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摘 要：问题解决的第一步就是对问题进行表征，确定问题究竟是什么.一旦采取了合理的方式表征问题，就形成了良好的问题空间，问题的解决就开了一个好头.如果问题得不到适宜的表征，那么问题就难以解决或无法解决.因此，我们应加强合理表征问题的研究.
关键词：问题表征； 转换
问题表征是指解题者通过审题，认识和了解问题的结构，通过联想，激活头脑中与之相关的知识经验，从而形成对所要解决问题的一种完整的印象。国内外的相关研究都表明，数学问题表征是数学问题解决的核心和关键，对问题做什么样的表征，这种表征是否适宜，直接影响到问题解决的难易、快慢和成败。笔者通过对教学和解题研究，提出合理表征数学问题的九种策略，以期提高学生的思维能力和水平。
1.咬文嚼字
阅读是解题的首要环节，教师不要包办代替，要引导学生先自己阅读，然后要求学生用自己的话讲解题目的意思。经过一段时间的锻炼，就可以逐渐提高学生的阅读能力和理解水平。同时，在阅读时，要引导学生分清层次，抓住细节，学会咬文嚼字。俗话说，细节决定成败，准确表征细节，往往是解题的关键。
【例1】已知在平行四边形ABCD中，AB=n，G是直线CD上的任意一点，且CG=m（m>n），连接BG，交AC所在的直线于点F，过点F作FH∥CD，交BC所在的直线于点H，求FH的长。
解析：与其他学科中括号的作用有所不同，数学题中的括号往往就是一个条件。忽略括号，有时会产生漏解，有时会陷入困境，有时会解错。解答此题时，如果没有看清“m>n”和“点G是直线CD上任意一点”这两个条件就会画出错误的图形（图1、图2），从而答非所问。事实上，本题的正确图形是图3和图4。
图1 图2
图3 图4
2.模式识别
模式分多种类型，有的是教材中的经典例题、习题、方法；有的是在做题过程中总结提炼出的图形、公式、规律等。这些模式的作用是巨大的，引导学生不断积累和熟记解题模式，当面对复杂问题时，学生就能迅速合理表征问题。当然，对于模式，不但要掌握解题步骤，更重要的是理解模式的灵魂，切忌生搬硬套。
【例2】模型：人教版八年级教材中有一个“将军饮马”问题：将军从帐篷（A地）出发，到一条笔直的河边L饮马，然后到马厩（B地）。
将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路程最短？
方法：作点A关于直线L的对称点C，连接CB交L于点P，则PA+PB的值最小。
模型应用：
（1）如图6，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 。
图6 图7
解析：模式识别：如图7，AC是“河”，B、E两定点分别为“帐篷”和“马厩”，即为“将军饮马”问题。由正方形性质得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可。 （2）如图8，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，- ），已知抛物线 经过三点A、B、O（O为原点）。
①求抛物线的解析式；
②在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。
解析：对于②，读题后，进行模式识别：∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，那么对称轴是“河”， B、O两定点分别为“帐篷”和“马厩”，该问题即是“将军饮马”问题。∵点O与点A关于直线x=﹣1对称，有CO=CA，∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小。
3.表格梳理
有些题目条件多，数据多，一下子很难理清各条件之间的关系，也很难建立未知条件和已知条件之间的关系.这时，利用列表的方法可以很清楚地呈现各条件之间的关系或规律，从而有利于发现解题的结果或方向。
【例3】今年我省干旱灾情严重，甲地急需要抗旱用水15万吨，乙地13万吨。现有A、B两水库各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱。从A地到甲地50千米，到乙地30千米；从B地到甲地60千米，到乙地45千米。设从A水库调往甲地的水量为x万吨，请设计一个调运方案，使水的调运量尽可能小。（调运量=调运水的重量×调运的距离，单位：万吨？千米）。
解析：处理数学应用题，关键是对其中的信息进行加工，将实际问题转换成数学问题。本题较复杂，利用表格对问题进行表征，不但能缩短审題时间，而且能切准问题命脉。本题的相关信息用表格表征后其数量关系则十分清晰。
甲 乙 总计
A x 14-x 14
B 15-x x-1 14
总计 15 13 28
这样，水的调运量就容易表达了，y=50x+（14-x）30+60（15-x）+45（x-1）=5x+1275。
4.语言转换
所有的问题最初都是在头脑中表征的，如果将其中的数字、符号、算式等写下来，则可以减轻记忆负担，同时使问题变得清晰明了。有时，文字语言描述的问题艰涩难懂，如果注意用字母、代数式、方程、函数等来表征问题，将有助于发现解决问题的途径。有时候，一种符号语言转换为另一种符号语言，问题就会变得豁然开朗。
【例4】证明：若3个实数的倒数和与这三个实数和的倒数相等，则这三个实数必有2个互为相反数。
解析：将本题用数式表征：若 ，则 。其中，将题目结论“这三个实数必有2个互为相反数”（文字语言）表征为式子：“ ”是解答本题的关键.如果理解成：“ 或 或 ”做题时，就麻烦多了。 【例5】设 …， 是整数，且满足下列条件：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
求 的最大值和最小值。
解析：本题几乎是纯粹的符号语言描述，过于抽象，不好理解，也不易寻找解题的切入点.如果表征为另一种符号语言：设 …， 中有 个0， 个-1， 个1， 个2，则 未知条件为 = 。这样，题目难度一下子就降低了很多，已知与未知之间的关系也容易找到了。
5.视角转换
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，视角不同，风景迥异.数学问题，千奇百怪，直接表征目标问题时，有时会陷入僵局.我们需要随机应变，转换视角，多角度审视题目，将问题等价转为另一问题。
【例6】甲、乙两人从相距10km的A、B两地同时出发，相向步行.甲的速度为6km/h，乙的速度为4km/h.甲带一只小狗，小狗以10km/h的速度在他们两人之间来回奔跑，跑到乙后立即返回，碰到甲后又立即返回跑向乙，这样小狗不停地在甲乙两人之间来回，直至两人相遇。问：在这过程中，小狗共走了多少路程？
解析：读题后，如果我们仅仅想到如何来表征小狗走过的路程，则问题会变得很有难度了.换一个视角，想一想，在整个过程中，小狗走了多少时间，则问题变得一目了然了。其实这里只需求出甲、乙两人的相遇时间：10÷（6+4）=1（h），那么小狗在这过程中一直在两人之间奔跑，从未停过，整整跑了1h，从而，小狗跑了10km.
6.逻辑转换
“司马光砸缸”的故事传送千古，要从水缸中救人，就要使人离开水。司马光的机智在于换了一种思维，一时无法让人离开缸和水，就先砸缸，让水离开缸，实现了人离开水的目标。表征数学问题时，也可以引导学生转换思维，通过研究原命题的逆命题或否命题，再根据这些命题与原命题的关系，最终解决问题。
【例7】有三个二次方程 ， ， 中至少有一个方程有实数根，则 的取值范围是（ ）。
A. B. 或 ，且
C. 或 D.
解析：三个二次方程中至少有一个方程有实数根，考虑起来的确复杂。换个思维视角，先表征其否命题：若三个二次方程都没有实数根。于是有
解得 。
故，当 或 时三个二次方程中至少有一个方程有实数根，又因为都是二次方程，所以 。
7.以形助数
有许多“数”的问题，单从数式方向研究，有时会进入“死胡同”，而借助“形”的直观表征，常常有“柳暗花明”的感觉。
【例9】摄制组从A市到B市有一天的路程，计划从上午到下午多走100千米到C市吃午饭。由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一。过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两地相距多少千米？
图9
解析：条件中只有路程，没有给出时间和速度，故应集中注意各段路程之间的关系，借线段图分析。如图9，设小镇为D，傍晚汽车在E处休息，则AD= DC，EB= CE，AD+EB= DE= ×400=200（千米），故AB=AD+DE+EB=200+400=600（千米）。
【例10】 抛物线y=x2+1与双曲线y= 的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式 +x2 +1<0的解集是（ ）。
A.x >1 B.x <?1 C.0 解析：常规解法是：先求出 =2，然后解不等式 ，很难做下去。如果用图像表征，画出抛物线y= x2+1与双曲线y= 的草图（如图10），就会立即发现满足不等式 成立的图像应该在y轴左侧，进一步细察，又能发现x=-1是分界点，根据两图像的增减性，可知?1 8.以数助形
有许多“形”的问题，通过“数”的简约表征，解题思路就会变得十分明晰，结论更加严谨确定。
【例11】如图11，ABC和CDE均为直角三角形，点B、C、D在一条直线上。点M是AE的中点，下列结论：① ；②BM=DM；③BMDM。正确结论的个数是（ ）。
A.1 B.2 C.3 D.无法确定
图11
解析：对于①单从图形形状进行观察，很难作出确定性判断。若从数量角度分析，就能让人信服。若 正确，则 ，即 ，即 故① 正确。
【例12】如图12，矩形ABCD的周长是20cm，分别以AB、AD为边作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为68cm2，那么矩形ABCD的面积是 。
解析：只从形上分析，难以求出矩形ABCD的面积。若从数式表征，设AB= ，AD= .整个题目转换为：已知 ，求 的值。这样表征，问题就非常简单了。
图12
9.整体思维
在一些情况下，着眼于问题的各个组成部分反而难以凑效，有意识地放大思考问题的视角，将所研究的对象看做一个整体，从整体入手，对整体结构进行表征和处理，反而使问题能得到简洁处理。
【例13】计算 ×
- × 的结果是 。
解析：直接计算复杂而繁难，观察括号内数式的联系，引入字母，把部分式子看成一个整体.设 = ， = ，则原式= = = .这样表征，就将复杂的数值计算转化成了简单的式的计算。
【例15】如圖13，在ABC中，点D、E、F分别在边BC，AB、AC上，且BD=BE，CD = CF，A=70，那么FDE等于（ ）。
A.40 B.45 C.55 D.35
解析：FDE=180-（FDC+EDB），但FDC与EDB都是未知，整体转化，
FDC+EDB= + =180- （180-A） =125。所以，FDE=180-（FDC+EDB）=55。
图13
同一问题，有时可以引出几种不同的表征形式，教师要善于引导学生选取最优方案；有些问题，单用一种方案难以完全表征时，教师还要善于引导学生多角度审视问题。
表征数学问题不单是具体的方法指导，实际上还有情感教育、意志品质和学习习惯的培养以及语文水平的提高等，因此问题表征与平时的数学教学密切相关.我们不但要引导学生研究表征问题的具体策略，还要培养学生实事求是、一丝不苟、克服困难的学习品质。
参考文献
[1] 吴扬，李忠海.基于问题表征的解题思路联想方法研究[J.]中国数学教育，2009（3）
[2] 陈永明名师工作室.数学习题教学研究[M]上海.上海教育出版社，2010
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收稿日期：2014-03-08
关键词：问题表征； 转换
问题表征是指解题者通过审题，认识和了解问题的结构，通过联想，激活头脑中与之相关的知识经验，从而形成对所要解决问题的一种完整的印象。国内外的相关研究都表明，数学问题表征是数学问题解决的核心和关键，对问题做什么样的表征，这种表征是否适宜，直接影响到问题解决的难易、快慢和成败。笔者通过对教学和解题研究，提出合理表征数学问题的九种策略，以期提高学生的思维能力和水平。
1.咬文嚼字
阅读是解题的首要环节，教师不要包办代替，要引导学生先自己阅读，然后要求学生用自己的话讲解题目的意思。经过一段时间的锻炼，就可以逐渐提高学生的阅读能力和理解水平。同时，在阅读时，要引导学生分清层次，抓住细节，学会咬文嚼字。俗话说，细节决定成败，准确表征细节，往往是解题的关键。
【例1】已知在平行四边形ABCD中，AB=n，G是直线CD上的任意一点，且CG=m（m>n），连接BG，交AC所在的直线于点F，过点F作FH∥CD，交BC所在的直线于点H，求FH的长。
解析：与其他学科中括号的作用有所不同，数学题中的括号往往就是一个条件。忽略括号，有时会产生漏解，有时会陷入困境，有时会解错。解答此题时，如果没有看清“m>n”和“点G是直线CD上任意一点”这两个条件就会画出错误的图形（图1、图2），从而答非所问。事实上，本题的正确图形是图3和图4。
图1 图2
图3 图4
2.模式识别
模式分多种类型，有的是教材中的经典例题、习题、方法；有的是在做题过程中总结提炼出的图形、公式、规律等。这些模式的作用是巨大的，引导学生不断积累和熟记解题模式，当面对复杂问题时，学生就能迅速合理表征问题。当然，对于模式，不但要掌握解题步骤，更重要的是理解模式的灵魂，切忌生搬硬套。
【例2】模型：人教版八年级教材中有一个“将军饮马”问题：将军从帐篷（A地）出发，到一条笔直的河边L饮马，然后到马厩（B地）。
将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路程最短？
方法：作点A关于直线L的对称点C，连接CB交L于点P，则PA+PB的值最小。
模型应用：
（1）如图6，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 。
图6 图7
解析：模式识别：如图7，AC是“河”，B、E两定点分别为“帐篷”和“马厩”，即为“将军饮马”问题。由正方形性质得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可。 （2）如图8，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，- ），已知抛物线 经过三点A、B、O（O为原点）。
①求抛物线的解析式；
②在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。
解析：对于②，读题后，进行模式识别：∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，那么对称轴是“河”， B、O两定点分别为“帐篷”和“马厩”，该问题即是“将军饮马”问题。∵点O与点A关于直线x=﹣1对称，有CO=CA，∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小。
3.表格梳理
有些题目条件多，数据多，一下子很难理清各条件之间的关系，也很难建立未知条件和已知条件之间的关系.这时，利用列表的方法可以很清楚地呈现各条件之间的关系或规律，从而有利于发现解题的结果或方向。
【例3】今年我省干旱灾情严重，甲地急需要抗旱用水15万吨，乙地13万吨。现有A、B两水库各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱。从A地到甲地50千米，到乙地30千米；从B地到甲地60千米，到乙地45千米。设从A水库调往甲地的水量为x万吨，请设计一个调运方案，使水的调运量尽可能小。（调运量=调运水的重量×调运的距离，单位：万吨？千米）。
解析：处理数学应用题，关键是对其中的信息进行加工，将实际问题转换成数学问题。本题较复杂，利用表格对问题进行表征，不但能缩短审題时间，而且能切准问题命脉。本题的相关信息用表格表征后其数量关系则十分清晰。
甲 乙 总计
A x 14-x 14
B 15-x x-1 14
总计 15 13 28
这样，水的调运量就容易表达了，y=50x+（14-x）30+60（15-x）+45（x-1）=5x+1275。
4.语言转换
所有的问题最初都是在头脑中表征的，如果将其中的数字、符号、算式等写下来，则可以减轻记忆负担，同时使问题变得清晰明了。有时，文字语言描述的问题艰涩难懂，如果注意用字母、代数式、方程、函数等来表征问题，将有助于发现解决问题的途径。有时候，一种符号语言转换为另一种符号语言，问题就会变得豁然开朗。
【例4】证明：若3个实数的倒数和与这三个实数和的倒数相等，则这三个实数必有2个互为相反数。
解析：将本题用数式表征：若 ，则 。其中，将题目结论“这三个实数必有2个互为相反数”（文字语言）表征为式子：“ ”是解答本题的关键.如果理解成：“ 或 或 ”做题时，就麻烦多了。 【例5】设 …， 是整数，且满足下列条件：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
求 的最大值和最小值。
解析：本题几乎是纯粹的符号语言描述，过于抽象，不好理解，也不易寻找解题的切入点.如果表征为另一种符号语言：设 …， 中有 个0， 个-1， 个1， 个2，则 未知条件为 = 。这样，题目难度一下子就降低了很多，已知与未知之间的关系也容易找到了。
5.视角转换
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，视角不同，风景迥异.数学问题，千奇百怪，直接表征目标问题时，有时会陷入僵局.我们需要随机应变，转换视角，多角度审视题目，将问题等价转为另一问题。
【例6】甲、乙两人从相距10km的A、B两地同时出发，相向步行.甲的速度为6km/h，乙的速度为4km/h.甲带一只小狗，小狗以10km/h的速度在他们两人之间来回奔跑，跑到乙后立即返回，碰到甲后又立即返回跑向乙，这样小狗不停地在甲乙两人之间来回，直至两人相遇。问：在这过程中，小狗共走了多少路程？
解析：读题后，如果我们仅仅想到如何来表征小狗走过的路程，则问题会变得很有难度了.换一个视角，想一想，在整个过程中，小狗走了多少时间，则问题变得一目了然了。其实这里只需求出甲、乙两人的相遇时间：10÷（6+4）=1（h），那么小狗在这过程中一直在两人之间奔跑，从未停过，整整跑了1h，从而，小狗跑了10km.
6.逻辑转换
“司马光砸缸”的故事传送千古，要从水缸中救人，就要使人离开水。司马光的机智在于换了一种思维，一时无法让人离开缸和水，就先砸缸，让水离开缸，实现了人离开水的目标。表征数学问题时，也可以引导学生转换思维，通过研究原命题的逆命题或否命题，再根据这些命题与原命题的关系，最终解决问题。
【例7】有三个二次方程 ， ， 中至少有一个方程有实数根，则 的取值范围是（ ）。
A. B. 或 ，且
C. 或 D.
解析：三个二次方程中至少有一个方程有实数根，考虑起来的确复杂。换个思维视角，先表征其否命题：若三个二次方程都没有实数根。于是有
解得 。
故，当 或 时三个二次方程中至少有一个方程有实数根，又因为都是二次方程，所以 。
7.以形助数
有许多“数”的问题，单从数式方向研究，有时会进入“死胡同”，而借助“形”的直观表征，常常有“柳暗花明”的感觉。
【例9】摄制组从A市到B市有一天的路程，计划从上午到下午多走100千米到C市吃午饭。由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一。过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两地相距多少千米？
图9
解析：条件中只有路程，没有给出时间和速度，故应集中注意各段路程之间的关系，借线段图分析。如图9，设小镇为D，傍晚汽车在E处休息，则AD= DC，EB= CE，AD+EB= DE= ×400=200（千米），故AB=AD+DE+EB=200+400=600（千米）。
【例10】 抛物线y=x2+1与双曲线y= 的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式 +x2 +1<0的解集是（ ）。
A.x >1 B.x <?1 C.0
有许多“形”的问题，通过“数”的简约表征，解题思路就会变得十分明晰，结论更加严谨确定。
【例11】如图11，ABC和CDE均为直角三角形，点B、C、D在一条直线上。点M是AE的中点，下列结论：① ；②BM=DM；③BMDM。正确结论的个数是（ ）。
A.1 B.2 C.3 D.无法确定
图11
解析：对于①单从图形形状进行观察，很难作出确定性判断。若从数量角度分析，就能让人信服。若 正确，则 ，即 ，即 故① 正确。
【例12】如图12，矩形ABCD的周长是20cm，分别以AB、AD为边作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为68cm2，那么矩形ABCD的面积是 。
解析：只从形上分析，难以求出矩形ABCD的面积。若从数式表征，设AB= ，AD= .整个题目转换为：已知 ，求 的值。这样表征，问题就非常简单了。
图12
9.整体思维
在一些情况下，着眼于问题的各个组成部分反而难以凑效，有意识地放大思考问题的视角，将所研究的对象看做一个整体，从整体入手，对整体结构进行表征和处理，反而使问题能得到简洁处理。
【例13】计算 ×
- × 的结果是 。
解析：直接计算复杂而繁难，观察括号内数式的联系，引入字母，把部分式子看成一个整体.设 = ， = ，则原式= = = .这样表征，就将复杂的数值计算转化成了简单的式的计算。
【例15】如圖13，在ABC中，点D、E、F分别在边BC，AB、AC上，且BD=BE，CD = CF，A=70，那么FDE等于（ ）。
A.40 B.45 C.55 D.35
解析：FDE=180-（FDC+EDB），但FDC与EDB都是未知，整体转化，
FDC+EDB= + =180- （180-A） =125。所以，FDE=180-（FDC+EDB）=55。
图13
同一问题，有时可以引出几种不同的表征形式，教师要善于引导学生选取最优方案；有些问题，单用一种方案难以完全表征时，教师还要善于引导学生多角度审视问题。
表征数学问题不单是具体的方法指导，实际上还有情感教育、意志品质和学习习惯的培养以及语文水平的提高等，因此问题表征与平时的数学教学密切相关.我们不但要引导学生研究表征问题的具体策略，还要培养学生实事求是、一丝不苟、克服困难的学习品质。
参考文献
[1] 吴扬，李忠海.基于问题表征的解题思路联想方法研究[J.]中国数学教育，2009（3）
[2] 陈永明名师工作室.数学习题教学研究[M]上海.上海教育出版社，2010
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收稿日期：2014-03-08