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【摘 要】《数学课程标准》提出：有效的数学活动不能单纯地依赖模仿与记忆，自主探究是学生学习数学的重要方式。教师应当在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，激发学生学习的积极主动性，向学生提供充分从事数学活动的机会，引导学生在自主探究的学习中参与知识的形成过程。本文以“圆的面积”一课为例立足自主探究，追求简约求实。从而真正实现规律让学生自主发现，方法让学生自主寻找，思路让学生自主探究，问题让学生自主解决的目的。
【关键词】自主探究性学习；已有经验；简约求实
《数学课程标准》提出：有效的数学活动不能单纯地依赖模仿与记忆，自主探究是学生学习数学的重要方式。我们现在所讲的自主探究性学习是指通过学生自主独立的发现问题，实验、操作、调查、收集与处理信息、表达等探索活动，获得知识、技能、情感与态度的发展，特别是探索精神和创新能力的发展的学习方式和学习过程。这种学习方式强调的是主动参与，关注的是应该信任学生、肯定学生，放手让学生尽情地发挥自己的聪明才智，让学生自主发现规律，让学生自主寻找方法，让学生自主探究思路，让学生自主解决问题。
本文试以《圆的面积》教学为例，谈谈如何在课堂教学中引导学生在自主探究的学习中参与知识的形成过程，让学生通过剪、拼的方法，把它转化成已学过的图形（平行四边形、长方形、三角形、梯形等）来推导它的面积公式的。在实践教学中，教者往往会抛出这些常规问题：
回忆一下，以前我们学过了哪些平面图形？它们的面积公式分别是什么？分别怎样推导出来的？
以上这些图形都是通过剪、拼等方式转化成已学过的图形，再进行推导计算公式的。那么圆是否也可以通过剪、拼等这样的方式把它转化成熟悉的平面图形，而推导出它的面积计算公式呢？
接下来就是要学生将圆平均分成若干等份，拼成一个近似的平行四边形、近似的长方形，再接下来就是按长方形的面积公式来推导出圆面积的计算公式S=πr2。
可当我们执教者进行这些环节的教学时，真实的教学情况总是老师对学生缺乏信任，能自己通过努力探究得出结论的学生还是比较少，很多的学生还是在被老师牵着思维跟着在走。学生丝毫没有独立性、主动性，因而根本谈不上学生自主探究。所以就产生了这些疑问：
1.如果课前不安排学生自学，大多数学生不知道图形圆，可以转化为学过的图形。更想不到由“圆”变“方”、化“曲”为“直”的方法。
2.如果让学生自学，学生势必会受书本与学具的影响，学生的思维常常会固定在将圆转换成近似的长方形，体现不出自主探究性学习的任何优势。
3.当然，如果我们在课堂上把所有时间都放到自主探究圆的面积公式的推导上，也会造成在规定的课堂教学时间内完成不了教学任务。
那么，围绕“圆的面积”究竟怎样让学生进行自主探究式学习，怎样让学生想到把图形圆，可以转化成学过的平面图形？怎样让学生体验到自主探究的乐趣，又能体现课堂教学简约问题？当笔者我又一次遇到这一内容，不由地想起无锡一位老师曾经的想法，开辟课外实践阵地，进行“圆的面积”自主探究性教学。我们不妨一试。
1.教学“圆的认识”后，笔者给学生留了一份实践作业：画一个半径为6厘米的圆，你能将它平均分成几份呢？把每一份剪下来。第二天在学习小组中交流你的做法和想法。
2.第二天与学生交流家庭作业情况，发现如下情况：
①学生将图形圆，平均分成4份、8份的比较多。4等份的同学有采用对折的方法，也有采用在圆内画两条垂直的直径的方法。8等份的同学基本采用对折的方法。
②有一名学生将图形圆，平均分成了36份。他说：“我在量角器上刻度线的启发下，先将半个圆分别平均分成18份，最后就把整个圆分成了36等份。”
③有一名学生将图形圆，平均分成了9份。他说：“我在做这个作业时，教中学数学的老爸看见了，老爸说：‘将圆平均分成4份、8份、16份太简单，如果能平均分成5份、6份、9份那才了不起’。老爸可是给我出了难题，我想破了头也没做出来，后来还是老爸帮我解了围。只要用360°除以平均分的份数，就得到每个角的度数，然后在圆内画一条半径，按照刚才的角度画出其他的半径就行了。”
……
家长的参与使本次课外实践作业增色不少，学生的交流、思维的碰撞使作业的效能最大化。于是笔者趁热打铁，布置第二次作业：听了同学们等分圆的方法，相信你会有更多的启发，你愿意改进吗？画一个直径为16厘米的圆，将它平均分成若干份，把每一份剪下来，并把它们拼成其他图形。
几天后，正式步入“圆的面积”教学。可想而知，当笔者提出那个常规问题后，学生的学习状态顺应自然，水到渠成，笔者再也没有了“学生怎么能想到把圆变成近似的长方形、（三角形、梯形）”的尴尬，在自主探究学习中，学生也运用多种途径推导出了圆的面积公式。
笔者对这个课外实践作业的设计其实是对“圆的面积”一课教学的预设与铺垫。但通过这具体的做法，笔者对数学课堂的自主探究性学习有了新的思考：
一、自主探究——充分“相信”学生
传统教学模式的弊端在于：教师在课堂的突出地位将学生的主体角色取而代之，学生在“言听计从”中被动学习，因而，学生的思维长期停留于模仿和机械记忆，其发展空间也随之受到约束。可见，要使学生能够自主探究，教师首先要“让位”，教师应给学生多一点的思维空间和活动余地，凡是学生能探究得出的决不取而代之；凡是学生能独立思考的，决不急于求成。给学生一个发展的平台，给学生多一点表现的机会，给学生多一点自主探究的喜悦。以《圆的面积》的教学为例，教学时，教师作为引导者只是给学生指明了探究的方向，而把探究的过程留给学生。学生则借助已有知识，在已经学过了三角形、平行四边形、梯形等公式推导的基础上，通过剪拼，把圆转化成学过的图形---近似的长方形、（三角形、梯形）等，让学生自己观察、分析、思考、探索，从中发现，体验算式之间的联系，从而推导出圆面积的计算公式S=πr2。在整个推导过程中，充分“相信”学生，学生始终以积极主动的状态参与学习讨论，共同经历知识的形成过程，体验成功的喜悦。同时也渗透了极限思想，使学生的空间观念得到较好的发展。通过这样一个探索的学习过程，学生找到了“圆的面积”的公式，也经历了观察、实验、归纳、类比、推理过程，而这一过程也正是自主探究学习的有机组成部分。 二、自主探究——基于已有“经验”
笔者一直想，为什么一开始在课堂上教师提出“圆可以转化成哪些学过的平面图形？”的问题，学生表现出束手无策与茫然，除了时间不够外，还在于已有的基本经验不足，没有由“圆”变“方”、化“曲”为“直”的经验。学生怎么可能在有限的时间内突然想到呢？把圆转化成近似的长方形本身是人类长期实践反复操作总结出的经验，现在要让学生在课堂上想到这一方法，无疑是牵强的，所以很多老师采用了课前预习或教师当场提醒。于是，笔者认为，进行“自主探究活动”时，设置的问题应该考虑学生的已有经验，对学生所具有的经验与能力进行透彻分析，对自主探究的的情景进行预设，否则“自主探究活动”只能成为一纸空文。如果学生已有的基本经验储备不足，那么教师就要运用智慧，帮助学生建立已有经验与探索活动的纽带。比如，笔者设置的课外实践作业，就是有意铺设了通向“寻找圆面积公式”的探索之路。学生在操作活动中，通过剪，找到了一些等分圆的方法，明确了半径在等分圆中的作用；通过拼，感受到了由“圆”变“方”、化“曲”为“直”的奇妙过程，在课外实践作业交流中，教师没有点破内在“玄机”，但学生的已有经验储备在逐渐丰富。这样的学习方式不仅有利于学生理解和掌握圆的面积的计算公式，而且培养了他们的思维能力、实践能力、探索精神。
三、自主探究——追求简约求实
新课程改革使数学课堂发生了翻天覆地的变化，可喜可贺。然而，现在的课堂似乎又走进了一个新的误区：教师津津乐道于教学过程的精雕细刻，这样的课堂实际上成了老师表演、出彩的舞台，教师满足于做一个“工笔画师”，拘小节而失大气。学生的主体性地位无法真正彻底发挥，“枝繁叶茂”却不见树干，数学课很难找到原汁原味的学科特有的“数学味”。
姆林斯基说过：“人的心理深处，都有一种根深蒂固的需要这就是希望自己是一个发现者，研究者，探索者。”《圆的面积》一课的教学，笔者没有局限书本上现成的方法，而是对教材作了大胆的处理，突出了“圆的面积”公式的探索与推导，为学生搭建了自由探究的平台，给学生充足的探索时空，引导学生从多方位去思考问题，让学生操作、思考，自主探究，自主发现，从而从不同的角度推出圆的面积计算公式，既培养了学生思维的灵活性，多向性，又使学生亲身经历了数学知识的形成过程，并有效地渗透了转化思想和数形结合思想，从中体会到数学思想和方法，同时培养了学生实践能力，探索精神和创新意思，发展了学生的个性。等等这些，就是让学生在自主探究的过程中还原“真正”的数学课堂。才会有浴火重生之后的豁然开朗之感，才会有发自内心深处的感叹：数学其实很有趣，课堂原来很简单。
我们清楚地看到，这种自主的探究性学习活动，改变了过去以传授知识为主的教学模式，形成了生动、活泼、创造性学习的新局面。让学生能说的说能做的做，能想的想能演的演，给学生多一点思考的时间，多一点活动的余地，多一点表现的机会，多一点体验成功的快乐。在知识的探究过程中，会促使每个学生从不同角度进行思维活动，从而使探究的成果更完善，更具有价值。
总而言之，自主探究性的学习方式不是孤立的，它应该让学生有更多的从事数学活动的机会，结合学生的认知发展水平，结合学生的已有经验，结合学生的动手实践等。而作为教师，应激励学生探究，引导学生探究，参与学生探究，并对学生的探究活动及时评价，这样教师的“主导”才是为学生的探究服务的，这样的课堂才是充满活力和惊喜的。
【参考文献】
[1]小学教学设计网：张彪，沈晓东.《一项连续性的探究作业》.2007.
[2]无锡新区教育网：钱科英.《探究：一项连续性的作业》
[3]黄吉俊.《自主探究、合作学习方式初探》
[4]王闻捷.《自主合作探究学习方法的研究》
[5]刘芬.《引导学生自主合作探究学习》
[6]吴康宁.谁是“迫害者”—儿童“受逼”学习的成因追询.《教育研究与实验》.2002
[7]袁振国.《教育新理念》.北京教育出版社，2002.
[8]余文森.论自主、合作、探究学习《教育研究》.2004.11
[9]平雅琴.浅谈自主合作探究性学习.《现代阅读（教育版）.2011.20
【作者简介】
谢安华，1968年生，1988年参加工作，小学高级教师，金陵中学河西分校小学部教科室主任。
（作者单位：江苏省南京市金陵中学河西分校小学部）
【关键词】自主探究性学习；已有经验；简约求实
《数学课程标准》提出：有效的数学活动不能单纯地依赖模仿与记忆，自主探究是学生学习数学的重要方式。我们现在所讲的自主探究性学习是指通过学生自主独立的发现问题，实验、操作、调查、收集与处理信息、表达等探索活动，获得知识、技能、情感与态度的发展，特别是探索精神和创新能力的发展的学习方式和学习过程。这种学习方式强调的是主动参与，关注的是应该信任学生、肯定学生，放手让学生尽情地发挥自己的聪明才智，让学生自主发现规律，让学生自主寻找方法，让学生自主探究思路，让学生自主解决问题。
本文试以《圆的面积》教学为例，谈谈如何在课堂教学中引导学生在自主探究的学习中参与知识的形成过程，让学生通过剪、拼的方法，把它转化成已学过的图形（平行四边形、长方形、三角形、梯形等）来推导它的面积公式的。在实践教学中，教者往往会抛出这些常规问题：
回忆一下，以前我们学过了哪些平面图形？它们的面积公式分别是什么？分别怎样推导出来的？
以上这些图形都是通过剪、拼等方式转化成已学过的图形，再进行推导计算公式的。那么圆是否也可以通过剪、拼等这样的方式把它转化成熟悉的平面图形，而推导出它的面积计算公式呢？
接下来就是要学生将圆平均分成若干等份，拼成一个近似的平行四边形、近似的长方形，再接下来就是按长方形的面积公式来推导出圆面积的计算公式S=πr2。
可当我们执教者进行这些环节的教学时，真实的教学情况总是老师对学生缺乏信任，能自己通过努力探究得出结论的学生还是比较少，很多的学生还是在被老师牵着思维跟着在走。学生丝毫没有独立性、主动性，因而根本谈不上学生自主探究。所以就产生了这些疑问：
1.如果课前不安排学生自学，大多数学生不知道图形圆，可以转化为学过的图形。更想不到由“圆”变“方”、化“曲”为“直”的方法。
2.如果让学生自学，学生势必会受书本与学具的影响，学生的思维常常会固定在将圆转换成近似的长方形，体现不出自主探究性学习的任何优势。
3.当然，如果我们在课堂上把所有时间都放到自主探究圆的面积公式的推导上，也会造成在规定的课堂教学时间内完成不了教学任务。
那么，围绕“圆的面积”究竟怎样让学生进行自主探究式学习，怎样让学生想到把图形圆，可以转化成学过的平面图形？怎样让学生体验到自主探究的乐趣，又能体现课堂教学简约问题？当笔者我又一次遇到这一内容，不由地想起无锡一位老师曾经的想法，开辟课外实践阵地，进行“圆的面积”自主探究性教学。我们不妨一试。
1.教学“圆的认识”后，笔者给学生留了一份实践作业：画一个半径为6厘米的圆，你能将它平均分成几份呢？把每一份剪下来。第二天在学习小组中交流你的做法和想法。
2.第二天与学生交流家庭作业情况，发现如下情况：
①学生将图形圆，平均分成4份、8份的比较多。4等份的同学有采用对折的方法，也有采用在圆内画两条垂直的直径的方法。8等份的同学基本采用对折的方法。
②有一名学生将图形圆，平均分成了36份。他说：“我在量角器上刻度线的启发下，先将半个圆分别平均分成18份，最后就把整个圆分成了36等份。”
③有一名学生将图形圆，平均分成了9份。他说：“我在做这个作业时，教中学数学的老爸看见了，老爸说：‘将圆平均分成4份、8份、16份太简单，如果能平均分成5份、6份、9份那才了不起’。老爸可是给我出了难题，我想破了头也没做出来，后来还是老爸帮我解了围。只要用360°除以平均分的份数，就得到每个角的度数，然后在圆内画一条半径，按照刚才的角度画出其他的半径就行了。”
……
家长的参与使本次课外实践作业增色不少，学生的交流、思维的碰撞使作业的效能最大化。于是笔者趁热打铁，布置第二次作业：听了同学们等分圆的方法，相信你会有更多的启发，你愿意改进吗？画一个直径为16厘米的圆，将它平均分成若干份，把每一份剪下来，并把它们拼成其他图形。
几天后，正式步入“圆的面积”教学。可想而知，当笔者提出那个常规问题后，学生的学习状态顺应自然，水到渠成，笔者再也没有了“学生怎么能想到把圆变成近似的长方形、（三角形、梯形）”的尴尬，在自主探究学习中，学生也运用多种途径推导出了圆的面积公式。
笔者对这个课外实践作业的设计其实是对“圆的面积”一课教学的预设与铺垫。但通过这具体的做法，笔者对数学课堂的自主探究性学习有了新的思考：
一、自主探究——充分“相信”学生
传统教学模式的弊端在于：教师在课堂的突出地位将学生的主体角色取而代之，学生在“言听计从”中被动学习，因而，学生的思维长期停留于模仿和机械记忆，其发展空间也随之受到约束。可见，要使学生能够自主探究，教师首先要“让位”，教师应给学生多一点的思维空间和活动余地，凡是学生能探究得出的决不取而代之；凡是学生能独立思考的，决不急于求成。给学生一个发展的平台，给学生多一点表现的机会，给学生多一点自主探究的喜悦。以《圆的面积》的教学为例，教学时，教师作为引导者只是给学生指明了探究的方向，而把探究的过程留给学生。学生则借助已有知识，在已经学过了三角形、平行四边形、梯形等公式推导的基础上，通过剪拼，把圆转化成学过的图形---近似的长方形、（三角形、梯形）等，让学生自己观察、分析、思考、探索，从中发现，体验算式之间的联系，从而推导出圆面积的计算公式S=πr2。在整个推导过程中，充分“相信”学生，学生始终以积极主动的状态参与学习讨论，共同经历知识的形成过程，体验成功的喜悦。同时也渗透了极限思想，使学生的空间观念得到较好的发展。通过这样一个探索的学习过程，学生找到了“圆的面积”的公式，也经历了观察、实验、归纳、类比、推理过程，而这一过程也正是自主探究学习的有机组成部分。 二、自主探究——基于已有“经验”
笔者一直想，为什么一开始在课堂上教师提出“圆可以转化成哪些学过的平面图形？”的问题，学生表现出束手无策与茫然，除了时间不够外，还在于已有的基本经验不足，没有由“圆”变“方”、化“曲”为“直”的经验。学生怎么可能在有限的时间内突然想到呢？把圆转化成近似的长方形本身是人类长期实践反复操作总结出的经验，现在要让学生在课堂上想到这一方法，无疑是牵强的，所以很多老师采用了课前预习或教师当场提醒。于是，笔者认为，进行“自主探究活动”时，设置的问题应该考虑学生的已有经验，对学生所具有的经验与能力进行透彻分析，对自主探究的的情景进行预设，否则“自主探究活动”只能成为一纸空文。如果学生已有的基本经验储备不足，那么教师就要运用智慧，帮助学生建立已有经验与探索活动的纽带。比如，笔者设置的课外实践作业，就是有意铺设了通向“寻找圆面积公式”的探索之路。学生在操作活动中，通过剪，找到了一些等分圆的方法，明确了半径在等分圆中的作用；通过拼，感受到了由“圆”变“方”、化“曲”为“直”的奇妙过程，在课外实践作业交流中，教师没有点破内在“玄机”，但学生的已有经验储备在逐渐丰富。这样的学习方式不仅有利于学生理解和掌握圆的面积的计算公式，而且培养了他们的思维能力、实践能力、探索精神。
三、自主探究——追求简约求实
新课程改革使数学课堂发生了翻天覆地的变化，可喜可贺。然而，现在的课堂似乎又走进了一个新的误区：教师津津乐道于教学过程的精雕细刻，这样的课堂实际上成了老师表演、出彩的舞台，教师满足于做一个“工笔画师”，拘小节而失大气。学生的主体性地位无法真正彻底发挥，“枝繁叶茂”却不见树干，数学课很难找到原汁原味的学科特有的“数学味”。
姆林斯基说过：“人的心理深处，都有一种根深蒂固的需要这就是希望自己是一个发现者，研究者，探索者。”《圆的面积》一课的教学，笔者没有局限书本上现成的方法，而是对教材作了大胆的处理，突出了“圆的面积”公式的探索与推导，为学生搭建了自由探究的平台，给学生充足的探索时空，引导学生从多方位去思考问题，让学生操作、思考，自主探究，自主发现，从而从不同的角度推出圆的面积计算公式，既培养了学生思维的灵活性，多向性，又使学生亲身经历了数学知识的形成过程，并有效地渗透了转化思想和数形结合思想，从中体会到数学思想和方法，同时培养了学生实践能力，探索精神和创新意思，发展了学生的个性。等等这些，就是让学生在自主探究的过程中还原“真正”的数学课堂。才会有浴火重生之后的豁然开朗之感，才会有发自内心深处的感叹：数学其实很有趣，课堂原来很简单。
我们清楚地看到，这种自主的探究性学习活动，改变了过去以传授知识为主的教学模式，形成了生动、活泼、创造性学习的新局面。让学生能说的说能做的做，能想的想能演的演，给学生多一点思考的时间，多一点活动的余地，多一点表现的机会，多一点体验成功的快乐。在知识的探究过程中，会促使每个学生从不同角度进行思维活动，从而使探究的成果更完善，更具有价值。
总而言之，自主探究性的学习方式不是孤立的，它应该让学生有更多的从事数学活动的机会，结合学生的认知发展水平，结合学生的已有经验，结合学生的动手实践等。而作为教师，应激励学生探究，引导学生探究，参与学生探究，并对学生的探究活动及时评价，这样教师的“主导”才是为学生的探究服务的，这样的课堂才是充满活力和惊喜的。
【参考文献】
[1]小学教学设计网：张彪，沈晓东.《一项连续性的探究作业》.2007.
[2]无锡新区教育网：钱科英.《探究：一项连续性的作业》
[3]黄吉俊.《自主探究、合作学习方式初探》
[4]王闻捷.《自主合作探究学习方法的研究》
[5]刘芬.《引导学生自主合作探究学习》
[6]吴康宁.谁是“迫害者”—儿童“受逼”学习的成因追询.《教育研究与实验》.2002
[7]袁振国.《教育新理念》.北京教育出版社，2002.
[8]余文森.论自主、合作、探究学习《教育研究》.2004.11
[9]平雅琴.浅谈自主合作探究性学习.《现代阅读（教育版）.2011.20
【作者简介】
谢安华，1968年生，1988年参加工作，小学高级教师，金陵中学河西分校小学部教科室主任。
（作者单位：江苏省南京市金陵中学河西分校小学部）