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【摘 要】高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。数学是思维的体操，思维是学习数学的灵魂。对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解。我们可以立足一题多解的数学思维，完善和丰富知识结构，以更理性的眼光去思考数学问题，领悟数学思想。“一题多解”让课堂充满灵动的数学思想，让思维绽放精彩。
【关键词】一题多解；数学思想；数学思维
《高中数学新课程标准》课程的基本理念指出：高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。新课程目标对老师的教学提出了新的挑战的同时，对我们学生的数学思维品质和数学素养提出了新的要求。为此笔者所在学校在拓展课程中开设了“数学素养课”。旨在拓展我们学生数学思维，积累学生数学基本经验，提升学生数学素养。学生该怎样围绕教材在教师的精心引导下，更好地践行新课标核心理念呢？笔者认为学生尽可能多的立足一题多解的数学活动课是践行课标的关键环节之一。笔者结合自己在“数学素养课”中的实践，以课堂授课题源为载体，就张角最值问题撷以类述。
一、立足一题多解，完善知识思维结构
数学是思维的体操，思维是学习数学的灵魂，学生尽可能多的参与一题多解的数学活动课，在老师精心引导下，一题多解让我们学生学会思考，学会用数学思想武装自己，学生知识系统必将得以建构，知识结构必将得以完善。
课例1（初中平面几何题）如图，在四边形ABCD中，有AD//BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12。如图，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由。
探寻轨迹：对张角求最值，这对初中学生来说极其陌生。少数有解题经验的学生会先求出动点P在几个特殊静态位置时cos∠BPC的大小，再比较猜想结论：P点在BC的垂直平分线与AD交点处时cos∠BPC的值最小，然后通过构造辅助圆如解答图③，应用“同弧所对圆周角大于圆外角”去证明∠BPC最大，最后利用勾股定理求出构造圆的半径继而顺利求出cos∠BPC最小值。
上述方法是借助构造辅助圆去解决问题。如果想不出这个辅助圆，解答便陷入“死胡同”，怎样冲出“死角”，笔者从高中学生的探究角度，有以下几种思路来确定动点P的位置，从而解决问题，方法如下：
方法一正弦定理：BC=2Rsin∠BPC，当△BPC的外接圆的半径R最小时，sin∠BPC的值最大，由锐角三角函数的增减性得∠BPC最大，cos∠BPC的值最小。而当△BPC的外接圆的半径R最小时，△BPC的外接圆与AD相切，切点为P点，也即点P的位置是线段BC垂直平分线与AD的交点。怎样求cos∠BPC的最小值？如解答图③，利用∠BPC=∠BOQ转化到直角△BOQ中，应用勾股定理得到方程62+（4-R）2=R2解得圆的半径为，于是得出cos∠BPC=cos∠BOQ==，也即cos∠BPC的值最小为。
方法二余弦定理：如解答图③设P′P=a，其中P点是线段BC垂直平分线与AD的交点，由余弦定理得
方法三三角形面积公式：S=BP×PC×sin∠BPC=24，要使cos∠BPC最小也就是使sin∠BPC最大，故只需BP×PC的值最小，由方法二得BP×CP=×=，显然，当a=0时即P′与P点重合时，BP×PC的值最小为84，sin∠BPC的最大值是，由此得cos∠BPC的值最小。
方法四建立平面直角坐标系：如解答图③中以B点为坐标原点建立平面直角坐标系，则B（0，0）、C（12，0），设P（x，4），其中4≤x≤12，由平面上两直线的夹角公式（类比正切的和差公式）得：
tan∠BPC===，当x=6时即P′与P点重合时tan∠BPC有最大值4，此时∠BPC最大，由同角三角函数之间的关系，可计算出此时cos∠BPC的值最小。
数学学科特点要求学生掌握知识必须尽可能系统、完整，如对张角求最值，就会将相关三角函数的知识点整合、联系在一起，从而衍生出多种解题思路，形成链条反应。因此立足一题多解，学生知识系统必将得以建构，知识结构必将得以完善，而且反过来还可以促进学生发散思维的发展。因为掌握知识越全面和牢固，发散的角度越多，可以帮助学生维持一种思维的灵动状态，也可以帮助学生完善和丰富知识思维结构。
二、立足一题多解，培养理性数学思维
人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。一题多解的数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。
课例2（高中立体几何应用题）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练。已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15cm，AC=25cm，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是______。（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）
解法探密：如图，在墙面内过动点P做墙面与地面ABC之交线BC的投影点P′（P′可能落在线段CB的内部或外部）由题意可知∠PAP′=θ，设PP′=x（x>0）由直角△PAP′中∠BCM=30°可得CP′=x，AP′==，则f（x）=tanθ==，
问题转化为求目标函数f（x）的最大值，而f（x）=
=，要求函数f（x）的最大值，只要通过求分母部分的最值，而分母部分是二次函数结构，由二次函数配方法可得当x=时tanθ有最大值。上述解法关键归结为建立数学模型和解决模型，虽然完成了建模，但是解模又是一大难点，解模方法还可以用求导的方法求函数最值。 解密心路：首先初读题源，感觉情境熟悉、题目简洁、图形清晰、背景公平，熟悉的背景冲淡了对压轴填空题的“恐惧”。最后冷静思考：第一思路就是从直观几何图形结合运动与变化的观点进行粗略分析，找几个特殊位置，同时受“分母越小，分数值越大”的牵引，使得当分母AP′达到临界最小值AB时，tanθ达到临界的最大值是。这种粗略的特殊位置极端处理解决压轴填空题是比较冒险的。于是再深入读题，整理点动牵引线动的顺序：“P点动→投影点P′动→线段PP′与AP′长度变→比值tanθ变”，而线段PP′与AP′长度变化的速度不一样，所以思路一粗略的特殊位置极端处理方法是不妥的，于是有了思路二：用代数的方法研究动态几何图形，如解法探密的两种方法，充分体现了数学核心概念如函数，和数学思想如建模化归、数形结合等，同时，学生一题多解蕴含着个性思维，能“数学”的思考并尝试解决一些现实生活中的问题时，不但可以培养学生的理性数学思维能力，又能辐射个性思维特色。立足一题多解，可使学生的思维纵横交错，冲破常规思维的束缚，挖掘思维潜能，形成理性的数学思维。
三、立足一题多解，让数学思想灵动课堂
布鲁纳曾经说过“探索，是数学教学的生命线”，而一题多解是学生探索的源泉，是数学课堂发散的思维调动。而发散思维可以帮助维持一种灵敏的状态，往往容易调动学生的积极性，提高学生的兴趣和热情，让课堂充满“生本”。在课堂上展开一题多解，学生思维不拘泥于一个方向、一个框架，而向四面八方延伸，开放性的思维为课堂注入生机，使课堂充满灵动。同时体现出不同的数学思想方法的运用，上面课例1和课例2，从题目形式来说都是求张角最值，核心的解题思路一致，即通过相同的化归转化方式，变为求二次函数最值， 充分体现数学建模思想、函数思想、化归思想、数形结合思想等，这些思想方法的应用，可以极大开拓学生的思维空间，也为数学课堂注入生机和活力。一题多解是体现数学思想的灵魂，高中数学思想是高中数学的精髓，在多解中渗透数学思想方法，提升学生的数学素养，培养多元思维和创新能力。
在笔者学校的“数学素养课”活动中，老师经常会给我们学生提供较多的解题方法，旨在提高学生的解题能力，激发学习兴趣。但有时听到学生抱怨；“这么多种方法，我都不知道用哪种，方法越多，反而解题思路越混乱。”反思学生的抱怨，形式化的“一题多解”需要避免。解题的过程中，不能只停留在找到答案或得到泛泛的解题方法之上，而应该立足一题多解，进行反思和系统化，完善和丰富知识结构，以更理性的眼光去思考数学问题，领悟数学思想。对各种解题方法进行差异比较，溯本逐源，对问题深入反思。立足“一题多解”让课堂充满灵动，让思维绽放精彩。
【参考文献】
[1]戴志军.倩影重来 形数结合.中学教研（数学），2014（8）
[2]纪宏伟.对一题多解教学的思考.中学数学月刊，2014（6）
【关键词】一题多解；数学思想；数学思维
《高中数学新课程标准》课程的基本理念指出：高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。新课程目标对老师的教学提出了新的挑战的同时，对我们学生的数学思维品质和数学素养提出了新的要求。为此笔者所在学校在拓展课程中开设了“数学素养课”。旨在拓展我们学生数学思维，积累学生数学基本经验，提升学生数学素养。学生该怎样围绕教材在教师的精心引导下，更好地践行新课标核心理念呢？笔者认为学生尽可能多的立足一题多解的数学活动课是践行课标的关键环节之一。笔者结合自己在“数学素养课”中的实践，以课堂授课题源为载体，就张角最值问题撷以类述。
一、立足一题多解，完善知识思维结构
数学是思维的体操，思维是学习数学的灵魂，学生尽可能多的参与一题多解的数学活动课，在老师精心引导下，一题多解让我们学生学会思考，学会用数学思想武装自己，学生知识系统必将得以建构，知识结构必将得以完善。
课例1（初中平面几何题）如图，在四边形ABCD中，有AD//BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12。如图，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由。
探寻轨迹：对张角求最值，这对初中学生来说极其陌生。少数有解题经验的学生会先求出动点P在几个特殊静态位置时cos∠BPC的大小，再比较猜想结论：P点在BC的垂直平分线与AD交点处时cos∠BPC的值最小，然后通过构造辅助圆如解答图③，应用“同弧所对圆周角大于圆外角”去证明∠BPC最大，最后利用勾股定理求出构造圆的半径继而顺利求出cos∠BPC最小值。
上述方法是借助构造辅助圆去解决问题。如果想不出这个辅助圆，解答便陷入“死胡同”，怎样冲出“死角”，笔者从高中学生的探究角度，有以下几种思路来确定动点P的位置，从而解决问题，方法如下：
方法一正弦定理：BC=2Rsin∠BPC，当△BPC的外接圆的半径R最小时，sin∠BPC的值最大，由锐角三角函数的增减性得∠BPC最大，cos∠BPC的值最小。而当△BPC的外接圆的半径R最小时，△BPC的外接圆与AD相切，切点为P点，也即点P的位置是线段BC垂直平分线与AD的交点。怎样求cos∠BPC的最小值？如解答图③，利用∠BPC=∠BOQ转化到直角△BOQ中，应用勾股定理得到方程62+（4-R）2=R2解得圆的半径为，于是得出cos∠BPC=cos∠BOQ==，也即cos∠BPC的值最小为。
方法二余弦定理：如解答图③设P′P=a，其中P点是线段BC垂直平分线与AD的交点，由余弦定理得
方法三三角形面积公式：S=BP×PC×sin∠BPC=24，要使cos∠BPC最小也就是使sin∠BPC最大，故只需BP×PC的值最小，由方法二得BP×CP=×=，显然，当a=0时即P′与P点重合时，BP×PC的值最小为84，sin∠BPC的最大值是，由此得cos∠BPC的值最小。
方法四建立平面直角坐标系：如解答图③中以B点为坐标原点建立平面直角坐标系，则B（0，0）、C（12，0），设P（x，4），其中4≤x≤12，由平面上两直线的夹角公式（类比正切的和差公式）得：
tan∠BPC===，当x=6时即P′与P点重合时tan∠BPC有最大值4，此时∠BPC最大，由同角三角函数之间的关系，可计算出此时cos∠BPC的值最小。
数学学科特点要求学生掌握知识必须尽可能系统、完整，如对张角求最值，就会将相关三角函数的知识点整合、联系在一起，从而衍生出多种解题思路，形成链条反应。因此立足一题多解，学生知识系统必将得以建构，知识结构必将得以完善，而且反过来还可以促进学生发散思维的发展。因为掌握知识越全面和牢固，发散的角度越多，可以帮助学生维持一种思维的灵动状态，也可以帮助学生完善和丰富知识思维结构。
二、立足一题多解，培养理性数学思维
人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。一题多解的数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。
课例2（高中立体几何应用题）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练。已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15cm，AC=25cm，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是______。（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）
解法探密：如图，在墙面内过动点P做墙面与地面ABC之交线BC的投影点P′（P′可能落在线段CB的内部或外部）由题意可知∠PAP′=θ，设PP′=x（x>0）由直角△PAP′中∠BCM=30°可得CP′=x，AP′==，则f（x）=tanθ==，
问题转化为求目标函数f（x）的最大值，而f（x）=
=，要求函数f（x）的最大值，只要通过求分母部分的最值，而分母部分是二次函数结构，由二次函数配方法可得当x=时tanθ有最大值。上述解法关键归结为建立数学模型和解决模型，虽然完成了建模，但是解模又是一大难点，解模方法还可以用求导的方法求函数最值。 解密心路：首先初读题源，感觉情境熟悉、题目简洁、图形清晰、背景公平，熟悉的背景冲淡了对压轴填空题的“恐惧”。最后冷静思考：第一思路就是从直观几何图形结合运动与变化的观点进行粗略分析，找几个特殊位置，同时受“分母越小，分数值越大”的牵引，使得当分母AP′达到临界最小值AB时，tanθ达到临界的最大值是。这种粗略的特殊位置极端处理解决压轴填空题是比较冒险的。于是再深入读题，整理点动牵引线动的顺序：“P点动→投影点P′动→线段PP′与AP′长度变→比值tanθ变”，而线段PP′与AP′长度变化的速度不一样，所以思路一粗略的特殊位置极端处理方法是不妥的，于是有了思路二：用代数的方法研究动态几何图形，如解法探密的两种方法，充分体现了数学核心概念如函数，和数学思想如建模化归、数形结合等，同时，学生一题多解蕴含着个性思维，能“数学”的思考并尝试解决一些现实生活中的问题时，不但可以培养学生的理性数学思维能力，又能辐射个性思维特色。立足一题多解，可使学生的思维纵横交错，冲破常规思维的束缚，挖掘思维潜能，形成理性的数学思维。
三、立足一题多解，让数学思想灵动课堂
布鲁纳曾经说过“探索，是数学教学的生命线”，而一题多解是学生探索的源泉，是数学课堂发散的思维调动。而发散思维可以帮助维持一种灵敏的状态，往往容易调动学生的积极性，提高学生的兴趣和热情，让课堂充满“生本”。在课堂上展开一题多解，学生思维不拘泥于一个方向、一个框架，而向四面八方延伸，开放性的思维为课堂注入生机，使课堂充满灵动。同时体现出不同的数学思想方法的运用，上面课例1和课例2，从题目形式来说都是求张角最值，核心的解题思路一致，即通过相同的化归转化方式，变为求二次函数最值， 充分体现数学建模思想、函数思想、化归思想、数形结合思想等，这些思想方法的应用，可以极大开拓学生的思维空间，也为数学课堂注入生机和活力。一题多解是体现数学思想的灵魂，高中数学思想是高中数学的精髓，在多解中渗透数学思想方法，提升学生的数学素养，培养多元思维和创新能力。
在笔者学校的“数学素养课”活动中，老师经常会给我们学生提供较多的解题方法，旨在提高学生的解题能力，激发学习兴趣。但有时听到学生抱怨；“这么多种方法，我都不知道用哪种，方法越多，反而解题思路越混乱。”反思学生的抱怨，形式化的“一题多解”需要避免。解题的过程中，不能只停留在找到答案或得到泛泛的解题方法之上，而应该立足一题多解，进行反思和系统化，完善和丰富知识结构，以更理性的眼光去思考数学问题，领悟数学思想。对各种解题方法进行差异比较，溯本逐源，对问题深入反思。立足“一题多解”让课堂充满灵动，让思维绽放精彩。
【参考文献】
[1]戴志军.倩影重来 形数结合.中学教研（数学），2014（8）
[2]纪宏伟.对一题多解教学的思考.中学数学月刊，2014（6）