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摘 要:问题解决的第一步就是对问题进行表征,确定问题究竟是什么.一旦采取了合理的方式表征问题,就形成了良好的问题空间,问题的解决就开了一个好头.如果问题得不到适宜的表征,那么问题就难以解决或无法解决.因此,我们应加强合理表征问题的研究.
关键词:问题表征; 转换
问题表征是指解题者通过审题,认识和了解问题的结构,通过联想,激活头脑中与之相关的知识经验,从而形成对所要解决问题的一种完整的印象。国内外的相关研究都表明,数学问题表征是数学问题解决的核心和关键,对问题做什么样的表征,这种表征是否适宜,直接影响到问题解决的难易、快慢和成败。笔者通过对教学和解题研究,提出合理表征数学问题的九种策略,以期提高学生的思维能力和水平。
1.咬文嚼字
阅读是解题的首要环节,教师不要包办代替,要引导学生先自己阅读,然后要求学生用自己的话讲解题目的意思。经过一段时间的锻炼,就可以逐渐提高学生的阅读能力和理解水平。同时,在阅读时,要引导学生分清层次,抓住细节,学会咬文嚼字。俗话说,细节决定成败,准确表征细节,往往是解题的关键。
【例1】已知在平行四边形ABCD中,AB=n,G是直线CD上的任意一点,且CG=m(m>n),连接BG,交AC所在的直线于点F,过点F作FH∥CD,交BC所在的直线于点H,求FH的长。
解析:与其他学科中括号的作用有所不同,数学题中的括号往往就是一个条件。忽略括号,有时会产生漏解,有时会陷入困境,有时会解错。解答此题时,如果没有看清“m>n”和“点G是直线CD上任意一点”这两个条件就会画出错误的图形(图1、图2),从而答非所问。事实上,本题的正确图形是图3和图4。
图1 图2
图3 图4
2.模式识别
模式分多种类型,有的是教材中的经典例题、习题、方法;有的是在做题过程中总结提炼出的图形、公式、规律等。这些模式的作用是巨大的,引导学生不断积累和熟记解题模式,当面对复杂问题时,学生就能迅速合理表征问题。当然,对于模式,不但要掌握解题步骤,更重要的是理解模式的灵魂,切忌生搬硬套。
【例2】模型:人教版八年级教材中有一个“将军饮马”问题:将军从帐篷(A地)出发,到一条笔直的河边L饮马,然后到马厩(B地)。
将军到河边的什么地方饮马,可使所走的路程最短?
方法:作点A关于直线L的对称点C,连接CB交L于点P,则PA+PB的值最小。
模型应用:
(1)如图6,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值是 。
图6 图7
解析:模式识别:如图7,AC是“河”,B、E两定点分别为“帐篷”和“马厩”,即为“将军饮马”问题。由正方形性质得出B、D关于AC对称,根据两点之间线段最短可知,连接DE,交AC于P,连接BP,则此时PB+PE的值最小,进而利用勾股定理求出即可。 (2)如图8,在直角坐标系中,点A的坐标为(﹣2,0),点B的坐标为(1,- ),已知抛物线 经过三点A、B、O(O为原点)。
①求抛物线的解析式;
②在该抛物线的对称轴上,是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由。
解析:对于②,读题后,进行模式识别:∵OB=2,要使△BOC的周长最小,必须BC+CO最小,那么对称轴是“河”, B、O两定点分别为“帐篷”和“马厩”,该问题即是“将军饮马”问题。∵点O与点A关于直线x=﹣1对称,有CO=CA,∴当A、C、B三点共线,即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时,BC+CA最小,此时△BOC的周长最小。
3.表格梳理
有些题目条件多,数据多,一下子很难理清各条件之间的关系,也很难建立未知条件和已知条件之间的关系.这时,利用列表的方法可以很清楚地呈现各条件之间的关系或规律,从而有利于发现解题的结果或方向。
【例3】今年我省干旱灾情严重,甲地急需要抗旱用水15万吨,乙地13万吨。现有A、B两水库各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱。从A地到甲地50千米,到乙地30千米;从B地到甲地60千米,到乙地45千米。设从A水库调往甲地的水量为x万吨,请设计一个调运方案,使水的调运量尽可能小。(调运量=调运水的重量×调运的距离,单位:万吨?千米)。
解析:处理数学应用题,关键是对其中的信息进行加工,将实际问题转换成数学问题。本题较复杂,利用表格对问题进行表征,不但能缩短审題时间,而且能切准问题命脉。本题的相关信息用表格表征后其数量关系则十分清晰。
甲 乙 总计
A x 14-x 14
B 15-x x-1 14
总计 15 13 28
这样,水的调运量就容易表达了,y=50x+(14-x)30+60(15-x)+45(x-1)=5x+1275。
4.语言转换
所有的问题最初都是在头脑中表征的,如果将其中的数字、符号、算式等写下来,则可以减轻记忆负担,同时使问题变得清晰明了。有时,文字语言描述的问题艰涩难懂,如果注意用字母、代数式、方程、函数等来表征问题,将有助于发现解决问题的途径。有时候,一种符号语言转换为另一种符号语言,问题就会变得豁然开朗。
【例4】证明:若3个实数的倒数和与这三个实数和的倒数相等,则这三个实数必有2个互为相反数。
解析:将本题用数式表征:若 ,则 。其中,将题目结论“这三个实数必有2个互为相反数”(文字语言)表征为式子:“ ”是解答本题的关键.如果理解成:“ 或 或 ”做题时,就麻烦多了。 【例5】设 …, 是整数,且满足下列条件:
(1) ;
(2) ;
(3) 。
求 的最大值和最小值。
解析:本题几乎是纯粹的符号语言描述,过于抽象,不好理解,也不易寻找解题的切入点.如果表征为另一种符号语言:设 …, 中有 个0, 个-1, 个1, 个2,则 未知条件为 = 。这样,题目难度一下子就降低了很多,已知与未知之间的关系也容易找到了。
5.视角转换
“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,视角不同,风景迥异.数学问题,千奇百怪,直接表征目标问题时,有时会陷入僵局.我们需要随机应变,转换视角,多角度审视题目,将问题等价转为另一问题。
【例6】甲、乙两人从相距10km的A、B两地同时出发,相向步行.甲的速度为6km/h,乙的速度为4km/h.甲带一只小狗,小狗以10km/h的速度在他们两人之间来回奔跑,跑到乙后立即返回,碰到甲后又立即返回跑向乙,这样小狗不停地在甲乙两人之间来回,直至两人相遇。问:在这过程中,小狗共走了多少路程?
解析:读题后,如果我们仅仅想到如何来表征小狗走过的路程,则问题会变得很有难度了.换一个视角,想一想,在整个过程中,小狗走了多少时间,则问题变得一目了然了。其实这里只需求出甲、乙两人的相遇时间:10÷(6+4)=1(h),那么小狗在这过程中一直在两人之间奔跑,从未停过,整整跑了1h,从而,小狗跑了10km.
6.逻辑转换
“司马光砸缸”的故事传送千古,要从水缸中救人,就要使人离开水。司马光的机智在于换了一种思维,一时无法让人离开缸和水,就先砸缸,让水离开缸,实现了人离开水的目标。表征数学问题时,也可以引导学生转换思维,通过研究原命题的逆命题或否命题,再根据这些命题与原命题的关系,最终解决问题。
【例7】有三个二次方程 , , 中至少有一个方程有实数根,则 的取值范围是( )。
A. B. 或 ,且
C. 或 D.
解析:三个二次方程中至少有一个方程有实数根,考虑起来的确复杂。换个思维视角,先表征其否命题:若三个二次方程都没有实数根。于是有
解得 。
故,当 或 时三个二次方程中至少有一个方程有实数根,又因为都是二次方程,所以 。
7.以形助数
有许多“数”的问题,单从数式方向研究,有时会进入“死胡同”,而借助“形”的直观表征,常常有“柳暗花明”的感觉。
【例9】摄制组从A市到B市有一天的路程,计划从上午到下午多走100千米到C市吃午饭。由于堵车,中午才赶到一个小镇,只行驶了原计划的三分之一。过了小镇,汽车赶了400千米,傍晚才停下来休息,司机说,再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了,问A、B两地相距多少千米?
图9
解析:条件中只有路程,没有给出时间和速度,故应集中注意各段路程之间的关系,借线段图分析。如图9,设小镇为D,傍晚汽车在E处休息,则AD= DC,EB= CE,AD+EB= DE= ×400=200(千米),故AB=AD+DE+EB=200+400=600(千米)。
【例10】 抛物线y=x2+1与双曲线y= 的交点A的横坐标是1,则关于x的不等式 +x2 +1<0的解集是( )。
A.x >1 B.x <?1 C.0 解析:常规解法是:先求出 =2,然后解不等式 ,很难做下去。如果用图像表征,画出抛物线y= x2+1与双曲线y= 的草图(如图10),就会立即发现满足不等式 成立的图像应该在y轴左侧,进一步细察,又能发现x=-1是分界点,根据两图像的增减性,可知?1 8.以数助形
有许多“形”的问题,通过“数”的简约表征,解题思路就会变得十分明晰,结论更加严谨确定。
【例11】如图11,ABC和CDE均为直角三角形,点B、C、D在一条直线上。点M是AE的中点,下列结论:① ;②BM=DM;③BMDM。正确结论的个数是( )。
A.1 B.2 C.3 D.无法确定
图11
解析:对于①单从图形形状进行观察,很难作出确定性判断。若从数量角度分析,就能让人信服。若 正确,则 ,即 ,即 故① 正确。
【例12】如图12,矩形ABCD的周长是20cm,分别以AB、AD为边作正方形ABEF和正方形ADGH,若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为68cm2,那么矩形ABCD的面积是 。
解析:只从形上分析,难以求出矩形ABCD的面积。若从数式表征,设AB= ,AD= .整个题目转换为:已知 ,求 的值。这样表征,问题就非常简单了。
图12
9.整体思维
在一些情况下,着眼于问题的各个组成部分反而难以凑效,有意识地放大思考问题的视角,将所研究的对象看做一个整体,从整体入手,对整体结构进行表征和处理,反而使问题能得到简洁处理。
【例13】计算 ×
- × 的结果是 。
解析:直接计算复杂而繁难,观察括号内数式的联系,引入字母,把部分式子看成一个整体.设 = , = ,则原式= = = .这样表征,就将复杂的数值计算转化成了简单的式的计算。
【例15】如圖13,在ABC中,点D、E、F分别在边BC,AB、AC上,且BD=BE,CD = CF,A=70,那么FDE等于( )。
A.40 B.45 C.55 D.35
解析:FDE=180-(FDC+EDB),但FDC与EDB都是未知,整体转化,
FDC+EDB= + =180- (180-A) =125。所以,FDE=180-(FDC+EDB)=55。
图13
同一问题,有时可以引出几种不同的表征形式,教师要善于引导学生选取最优方案;有些问题,单用一种方案难以完全表征时,教师还要善于引导学生多角度审视问题。
表征数学问题不单是具体的方法指导,实际上还有情感教育、意志品质和学习习惯的培养以及语文水平的提高等,因此问题表征与平时的数学教学密切相关.我们不但要引导学生研究表征问题的具体策略,还要培养学生实事求是、一丝不苟、克服困难的学习品质。
参考文献
[1] 吴扬,李忠海.基于问题表征的解题思路联想方法研究[J.]中国数学教育,2009(3)
[2] 陈永明名师工作室.数学习题教学研究[M]上海.上海教育出版社,2010
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收稿日期:2014-03-08
关键词:问题表征; 转换
问题表征是指解题者通过审题,认识和了解问题的结构,通过联想,激活头脑中与之相关的知识经验,从而形成对所要解决问题的一种完整的印象。国内外的相关研究都表明,数学问题表征是数学问题解决的核心和关键,对问题做什么样的表征,这种表征是否适宜,直接影响到问题解决的难易、快慢和成败。笔者通过对教学和解题研究,提出合理表征数学问题的九种策略,以期提高学生的思维能力和水平。
1.咬文嚼字
阅读是解题的首要环节,教师不要包办代替,要引导学生先自己阅读,然后要求学生用自己的话讲解题目的意思。经过一段时间的锻炼,就可以逐渐提高学生的阅读能力和理解水平。同时,在阅读时,要引导学生分清层次,抓住细节,学会咬文嚼字。俗话说,细节决定成败,准确表征细节,往往是解题的关键。
【例1】已知在平行四边形ABCD中,AB=n,G是直线CD上的任意一点,且CG=m(m>n),连接BG,交AC所在的直线于点F,过点F作FH∥CD,交BC所在的直线于点H,求FH的长。
解析:与其他学科中括号的作用有所不同,数学题中的括号往往就是一个条件。忽略括号,有时会产生漏解,有时会陷入困境,有时会解错。解答此题时,如果没有看清“m>n”和“点G是直线CD上任意一点”这两个条件就会画出错误的图形(图1、图2),从而答非所问。事实上,本题的正确图形是图3和图4。
图1 图2
图3 图4
2.模式识别
模式分多种类型,有的是教材中的经典例题、习题、方法;有的是在做题过程中总结提炼出的图形、公式、规律等。这些模式的作用是巨大的,引导学生不断积累和熟记解题模式,当面对复杂问题时,学生就能迅速合理表征问题。当然,对于模式,不但要掌握解题步骤,更重要的是理解模式的灵魂,切忌生搬硬套。
【例2】模型:人教版八年级教材中有一个“将军饮马”问题:将军从帐篷(A地)出发,到一条笔直的河边L饮马,然后到马厩(B地)。
将军到河边的什么地方饮马,可使所走的路程最短?
方法:作点A关于直线L的对称点C,连接CB交L于点P,则PA+PB的值最小。
模型应用:
(1)如图6,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值是 。
图6 图7
解析:模式识别:如图7,AC是“河”,B、E两定点分别为“帐篷”和“马厩”,即为“将军饮马”问题。由正方形性质得出B、D关于AC对称,根据两点之间线段最短可知,连接DE,交AC于P,连接BP,则此时PB+PE的值最小,进而利用勾股定理求出即可。 (2)如图8,在直角坐标系中,点A的坐标为(﹣2,0),点B的坐标为(1,- ),已知抛物线 经过三点A、B、O(O为原点)。
①求抛物线的解析式;
②在该抛物线的对称轴上,是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由。
解析:对于②,读题后,进行模式识别:∵OB=2,要使△BOC的周长最小,必须BC+CO最小,那么对称轴是“河”, B、O两定点分别为“帐篷”和“马厩”,该问题即是“将军饮马”问题。∵点O与点A关于直线x=﹣1对称,有CO=CA,∴当A、C、B三点共线,即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时,BC+CA最小,此时△BOC的周长最小。
3.表格梳理
有些题目条件多,数据多,一下子很难理清各条件之间的关系,也很难建立未知条件和已知条件之间的关系.这时,利用列表的方法可以很清楚地呈现各条件之间的关系或规律,从而有利于发现解题的结果或方向。
【例3】今年我省干旱灾情严重,甲地急需要抗旱用水15万吨,乙地13万吨。现有A、B两水库各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱。从A地到甲地50千米,到乙地30千米;从B地到甲地60千米,到乙地45千米。设从A水库调往甲地的水量为x万吨,请设计一个调运方案,使水的调运量尽可能小。(调运量=调运水的重量×调运的距离,单位:万吨?千米)。
解析:处理数学应用题,关键是对其中的信息进行加工,将实际问题转换成数学问题。本题较复杂,利用表格对问题进行表征,不但能缩短审題时间,而且能切准问题命脉。本题的相关信息用表格表征后其数量关系则十分清晰。
甲 乙 总计
A x 14-x 14
B 15-x x-1 14
总计 15 13 28
这样,水的调运量就容易表达了,y=50x+(14-x)30+60(15-x)+45(x-1)=5x+1275。
4.语言转换
所有的问题最初都是在头脑中表征的,如果将其中的数字、符号、算式等写下来,则可以减轻记忆负担,同时使问题变得清晰明了。有时,文字语言描述的问题艰涩难懂,如果注意用字母、代数式、方程、函数等来表征问题,将有助于发现解决问题的途径。有时候,一种符号语言转换为另一种符号语言,问题就会变得豁然开朗。
【例4】证明:若3个实数的倒数和与这三个实数和的倒数相等,则这三个实数必有2个互为相反数。
解析:将本题用数式表征:若 ,则 。其中,将题目结论“这三个实数必有2个互为相反数”(文字语言)表征为式子:“ ”是解答本题的关键.如果理解成:“ 或 或 ”做题时,就麻烦多了。 【例5】设 …, 是整数,且满足下列条件:
(1) ;
(2) ;
(3) 。
求 的最大值和最小值。
解析:本题几乎是纯粹的符号语言描述,过于抽象,不好理解,也不易寻找解题的切入点.如果表征为另一种符号语言:设 …, 中有 个0, 个-1, 个1, 个2,则 未知条件为 = 。这样,题目难度一下子就降低了很多,已知与未知之间的关系也容易找到了。
5.视角转换
“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,视角不同,风景迥异.数学问题,千奇百怪,直接表征目标问题时,有时会陷入僵局.我们需要随机应变,转换视角,多角度审视题目,将问题等价转为另一问题。
【例6】甲、乙两人从相距10km的A、B两地同时出发,相向步行.甲的速度为6km/h,乙的速度为4km/h.甲带一只小狗,小狗以10km/h的速度在他们两人之间来回奔跑,跑到乙后立即返回,碰到甲后又立即返回跑向乙,这样小狗不停地在甲乙两人之间来回,直至两人相遇。问:在这过程中,小狗共走了多少路程?
解析:读题后,如果我们仅仅想到如何来表征小狗走过的路程,则问题会变得很有难度了.换一个视角,想一想,在整个过程中,小狗走了多少时间,则问题变得一目了然了。其实这里只需求出甲、乙两人的相遇时间:10÷(6+4)=1(h),那么小狗在这过程中一直在两人之间奔跑,从未停过,整整跑了1h,从而,小狗跑了10km.
6.逻辑转换
“司马光砸缸”的故事传送千古,要从水缸中救人,就要使人离开水。司马光的机智在于换了一种思维,一时无法让人离开缸和水,就先砸缸,让水离开缸,实现了人离开水的目标。表征数学问题时,也可以引导学生转换思维,通过研究原命题的逆命题或否命题,再根据这些命题与原命题的关系,最终解决问题。
【例7】有三个二次方程 , , 中至少有一个方程有实数根,则 的取值范围是( )。
A. B. 或 ,且
C. 或 D.
解析:三个二次方程中至少有一个方程有实数根,考虑起来的确复杂。换个思维视角,先表征其否命题:若三个二次方程都没有实数根。于是有
解得 。
故,当 或 时三个二次方程中至少有一个方程有实数根,又因为都是二次方程,所以 。
7.以形助数
有许多“数”的问题,单从数式方向研究,有时会进入“死胡同”,而借助“形”的直观表征,常常有“柳暗花明”的感觉。
【例9】摄制组从A市到B市有一天的路程,计划从上午到下午多走100千米到C市吃午饭。由于堵车,中午才赶到一个小镇,只行驶了原计划的三分之一。过了小镇,汽车赶了400千米,傍晚才停下来休息,司机说,再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了,问A、B两地相距多少千米?
图9
解析:条件中只有路程,没有给出时间和速度,故应集中注意各段路程之间的关系,借线段图分析。如图9,设小镇为D,傍晚汽车在E处休息,则AD= DC,EB= CE,AD+EB= DE= ×400=200(千米),故AB=AD+DE+EB=200+400=600(千米)。
【例10】 抛物线y=x2+1与双曲线y= 的交点A的横坐标是1,则关于x的不等式 +x2 +1<0的解集是( )。
A.x >1 B.x <?1 C.0
有许多“形”的问题,通过“数”的简约表征,解题思路就会变得十分明晰,结论更加严谨确定。
【例11】如图11,ABC和CDE均为直角三角形,点B、C、D在一条直线上。点M是AE的中点,下列结论:① ;②BM=DM;③BMDM。正确结论的个数是( )。
A.1 B.2 C.3 D.无法确定
图11
解析:对于①单从图形形状进行观察,很难作出确定性判断。若从数量角度分析,就能让人信服。若 正确,则 ,即 ,即 故① 正确。
【例12】如图12,矩形ABCD的周长是20cm,分别以AB、AD为边作正方形ABEF和正方形ADGH,若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为68cm2,那么矩形ABCD的面积是 。
解析:只从形上分析,难以求出矩形ABCD的面积。若从数式表征,设AB= ,AD= .整个题目转换为:已知 ,求 的值。这样表征,问题就非常简单了。
图12
9.整体思维
在一些情况下,着眼于问题的各个组成部分反而难以凑效,有意识地放大思考问题的视角,将所研究的对象看做一个整体,从整体入手,对整体结构进行表征和处理,反而使问题能得到简洁处理。
【例13】计算 ×
- × 的结果是 。
解析:直接计算复杂而繁难,观察括号内数式的联系,引入字母,把部分式子看成一个整体.设 = , = ,则原式= = = .这样表征,就将复杂的数值计算转化成了简单的式的计算。
【例15】如圖13,在ABC中,点D、E、F分别在边BC,AB、AC上,且BD=BE,CD = CF,A=70,那么FDE等于( )。
A.40 B.45 C.55 D.35
解析:FDE=180-(FDC+EDB),但FDC与EDB都是未知,整体转化,
FDC+EDB= + =180- (180-A) =125。所以,FDE=180-(FDC+EDB)=55。
图13
同一问题,有时可以引出几种不同的表征形式,教师要善于引导学生选取最优方案;有些问题,单用一种方案难以完全表征时,教师还要善于引导学生多角度审视问题。
表征数学问题不单是具体的方法指导,实际上还有情感教育、意志品质和学习习惯的培养以及语文水平的提高等,因此问题表征与平时的数学教学密切相关.我们不但要引导学生研究表征问题的具体策略,还要培养学生实事求是、一丝不苟、克服困难的学习品质。
参考文献
[1] 吴扬,李忠海.基于问题表征的解题思路联想方法研究[J.]中国数学教育,2009(3)
[2] 陈永明名师工作室.数学习题教学研究[M]上海.上海教育出版社,2010
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收稿日期:2014-03-08