解析：由题意可知，速度小于某个值的粒子将在0
设速度最大的粒子轨道半径为R. 由直角△COC′可得2Rsin60°=2a，R=
233a，由图知：OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界坐标为x=2（1+33）a.
点评：粒子源沿一定的方向向磁场发射速率不同的同种粒子，因运动周期与速率无关，粒子将因运动半径不同，在有界磁场中的回旋角可能不同，飞出磁场中的方位可能不同，解题的关键环节是临界状态（与磁场边界相切）的确定.
二、粒子源同时发射粒子的情形
模型：将粒子源放入一足够大的匀强磁场中，在360°范围内发射速率相同的同种带电粒子，所有粒子运动的轨道半径相同，所有粒子运动的轨迹圆心都在以粒子源为圆心、轨迹半径为半径的圆周上，轨迹分布的空间在以粒子源为圆心、轨迹直径为半径的圆周范围内（图中虚线），如图5所示.
以此模型为基础，可设置不同形状的磁场边界，将发射范围变为小于360°的某一角度（如60°、90°、180°等）、或将出射区域限定在平面内、圆周上等，以丰富问题情境（如：①若通过粒子源设置一直线边界，只在边界上方有磁场，则粒子在磁场中的运动轨迹范围如图6（a）所示的阴影区域；②若在距粒子源上方L处放置一荧光屏（边界），则粒子将在荧光屏上打出的亮区范围如图6（b）所示中的PQ部分）.
例2如图7所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板.圆形磁场最高点P处有一粒子源，能在180°范围内向圆形磁场内发射大量的带正电、电荷量为q、质量为m、速度为v的粒子，不考虑粒子间的相互作用力.
（1）若粒子在磁场中的轨迹半径是磁场半径的一半，试标出粒子轨迹在磁场中分布的区域.
（2）若粒子速度满足
v=qBRm，计算粒子出射后打在MN屏上的方位与范围.
解析：（1）当粒子轨迹半径r=R/2时，水平向左的粒子能在磁场中完成一个完整的圆周，其它方向的粒子运动轨迹的最远点都在以P为圆心、2r为半径的圆周上，进而画出粒子轨迹在磁场中分布的区域，如图8（a）所示.
（2）画出从P点沿任意方向进入磁场的粒子运动的轨迹，做两个圆心O、O′与入射点P、出射点Q的连线，当速度满足v=qBRm时，发现四条连线组成了一菱形，如图8（b）所示.由图可知， O′Q∥PO，而PO竖直，故出射方向一定水平，由此可知，所有粒子都将水平飞出磁场，垂直打到荧光屏上（水平向左进入磁场的粒子沿磁场左边界运动至边界最低点水平飞出，水平向右的进线打在荧光屏上），亮区范围ab长等于圆形磁场的直径2R.
例3如图9，在0≤x≤3a区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，在t=0 时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向夹角分布在0～180°范围内.已知沿y轴正方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场边界上P（3a，a）点离开磁场.求：
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q/m； （2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；
（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间.
解析：⑴由题意画出沿y轴正方向发射的粒子经过P点的轨迹，其圆心在x轴上的OP点，如图9（a）所示.由图示几何关系
，∠OOPP=120°，可知此粒子飞出磁场所用时间t0=T/3.根据牛顿第二定律得
（2）由于粒子速率相等，同一时刻粒子在磁场中轨迹对应的弦长一定相等，在边界线上找到与O点距离等于OP长度的两点M、N，故在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O为圆心、OP长为半径的圆弧MN上，如图9（a）所示.
设t0时刻经过P、M、N三点的粒子的速度分别为vP、vM、vN，由几何对称性可知vP与OP、vM与OM、vN与ON连线的夹角均为π/3，进而推得vM、vN的方向与y轴正方向的夹角分别为π/3和2π/3.
对于所有此时仍在磁场中的粒子，其初速度与y轴正方向间的夹角α应满足π/3≤α≤2π/3.
（3）在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应与磁场右边界相切后从磁场左边界飞出，轨迹如图9（b）所示 .由几何知识解得这种粒子在磁场中的回旋角是240°，故所用时间为2t0.所以从粒子发射到全部离开所用时间为2t0.
点评：粒子源沿不同方向发射速率相同的粒子，因轨迹半径相同，解题中就可充分利用圆图形的空间对称特点，找到解题的突破口，快捷的解决问题；同时，还要善于自觉的将题目展示的问题情境画成状态——过程（轨迹）图，标出重要的解题信息（如速度方向、圆心、回旋角等），以直观、形象的理解题意，顺利解决问题.
例4如图10所示，在0≤x≤a、0≤y ≤a/2范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内.已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一.求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的（1）速度的大小；（2）速度方向与y轴正方向夹角的正弦.
解析：设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，因
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中国石油天然气管道局中学（065000）