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阅读理解型问题的出现在数学中是一个亮点，它以内容丰富、构思新颖别致、题型多样为特点.由阅读材料和解决问题两部分组成，知识的覆盖面较大.它可以是阅读课本原文，也可以是设计一个新的教学情境，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法和思想，然后在把握本质、理解实质的基础上作出回答.其考查的知识灵活多样，既考查了学生的阅读能力，又考查了学生的解题能力.在阅读材料中，从已经学习的知识出发，引申或转化得到课本中尚未学习的新知识，然后利用刚介绍的新知识解决问题.
一、 认真研读示例，把握“新知识”的实质
例1 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如（1101）2表示二进制数，转换为十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制（1111）2转换为十进制形式是数（ ）
A. 8 B. 15
C. 20 D. 30
【思路分析】：本题考查的是二进制与十进制这间的转化，首先要理解二进制与十进制的含义，然后要学会它们之间的转化方法.本题已给出了一个例子，模仿示例就可以完成本题.
解析 1×23+1×22+1×21+1×20=15.故选 B.
例2 阅读材料，解答问题.
阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化.例如：由抛物线y=x2－2mx+m2+2m－1 ……（1）
有y=（x－m）2+2m－1，……（2）
∴ 抛物线顶点坐标为（m，2m-1）.
即x=m，…（3）2y=2m-1，…（4）
当m的值变化时，x，y的值也随之变化，因而y的值也随x值的变化而变化.
将（3）代入（4），得y=2x-1……（5）
可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式：
y=2x-1；
① 在上述过程中，由（1）到（2）所用的数学方法是 .其中运用了 公式，由（3）、（4）得到（5）所用的数学方法是 .
② 根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x2－2mx+2m2－3m+1顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式.
【思路分析】：本题考查的是数学思想方法，解题时应注意观察阅读材料中有关内容，领会变形的方法和手段，回忆老师在教学中介绍的数学知识和数学思想方法，并加以对照.
解析① 配方法，完全平方公式（a－b）2=a2－2ab+b2；
② 由y=x2－2mx+2m2－3m+1，配方得y=（x－m）2+m2－3m+1
则x=my=m2-3m+1 消去m得y=x2－3x+1.
因此，抛物线y=x2－2mx+2m2－3m+1顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式为：y=x2－3x+1.
阅读理解题的基本模式是”材料—问题”，同学们在解答时不能急躁，需要静下心来认真阅读，理解材料所提供的内容，特别是题目中提供的示例，反复研读，逐字理解，把握问题的实质，这样才能出色地解决问题.
二、 深刻理解 “新知识”，并能进行灵活运用
例3 已知x>0，符号［x］表示大于或等于x的最小正整数，如：［0.3］=1，［3.2］=4，=5 …
（1） 填空：［］= ；［6.01］= ；若［x］=3，则x的取值范围是 .
（2） 某市的出租车收费标准规定如下：5km以内（包括5km）收费6元，超过5km的， 每超过1km，加收1.2元（不足1km的按1km计算），用x表示所行的公里数，y表示行x公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算：
当0 当x>5（单位：公里）时，y=6+1.2×［x-5］（元）
某乘客乘车后付费21.6元，求该乘客所行的路程x（km）的取值范围.
【思路分析】：A′表示大于或等于x的最小正整数，实际上是对数x取整，注意这里不是四舍五入.［x］=3时，求字母x的范围，要考虑x取的值大于2，同时不大于3.
解析 （1） 1；7； 2＜x≤3.
（2） 由21.6=6+1.2×［x-5］ 解得［x-5］=13，所以 17＜x≤18.
例4 小明遇到一个问题：如图1，正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近A、B、C、D的n等分点，连结AF、BG、CH、DE，形成四边形MNPQ．求四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比（用含n的代数式表示）．
小明的做法是：
先取n=2，如图2，将△ABN绕点B顺时针旋转90°至△CBN′，再将△ADM绕点D逆时针旋转90°至△CDM′，得到10个小正方形，所以四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比是；
然后取n=3，如图3，将△ABN绕点△B顺时针旋转90°至△CBN′，再将△ADM绕点D逆时针旋转90°至△CDM′，得到10个小正方形，所以四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比是，即；
……
请你参考小明的做法，解决下列问题：
（1） 在图4中探究n=4时四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比（在图4上画图并直接写出结果）；
（2） 图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图5中画出并指明拼接后的正方形）．
【思路分析】第一问：从图3所提供的图形我们看到，对于n取不同的值，但原正方形重新拼合的图形都是一个大正方形MDM′F和一个小正方形BNFN′，我们容易得出两个正方形的面积之和与中间正方形MQPN的面积之间的关系，于是顺理成章当n等于4的时候，去构造一个类似的网格，第一问就出来了.第二问：和裁剪问题沾点边，完全就是这个技巧方法的逆向思考，重点就在于找出这个多边形是由哪几部分构成.于是按下图，连接BC，截外接矩形为两个全等的直角三角形，然后旋转即可.
解析
四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比是．在解答阅读理解题时，学生要读懂材料，正确理解题意，弄清题目要求，关键是要理清问题与材料之间的关系.有些问题的难度低于或等同于材料，在初步阅读的基础上就能解决，对高于材料所提供的难度时，需要把问题带到题目中，认真理解材料所提供的思路，举一反三，多角度去思考，这样好多问题会迎刃而解，同学们的应用能力和解题能力也因此会不断增强.
巩固训练
1. 耐心阅读，然后解答后面的问题：上周末，小芳在书城随手翻阅一本高中数学参考书时，无意中看到了几个等式：sin51°cos12°+cos51°sin12°=sin63°，sin25°cos76°+cos25°sin76°=sin101°.一个猜想出现在他脑海里，回家后他马上用科学计算器进行验证，发现自己的猜想成立，并能推广到一般．其实这是大家将在高中学的一个三角函数知识．你是否和小芳一样也有想法了？下面考考你，看你悟到了什么：
① 根据你的猜想填空
sin37°cos48°+cos37°sin48°= ，
sinαcosβ+cosαsinβ＝ .
② 尽管75°角不是特殊角，请你用发现的规律巧算出sin75°的值．
2． 阅读下面材料，再回答问题：
一般地，如果函数y＝f（x）对于自变量取值范围内的任意x，都有f（－x）＝－f（x），那么y＝f（x）就叫做奇函数；如果函数y＝f（x）对于自变量取值范围内的任意x，都有f（－x）＝f（x），那么y＝f（x）就叫做偶函数．
例如：f（x）=x3+x当x取任意实数时，f（x）=（－x）3+（－x）=－x3－x=－（x3+x）
即f（－x）＝－f（x）所以f（－x）=－f（x）为奇函数又如f（x）＝x当x取任意实数时，f（－x）=－x=x=f（x）
即f（－x）＝f（x） 所以f（x）＝x是偶函数
问题（1）：下列函数中
① y=x4 ② y=x2+1 ③ y= ④ y= ⑤ y=x+
所有奇函数是 ，所有偶函数是 （只填序号）．
问题（2）：请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数,并说明理由.
参考答案
1. ① sin85°；sin（α+β）
② sin75°＝sin（45°+30°）＝sin45°cos30°+ cos45°sin 30°=
2. 问题1：奇函数有③⑤；偶函数有①②；
问题2：证明：
∵当x≠0时，
f（-x）=-x+=-（x+）=-f（x），
∴ y=x是奇函数，
∵ f（-x）=（-x）-2-2-x=x-2-2x=f（x），
∴ y=x-2-2x是偶函数．
一、 认真研读示例，把握“新知识”的实质
例1 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如（1101）2表示二进制数，转换为十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制（1111）2转换为十进制形式是数（ ）
A. 8 B. 15
C. 20 D. 30
【思路分析】：本题考查的是二进制与十进制这间的转化，首先要理解二进制与十进制的含义，然后要学会它们之间的转化方法.本题已给出了一个例子，模仿示例就可以完成本题.
解析 1×23+1×22+1×21+1×20=15.故选 B.
例2 阅读材料，解答问题.
阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化.例如：由抛物线y=x2－2mx+m2+2m－1 ……（1）
有y=（x－m）2+2m－1，……（2）
∴ 抛物线顶点坐标为（m，2m-1）.
即x=m，…（3）2y=2m-1，…（4）
当m的值变化时，x，y的值也随之变化，因而y的值也随x值的变化而变化.
将（3）代入（4），得y=2x-1……（5）
可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式：
y=2x-1；
① 在上述过程中，由（1）到（2）所用的数学方法是 .其中运用了 公式，由（3）、（4）得到（5）所用的数学方法是 .
② 根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x2－2mx+2m2－3m+1顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式.
【思路分析】：本题考查的是数学思想方法，解题时应注意观察阅读材料中有关内容，领会变形的方法和手段，回忆老师在教学中介绍的数学知识和数学思想方法，并加以对照.
解析① 配方法，完全平方公式（a－b）2=a2－2ab+b2；
② 由y=x2－2mx+2m2－3m+1，配方得y=（x－m）2+m2－3m+1
则x=my=m2-3m+1 消去m得y=x2－3x+1.
因此，抛物线y=x2－2mx+2m2－3m+1顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式为：y=x2－3x+1.
阅读理解题的基本模式是”材料—问题”，同学们在解答时不能急躁，需要静下心来认真阅读，理解材料所提供的内容，特别是题目中提供的示例，反复研读，逐字理解，把握问题的实质，这样才能出色地解决问题.
二、 深刻理解 “新知识”，并能进行灵活运用
例3 已知x>0，符号［x］表示大于或等于x的最小正整数，如：［0.3］=1，［3.2］=4，=5 …
（1） 填空：［］= ；［6.01］= ；若［x］=3，则x的取值范围是 .
（2） 某市的出租车收费标准规定如下：5km以内（包括5km）收费6元，超过5km的， 每超过1km，加收1.2元（不足1km的按1km计算），用x表示所行的公里数，y表示行x公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算：
当0
某乘客乘车后付费21.6元，求该乘客所行的路程x（km）的取值范围.
【思路分析】：A′表示大于或等于x的最小正整数，实际上是对数x取整，注意这里不是四舍五入.［x］=3时，求字母x的范围，要考虑x取的值大于2，同时不大于3.
解析 （1） 1；7； 2＜x≤3.
（2） 由21.6=6+1.2×［x-5］ 解得［x-5］=13，所以 17＜x≤18.
例4 小明遇到一个问题：如图1，正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近A、B、C、D的n等分点，连结AF、BG、CH、DE，形成四边形MNPQ．求四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比（用含n的代数式表示）．
小明的做法是：
先取n=2，如图2，将△ABN绕点B顺时针旋转90°至△CBN′，再将△ADM绕点D逆时针旋转90°至△CDM′，得到10个小正方形，所以四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比是；
然后取n=3，如图3，将△ABN绕点△B顺时针旋转90°至△CBN′，再将△ADM绕点D逆时针旋转90°至△CDM′，得到10个小正方形，所以四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比是，即；
……
请你参考小明的做法，解决下列问题：
（1） 在图4中探究n=4时四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比（在图4上画图并直接写出结果）；
（2） 图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图5中画出并指明拼接后的正方形）．
【思路分析】第一问：从图3所提供的图形我们看到，对于n取不同的值，但原正方形重新拼合的图形都是一个大正方形MDM′F和一个小正方形BNFN′，我们容易得出两个正方形的面积之和与中间正方形MQPN的面积之间的关系，于是顺理成章当n等于4的时候，去构造一个类似的网格，第一问就出来了.第二问：和裁剪问题沾点边，完全就是这个技巧方法的逆向思考，重点就在于找出这个多边形是由哪几部分构成.于是按下图，连接BC，截外接矩形为两个全等的直角三角形，然后旋转即可.
解析
四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比是．在解答阅读理解题时，学生要读懂材料，正确理解题意，弄清题目要求，关键是要理清问题与材料之间的关系.有些问题的难度低于或等同于材料，在初步阅读的基础上就能解决，对高于材料所提供的难度时，需要把问题带到题目中，认真理解材料所提供的思路，举一反三，多角度去思考，这样好多问题会迎刃而解，同学们的应用能力和解题能力也因此会不断增强.
巩固训练
1. 耐心阅读，然后解答后面的问题：上周末，小芳在书城随手翻阅一本高中数学参考书时，无意中看到了几个等式：sin51°cos12°+cos51°sin12°=sin63°，sin25°cos76°+cos25°sin76°=sin101°.一个猜想出现在他脑海里，回家后他马上用科学计算器进行验证，发现自己的猜想成立，并能推广到一般．其实这是大家将在高中学的一个三角函数知识．你是否和小芳一样也有想法了？下面考考你，看你悟到了什么：
① 根据你的猜想填空
sin37°cos48°+cos37°sin48°= ，
sinαcosβ+cosαsinβ＝ .
② 尽管75°角不是特殊角，请你用发现的规律巧算出sin75°的值．
2． 阅读下面材料，再回答问题：
一般地，如果函数y＝f（x）对于自变量取值范围内的任意x，都有f（－x）＝－f（x），那么y＝f（x）就叫做奇函数；如果函数y＝f（x）对于自变量取值范围内的任意x，都有f（－x）＝f（x），那么y＝f（x）就叫做偶函数．
例如：f（x）=x3+x当x取任意实数时，f（x）=（－x）3+（－x）=－x3－x=－（x3+x）
即f（－x）＝－f（x）所以f（－x）=－f（x）为奇函数又如f（x）＝x当x取任意实数时，f（－x）=－x=x=f（x）
即f（－x）＝f（x） 所以f（x）＝x是偶函数
问题（1）：下列函数中
① y=x4 ② y=x2+1 ③ y= ④ y= ⑤ y=x+
所有奇函数是 ，所有偶函数是 （只填序号）．
问题（2）：请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数,并说明理由.
参考答案
1. ① sin85°；sin（α+β）
② sin75°＝sin（45°+30°）＝sin45°cos30°+ cos45°sin 30°=
2. 问题1：奇函数有③⑤；偶函数有①②；
问题2：证明：
∵当x≠0时，
f（-x）=-x+=-（x+）=-f（x），
∴ y=x是奇函数，
∵ f（-x）=（-x）-2-2-x=x-2-2x=f（x），
∴ y=x-2-2x是偶函数．