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考点1 事件的分类
例1 请指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？
（1）抛一石块，下落；
（2）在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；
（3）某人射击一次，中靶；
（4）抛掷一枚硬币4次出现两次正面和两次反面；
（5）导体通电后，发热；
（6）从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签；
（7）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；
（8）没有水份，种子能发芽；
（9）在常温下，焊锡熔化.
解析 事件（1）（5）是必然事件；事件（2）（8）（9）是不可能事件；事件（3）（4）（6）（7）是随机事件.
点拨 （1）虽然随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性.（2）事件的结果是对“一定条件”而言的.因此，要弄清某一随机事件，必须明确何为事件发生的条件、何为此条件下产生的结果.
考点2 概率与频率的关系
例2 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
[射击次数[n]＼&10 ＼&20 ＼&50 ＼&100 ＼&200 ＼&500＼&击中靶心次数[m] ＼&8＼&19＼&44＼&92＼&178＼&455＼&击中靶心的频率[mn]＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&]
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？
分析 事件[A]出现的频数[m]与试验次数[n]的比值即为事件[A]的频率，当事件[A]发生的频率[fn（A）]稳定在某个常数上时，这个常数即为事件[A]的概率.
解 （1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
（2）由于频率稳定在常数0.89，所以这个射手击一次，击中靶心的概率约是0.89.
点拨 概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之.
考点3 等可能性事件的概率
例3 设有[n]个人，每个人都等可能地被分配到[N]个房间中的任意一间去住（[n]≤[N]），求下列事件的概率.
（1）指定的[n]个房间各有一个人住；
（2）恰好有[n]个房间，其中各住一人.
分析 每个人有[N]个房间可供选择，所以[n]个人住的方式共有[Nn] 种，它们是等可能的.
解 （1）指定[n]个房间各有一个人住记作事件A：可能的总数为[n]！则 [P（A）=n！Nn].
（2）恰好有[n]个房间其中各住一人记作事件[B]，则这[n]个房间从[N]个房间中任选共有[CnN]个， 由（1）可知：[P（B）=CnN?n！Nn].
点拨 （1）对于等可能的事件，我们可以利用组合分析法来计算其概率，关键是寻求等可能事件的总数和事件的发生数.（2）“至少”型的问题一般有正向思考与逆向思考两种思路，且逆向思考可使一些较为复雜的问题得到简化.
考点4 互斥事件和对立事件的概率
例4 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件[A]）的概率是[14]，取到方块（事件[B]）的概率是[14]，问：
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
分析 事件[C]是事件[A]与事件[B]的并，且[A]与[B]互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求解. 事件[C]与事件[D]是对立事件，因此[P（D）=1-P（C）].
解 （1）[P（C）=P（A）+P（B）=14]+[14]=[12].
（2）[P（D）=1-P（C）=12].
例5 一盒中装有各色球共12只，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.现从中随机取出1球，求：
（1）取出1球是红球或黑球的概率；
（2）取出的1球是红球或黑球或白球的概率.
解析 法一：（1）从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5+4=9种不同取法，任取1球，有12种取法.故任取1球得红球或黑球的概率为[P1=912=34].
（2）从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法，从而得红球或黑球或白球的概率为[P2=5+4+212=1112].
法二：（利用互斥事件求概率）
记事件[A1]={任取1球为红球}，[A2]={任取1球为黑球}，[A3]={任取1球为白球}，[A4]={任取1球为绿球}，则[P（A1）=512，P（A2）=412，P（A3）=212，P（A4）=112].
根据题意知，事件[A1，A2，A3，A4]彼此互斥，由互斥事件概率加法公式，得
（1）取出1球为红球或黑球的概率为[P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=512+412=34]；
（2）取出1球为红球或黑球或白球的概率为
[P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=512+412+212=1112.]
法三：（利用对立事件求概率的方法）
（1）由解法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1白球或绿球，即[A1+A2]的对立事件为[A3+A4]，所以取得1红球或黑球的概率为[P（A1+A2）=1-P（A3）-P（A4）=1-212-112=34].
（2）[A1+A2+A3]的对立事件为[A4]，所以[P（A1+A2+A3）=1-P（A4）=1-112=1112].
点拨 （1）解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件，再决定使用哪个公式，不要乱套公式而导致出错.（2）注意分类讨论和等价转化数学思想的运用.
练习
1. 下列事件中，是随机事件的是（ ）
①从10个玻璃杯（其中8个正品，2个次品）中，任取3个，3个都是次品 ②同一门炮向同一个目标发射多发炮弹，其中50%的炮弹击中目标 ③某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰巧是朋友的电话号码 ④异性电荷，相互吸引 ⑤体操运动员滕海滨将在2008年奥运会上夺得冠军 ⑥某人购买福利彩票中得大奖
A. ②③④ B. ①③⑤⑥
C. ②③⑤⑥ D. ②③⑤
2. 甲、乙两个人下棋，甲胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙两人下和棋的概率为 .
3. 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为[13]，得到黑球或黄球的概率是[512]，得到黄球或绿球的概率也是[512]，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
参考答案
1. D 2. 0.5 3. [14]，[16]，[14]
例1 请指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？
（1）抛一石块，下落；
（2）在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；
（3）某人射击一次，中靶；
（4）抛掷一枚硬币4次出现两次正面和两次反面；
（5）导体通电后，发热；
（6）从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签；
（7）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；
（8）没有水份，种子能发芽；
（9）在常温下，焊锡熔化.
解析 事件（1）（5）是必然事件；事件（2）（8）（9）是不可能事件；事件（3）（4）（6）（7）是随机事件.
点拨 （1）虽然随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性.（2）事件的结果是对“一定条件”而言的.因此，要弄清某一随机事件，必须明确何为事件发生的条件、何为此条件下产生的结果.
考点2 概率与频率的关系
例2 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
[射击次数[n]＼&10 ＼&20 ＼&50 ＼&100 ＼&200 ＼&500＼&击中靶心次数[m] ＼&8＼&19＼&44＼&92＼&178＼&455＼&击中靶心的频率[mn]＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&]
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？
分析 事件[A]出现的频数[m]与试验次数[n]的比值即为事件[A]的频率，当事件[A]发生的频率[fn（A）]稳定在某个常数上时，这个常数即为事件[A]的概率.
解 （1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
（2）由于频率稳定在常数0.89，所以这个射手击一次，击中靶心的概率约是0.89.
点拨 概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之.
考点3 等可能性事件的概率
例3 设有[n]个人，每个人都等可能地被分配到[N]个房间中的任意一间去住（[n]≤[N]），求下列事件的概率.
（1）指定的[n]个房间各有一个人住；
（2）恰好有[n]个房间，其中各住一人.
分析 每个人有[N]个房间可供选择，所以[n]个人住的方式共有[Nn] 种，它们是等可能的.
解 （1）指定[n]个房间各有一个人住记作事件A：可能的总数为[n]！则 [P（A）=n！Nn].
（2）恰好有[n]个房间其中各住一人记作事件[B]，则这[n]个房间从[N]个房间中任选共有[CnN]个， 由（1）可知：[P（B）=CnN?n！Nn].
点拨 （1）对于等可能的事件，我们可以利用组合分析法来计算其概率，关键是寻求等可能事件的总数和事件的发生数.（2）“至少”型的问题一般有正向思考与逆向思考两种思路，且逆向思考可使一些较为复雜的问题得到简化.
考点4 互斥事件和对立事件的概率
例4 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件[A]）的概率是[14]，取到方块（事件[B]）的概率是[14]，问：
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
分析 事件[C]是事件[A]与事件[B]的并，且[A]与[B]互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求解. 事件[C]与事件[D]是对立事件，因此[P（D）=1-P（C）].
解 （1）[P（C）=P（A）+P（B）=14]+[14]=[12].
（2）[P（D）=1-P（C）=12].
例5 一盒中装有各色球共12只，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.现从中随机取出1球，求：
（1）取出1球是红球或黑球的概率；
（2）取出的1球是红球或黑球或白球的概率.
解析 法一：（1）从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5+4=9种不同取法，任取1球，有12种取法.故任取1球得红球或黑球的概率为[P1=912=34].
（2）从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法，从而得红球或黑球或白球的概率为[P2=5+4+212=1112].
法二：（利用互斥事件求概率）
记事件[A1]={任取1球为红球}，[A2]={任取1球为黑球}，[A3]={任取1球为白球}，[A4]={任取1球为绿球}，则[P（A1）=512，P（A2）=412，P（A3）=212，P（A4）=112].
根据题意知，事件[A1，A2，A3，A4]彼此互斥，由互斥事件概率加法公式，得
（1）取出1球为红球或黑球的概率为[P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=512+412=34]；
（2）取出1球为红球或黑球或白球的概率为
[P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=512+412+212=1112.]
法三：（利用对立事件求概率的方法）
（1）由解法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1白球或绿球，即[A1+A2]的对立事件为[A3+A4]，所以取得1红球或黑球的概率为[P（A1+A2）=1-P（A3）-P（A4）=1-212-112=34].
（2）[A1+A2+A3]的对立事件为[A4]，所以[P（A1+A2+A3）=1-P（A4）=1-112=1112].
点拨 （1）解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件，再决定使用哪个公式，不要乱套公式而导致出错.（2）注意分类讨论和等价转化数学思想的运用.
练习
1. 下列事件中，是随机事件的是（ ）
①从10个玻璃杯（其中8个正品，2个次品）中，任取3个，3个都是次品 ②同一门炮向同一个目标发射多发炮弹，其中50%的炮弹击中目标 ③某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰巧是朋友的电话号码 ④异性电荷，相互吸引 ⑤体操运动员滕海滨将在2008年奥运会上夺得冠军 ⑥某人购买福利彩票中得大奖
A. ②③④ B. ①③⑤⑥
C. ②③⑤⑥ D. ②③⑤
2. 甲、乙两个人下棋，甲胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙两人下和棋的概率为 .
3. 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为[13]，得到黑球或黄球的概率是[512]，得到黄球或绿球的概率也是[512]，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
参考答案
1. D 2. 0.5 3. [14]，[16]，[14]