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[摘要]由于通货膨胀在国内关注度的显著提高，通货膨胀指数型衍生证券已经得到学术领域的高度重视。本文主要对该类产品定价方法的国内外研究成果进行分析和评述。首先，分析了广泛应用于通货膨胀指数型衍生产品定价相关的各类参数的模型；在此基础上，分析和评述了JY模型及市场模型对该类产品的研究进展；最后，总结了目前该类产品定价研究成果的不足，并提出进一步研究的思路和设想。
[关键字]通货膨胀指数 HJM模型 JY模型 市场模型 衍生证券定价
引言
随着国内通货膨胀现象的日益严重，国内宏观政策的力度也不断增大，通货膨胀成为一个关系民生及经济发展的重要问题。除了政策上要抑制通货膨胀的加深，保持资产的保值增值性，金融市场的发展及金融衍生工具的开发也成为了十分有效的方法。
通货膨胀指数型衍生工具作为一种新型的金融产品，已于80年代出现于发达的资本市场，例如，美国、英国、欧洲等，其显著特征是挂钩的指数为通货膨胀率。目前，通货膨胀指数型衍生工具主要有通货膨胀指数型保护债券(TIPS)、零息通货膨胀指数型互换(zero Conpon Inflation-Indexed Swaps，簡写为ZCIIS)、按年回报通货膨胀指数型互换(Year-on-Year Inflation-Indexed Swaps，简写为YYIIS)、通货膨胀指数型上限及下限(Inflation-Indexed Caps and Floors简写为IIC和IIF)、通货膨胀指数型互换期权(Inflation-Indexed Swaptions，简写为IISW)。
一 关于通货膨胀指数型衍生产品定价的主要流派研究
Foreign Currency Analogy(简写为FCA)是一种通货膨胀指数型衍生产品定价的标准方法，也是比较成熟的方法，主要思路是：实际利率被定义为名义利率和通货膨胀率之间的差额，并被看成是外国货币利率，而CPI被看成是国内货币和国外货币之间的汇率。为了通货膨胀指数型衍生产品的定价，我们需要对名义(国内)货币利率、实际(国外)货币利率及CPI(汇率)进行建模。
另外一种模型为市场模型。市场模型对一些特殊的可观测到的与通货膨胀挂钩的变量，例如CPI指数、实际零息债券的远期价格，采用对数正态分布的动态过程。最近，根据这种理论思路，许多学者又在此基础上，加入了随机波动率动态模型以及跳跃扩散模型。虽然市场模型在FCA基础上，有了很大的改进，并且大部分模型在为一些特殊的通货膨胀指数型衍生产品定价时，可以得到闭形解，但仍然有一些缺陷，例如凸性的问题、没有合适的名义利率和通货膨胀率期限结构模型等。
二 关于主要参数的利率动态过程假设的研究分析
(一)FCA基本方法及其扩展
通货膨胀指数型衍生产品研究较早是由Hughston(1998)提出的，主要是依据(FCA)方法：名义资产被看成是国内资产，实际资产被看成是国外资产，CPI被看成是名义货币市场和实际货币市场之间的汇率；他认为，在HJM模型下，CPI、实际贴现债券、名义贴现债券具有相同的期限结构。在传统的HJM模型框架及一般性测度下，得到名义和实际贴现债券的随机方程和名义风险升水，从而得到CPI的动态过程及波动率形式，进而定义通货膨胀率为CPI的漂移项。然后转换到风险中性测度下，CPI动态方程漂移项中没有了名义风险升水，漂移项仅为名义利率和实际利率的差额。也正是以上推导，比较细致地阐述了FCA的概念。但是，他并有给出明确的衍生产品定价公式。
Jarrow和Yildirim(2003)一文中，利用HJM模型为TIPS和其他通货膨胀指数型衍生产品定价，并由此给出了在通货膨胀指数型衍生产品定价领域应用广泛的JY模型，该模型是后面许多模型的原型，并对市场模型也具有借鉴意义。文章首先从TIPS和传统美联储国债的市场价格中，利用HJM模型，得到名义零息债券和实际零息债券的价格。然后利用HJM三因素模型，得到CPI-U(Consumer Price Index for all Urban Consumers)、实际零息债券、名义零息债券的时间序列动态过程。简单扩展的Vasicek模型作为名义和实际利率期限结构，发现实际利率和通货膨胀率呈负相关。再次，根据TIPS在二级市场交易情况，利用估计的参数验证HJM模型的有效性，对冲分析证明了扩展的Vasicek模型的有效性。最后利用1Y模型对CPI-U通货膨胀指数型看涨期权定价，得到闭形解。Jarrow和Yildirim一个重要的假设是所有资产价格的波动率和CPI的波动率都是确定的，从而得到了明确的期权定价公式。
Laura Malvaez(2005)利用JY模型先对标的物ZCIIS和YYIIS定价，根据得到的互换率，并利用拟蒙特卡罗方法(Quasi-Monte Carlo Simulation)进行参数估计和定价，并引入了季节性问题，确定欧式互换期权的价格，这是在通货膨胀指数型互换期权定价领域的两个创新之处。他的研究结论认为，样本价值与理论价值十分接近；与其他模拟方法相比，QMC方法得到的价格更加精确；随着互换期权到期期限的延长，标的物的互换率逐渐变小，甚至变为负值，作者认为这是通货膨胀率动态模型假设所导致的结果。
Alan Stewart(2007)首先利用HuH-White波动率形式，得到零息债券期权的定价公式。将互换期权的价格看成是零息债券期权资产组合的价格，形成明确的互换期权定价公式。在文章的最后，作者对模型进行校准，并得出结论，模型模拟的YYIIS的互换率与市场数据十分接近，并随着期限的增加，拟合程度更高。
Mercurio(2008)提出的市场模型认为，通货膨胀市场模型不一定要依据远期CPI模型，可以与利率市场模型类似，直接模拟连续的远期通货膨胀率。模型可以得到闭形解，并能快速地、精确地进行市场校准。但该模型的缺陷在于，需要输入初始值，而该数据在市场上无法直接得到，除非假设零凸性调整。
Ferhana Ahmad(2008)在风险中性测度下，分别用JY模型、Mercufio市场模型和Belgrade-Benhamou-Koehlar模型为通货膨胀指数型互换定价。
Leung和Wu(2010)在市场模型和鞅方法框架下，认为离散的远期通货膨胀指数型互换率是一个高斯鞅，利用冻结系数技术，得到互换率的对数正态动态过程和互换期权的闭形解。
(二)市场模型
Belgrade、Benhamou和Koehler(2004)认为，JY模型在定价方面依靠的是无法观测到的数据，这使得模型的参数估计不是一件十分容易的事，并且他们的研究框架与市场上交易的衍生产品，例如ZCIIS和YYIIS，没有直接的联系。他们提出一种 市场模型，并加入凸性调整及季节性调整，这样更容易进行参数估计和定价。在风险中性测度下，远期CPI动态过程服从几何布朗运动。而对于波动率结构，文章给出了三种形式：①Black-Scholes型；②Hull-White型；③复合Hull-White型。
Mercurio和Moreni(2006)首次在通货膨胀指数型衍生产品定价中引入随机波动率模型，这在该研究领域属于首创，井为后续的定价研究发展提供了很强的导向性。在2006年以前，该领域研究定价的主要参数的动态模型中波动率都假设是确定的，这样做便于建模和校准，但这个假设并不能完全的反映市场规律，定价缺乏一定的说服力。文章在波动率模型上选取Heston模型(1993)。进而，这两位学者在2006年研究的基础上，在2009年的研究成果中，将随机波动率模型改为SABR模型(Hagan(2002))，该模型的主要特征是，对于波动率，把方差资产固定弹性的动态过程和无漂移项的几何布朗运动相结合，其从通货膨胀上限的闭形解中能表示出隐含波动率的特点使得该模型给衍生产品定价，特别是利率衍生产品市场，指出了随机波动率的新方向。
四 研究现状的局限性和研究展望
(一)研究现状的局限性
根据上述对文献的分析和评述，说明了通货膨胀指数型衍生产品的定价在国外已经得到了一定的理论成果，主要是集中在等价鞅测度或者风险中性测度的HJM利率期限结构模型下，通过对波动率进行一定的假设，对名义利率、实际利率及通货膨胀率(或是CPI指数)建立随机微分方程，模拟其动态过程，在局部市场校准及参数估计后，进行通货膨胀指数型衍生产品定价。总的来说，我国对通货膨胀指数型衍生产品的定价模型和实际应用方面的文獻非常少，这是金融衍生产品定价研究方面的缺陷。然而，尽管国外研究模型已经趋于纯熟，但是，缺乏在参数估计和实证分析方面的研究成果，这使得研究成果缺乏实用性和实践性。要让模型能较好地分析产品在市场上的发展行为，市场数据和实证是必不可少的部分，这样更能体现研究成果的理论价值和实践价值，也为模型的改进提供更多的数据支持，这也将成为未来通货膨胀指数型衍生产品定价方法改进的趋势之一。
(二)研究展望
从定价的角度讲，今后的研究方向可以是选择更匹配模型的参数估计方法估计动态过程中的参数，例如马尔科夫链蒙特卡罗方法；进而，对主要通货膨胀指数型衍生产品利用蒙特卡罗模拟方法定价，蒙特卡罗方法，由于具有比较灵活且易于实现、估计误差及收敛速度与解决问题的维数独立等两个明显优势，从而能够较好地解决基于多标的变量的高维衍生证券的定价问题。而通货膨胀指数型衍生证券的定价问题本身就属于高维衍生证券定价问题，运用蒙特卡罗方法具有明显的优势。在通货膨胀指数型衍生证券定价领域利用数值分析方法是一种必不可少的方法之一。
[关键字]通货膨胀指数 HJM模型 JY模型 市场模型 衍生证券定价
引言
随着国内通货膨胀现象的日益严重，国内宏观政策的力度也不断增大，通货膨胀成为一个关系民生及经济发展的重要问题。除了政策上要抑制通货膨胀的加深，保持资产的保值增值性，金融市场的发展及金融衍生工具的开发也成为了十分有效的方法。
通货膨胀指数型衍生工具作为一种新型的金融产品，已于80年代出现于发达的资本市场，例如，美国、英国、欧洲等，其显著特征是挂钩的指数为通货膨胀率。目前，通货膨胀指数型衍生工具主要有通货膨胀指数型保护债券(TIPS)、零息通货膨胀指数型互换(zero Conpon Inflation-Indexed Swaps，簡写为ZCIIS)、按年回报通货膨胀指数型互换(Year-on-Year Inflation-Indexed Swaps，简写为YYIIS)、通货膨胀指数型上限及下限(Inflation-Indexed Caps and Floors简写为IIC和IIF)、通货膨胀指数型互换期权(Inflation-Indexed Swaptions，简写为IISW)。
一 关于通货膨胀指数型衍生产品定价的主要流派研究
Foreign Currency Analogy(简写为FCA)是一种通货膨胀指数型衍生产品定价的标准方法，也是比较成熟的方法，主要思路是：实际利率被定义为名义利率和通货膨胀率之间的差额，并被看成是外国货币利率，而CPI被看成是国内货币和国外货币之间的汇率。为了通货膨胀指数型衍生产品的定价，我们需要对名义(国内)货币利率、实际(国外)货币利率及CPI(汇率)进行建模。
另外一种模型为市场模型。市场模型对一些特殊的可观测到的与通货膨胀挂钩的变量，例如CPI指数、实际零息债券的远期价格，采用对数正态分布的动态过程。最近，根据这种理论思路，许多学者又在此基础上，加入了随机波动率动态模型以及跳跃扩散模型。虽然市场模型在FCA基础上，有了很大的改进，并且大部分模型在为一些特殊的通货膨胀指数型衍生产品定价时，可以得到闭形解，但仍然有一些缺陷，例如凸性的问题、没有合适的名义利率和通货膨胀率期限结构模型等。
二 关于主要参数的利率动态过程假设的研究分析
(一)FCA基本方法及其扩展
通货膨胀指数型衍生产品研究较早是由Hughston(1998)提出的，主要是依据(FCA)方法：名义资产被看成是国内资产，实际资产被看成是国外资产，CPI被看成是名义货币市场和实际货币市场之间的汇率；他认为，在HJM模型下，CPI、实际贴现债券、名义贴现债券具有相同的期限结构。在传统的HJM模型框架及一般性测度下，得到名义和实际贴现债券的随机方程和名义风险升水，从而得到CPI的动态过程及波动率形式，进而定义通货膨胀率为CPI的漂移项。然后转换到风险中性测度下，CPI动态方程漂移项中没有了名义风险升水，漂移项仅为名义利率和实际利率的差额。也正是以上推导，比较细致地阐述了FCA的概念。但是，他并有给出明确的衍生产品定价公式。
Jarrow和Yildirim(2003)一文中，利用HJM模型为TIPS和其他通货膨胀指数型衍生产品定价，并由此给出了在通货膨胀指数型衍生产品定价领域应用广泛的JY模型，该模型是后面许多模型的原型，并对市场模型也具有借鉴意义。文章首先从TIPS和传统美联储国债的市场价格中，利用HJM模型，得到名义零息债券和实际零息债券的价格。然后利用HJM三因素模型，得到CPI-U(Consumer Price Index for all Urban Consumers)、实际零息债券、名义零息债券的时间序列动态过程。简单扩展的Vasicek模型作为名义和实际利率期限结构，发现实际利率和通货膨胀率呈负相关。再次，根据TIPS在二级市场交易情况，利用估计的参数验证HJM模型的有效性，对冲分析证明了扩展的Vasicek模型的有效性。最后利用1Y模型对CPI-U通货膨胀指数型看涨期权定价，得到闭形解。Jarrow和Yildirim一个重要的假设是所有资产价格的波动率和CPI的波动率都是确定的，从而得到了明确的期权定价公式。
Laura Malvaez(2005)利用JY模型先对标的物ZCIIS和YYIIS定价，根据得到的互换率，并利用拟蒙特卡罗方法(Quasi-Monte Carlo Simulation)进行参数估计和定价，并引入了季节性问题，确定欧式互换期权的价格，这是在通货膨胀指数型互换期权定价领域的两个创新之处。他的研究结论认为，样本价值与理论价值十分接近；与其他模拟方法相比，QMC方法得到的价格更加精确；随着互换期权到期期限的延长，标的物的互换率逐渐变小，甚至变为负值，作者认为这是通货膨胀率动态模型假设所导致的结果。
Alan Stewart(2007)首先利用HuH-White波动率形式，得到零息债券期权的定价公式。将互换期权的价格看成是零息债券期权资产组合的价格，形成明确的互换期权定价公式。在文章的最后，作者对模型进行校准，并得出结论，模型模拟的YYIIS的互换率与市场数据十分接近，并随着期限的增加，拟合程度更高。
Mercurio(2008)提出的市场模型认为，通货膨胀市场模型不一定要依据远期CPI模型，可以与利率市场模型类似，直接模拟连续的远期通货膨胀率。模型可以得到闭形解，并能快速地、精确地进行市场校准。但该模型的缺陷在于，需要输入初始值，而该数据在市场上无法直接得到，除非假设零凸性调整。
Ferhana Ahmad(2008)在风险中性测度下，分别用JY模型、Mercufio市场模型和Belgrade-Benhamou-Koehlar模型为通货膨胀指数型互换定价。
Leung和Wu(2010)在市场模型和鞅方法框架下，认为离散的远期通货膨胀指数型互换率是一个高斯鞅，利用冻结系数技术，得到互换率的对数正态动态过程和互换期权的闭形解。
(二)市场模型
Belgrade、Benhamou和Koehler(2004)认为，JY模型在定价方面依靠的是无法观测到的数据，这使得模型的参数估计不是一件十分容易的事，并且他们的研究框架与市场上交易的衍生产品，例如ZCIIS和YYIIS，没有直接的联系。他们提出一种 市场模型，并加入凸性调整及季节性调整，这样更容易进行参数估计和定价。在风险中性测度下，远期CPI动态过程服从几何布朗运动。而对于波动率结构，文章给出了三种形式：①Black-Scholes型；②Hull-White型；③复合Hull-White型。
Mercurio和Moreni(2006)首次在通货膨胀指数型衍生产品定价中引入随机波动率模型，这在该研究领域属于首创，井为后续的定价研究发展提供了很强的导向性。在2006年以前，该领域研究定价的主要参数的动态模型中波动率都假设是确定的，这样做便于建模和校准，但这个假设并不能完全的反映市场规律，定价缺乏一定的说服力。文章在波动率模型上选取Heston模型(1993)。进而，这两位学者在2006年研究的基础上，在2009年的研究成果中，将随机波动率模型改为SABR模型(Hagan(2002))，该模型的主要特征是，对于波动率，把方差资产固定弹性的动态过程和无漂移项的几何布朗运动相结合，其从通货膨胀上限的闭形解中能表示出隐含波动率的特点使得该模型给衍生产品定价，特别是利率衍生产品市场，指出了随机波动率的新方向。
四 研究现状的局限性和研究展望
(一)研究现状的局限性
根据上述对文献的分析和评述，说明了通货膨胀指数型衍生产品的定价在国外已经得到了一定的理论成果，主要是集中在等价鞅测度或者风险中性测度的HJM利率期限结构模型下，通过对波动率进行一定的假设，对名义利率、实际利率及通货膨胀率(或是CPI指数)建立随机微分方程，模拟其动态过程，在局部市场校准及参数估计后，进行通货膨胀指数型衍生产品定价。总的来说，我国对通货膨胀指数型衍生产品的定价模型和实际应用方面的文獻非常少，这是金融衍生产品定价研究方面的缺陷。然而，尽管国外研究模型已经趋于纯熟，但是，缺乏在参数估计和实证分析方面的研究成果，这使得研究成果缺乏实用性和实践性。要让模型能较好地分析产品在市场上的发展行为，市场数据和实证是必不可少的部分，这样更能体现研究成果的理论价值和实践价值，也为模型的改进提供更多的数据支持，这也将成为未来通货膨胀指数型衍生产品定价方法改进的趋势之一。
(二)研究展望
从定价的角度讲，今后的研究方向可以是选择更匹配模型的参数估计方法估计动态过程中的参数，例如马尔科夫链蒙特卡罗方法；进而，对主要通货膨胀指数型衍生产品利用蒙特卡罗模拟方法定价，蒙特卡罗方法，由于具有比较灵活且易于实现、估计误差及收敛速度与解决问题的维数独立等两个明显优势，从而能够较好地解决基于多标的变量的高维衍生证券的定价问题。而通货膨胀指数型衍生证券的定价问题本身就属于高维衍生证券定价问题，运用蒙特卡罗方法具有明显的优势。在通货膨胀指数型衍生证券定价领域利用数值分析方法是一种必不可少的方法之一。