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【摘要】数学不仅是一门知识体系,而且还是一种思想方法。我们在数学教学中要重视文化熏陶,使学生既成才,更成人。本文通过解题教学的审题、解题过程教学的论述,探究解题教学对提高学生数学文化素质的意义。
【关键词】数学解题,数学文化,文化内涵,素质教育
普通高中数学课程标准指出:“数学是人类的一种文化,它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分”。近些年来,学校教育由于受社会整体价值观的影响,数学教学就是为了应付各种考试,取得好成绩,考出高分数。数学素质被曲解为数学应试能力,数学素质教育成了没有内涵的空话。当前教育新课程改革,促使我们不得不再一次对数学教育的价值进行反思,对数学文化及新课程标准条件下数学教育对数学文化的渗透进行研究,以期通过课堂教学,生动展示数学的文化价值,挖掘教材的文化功能,让课堂多一些文化气氛,让学生感悟数学,形成全面的数学素养。
那么,如何在中小学数学教学中进行数学文化教育呢?笔者认为数学教育离不开解题教学,数学解题教学蕴涵着丰富的人文底蕴,是数学教育的一个重要环节之一。华罗庚也说过:“学习数学,如果不学会解题,等于进了宝山空手而归。”因此应该从解题教学入手,深入发掘数学文化中的人文价值,加强数学的科学性与人文性的融合,在传授知识和思想方法的基础上,充分发挥其“文化价值”,加强对学生求真求实、勤奋自强、开拓创新的科学人文精神以及合作探究的意识的培养。使中小学数学教育不仅仅是知识的传授、能力的培养,更是一种文化、一种精神的传播。
1.审题教学是解题教学的第一步
审题的关键是找到“题眼”。哲学告诉我们,解决问题的关键是找到主要矛盾,从主要矛盾入手,许多次要矛盾也就可以迎刃而解。每一个题目都会有出题者的教学目的和意图,都有他训练的目标——是某种解题的技巧还是某一解决问题的思路等等。具体到解题上,问题会归结到某一个数字的获取和求得。
例如:已知f(x)=-12x2+x,是否存在实数m、n(m 【审题分析】这是一道关于一元二次函数在闭区间上的最大值问题的探索题,容易想到分类讨论。然而仔细分析本题目标:求m、n的值使f(x)在定义域[m,n]上的值域是[3m,3n],经配方得:f(x)=-12(x-1)2+12,不难发现有3m<3n≤12,即n≤16,而f(x)的对称轴为x=1,所以函数是定义在[m,n]上是增函数,从而找到解题的突破口(题眼)。
【解答】令f(m)=3mf(n)=3n即m2+4m=0n2+4n=0解得m=-4n=0,
引导学生寻找准题眼,就要让学生切实弄清未知与已知之间的相互联系,通过对解题目标的分析,充分挖掘解题要素,获得解题的最佳切入点。尤其是在解决含有字母参数的数学问题或是否存在型探索性问题时,可避免讨论或减少讨论,以此简化解题过程,促进思维能力的发展。
又例如:已知3x2+2y2=6x,试求x2+y2的最大值。
【审题分析】要求x2+y2的最大值,如何将x2+y2变为一元二次函数是本题的关键。因此消元,转化为一元二次函数f(x)=-12(x-3)2+92然后求极值点的x值,联系到y2≥0,这一条件,既快又准地求出最大值。
【解答】由3x2+2y2得
y2=-32x2+3x
∵y2≥0,∴-32x2+3x≥0,∴0≤x≤2
又x2+y2=x2-32x2+3x=-12(x-3)2+92
∴当x=2时,x2+y2有最大值,最大值为-12(2-3)2+92=4
由此可见,在审题中找准题眼下手解题是多么关键。而在实际生活中,我们也会遇到很多需要解决的问题,如果学会象解数学题一样去分析问题,我们就会受益匪浅。审题不仅仅是对题目本身的数理的思考,它同其他很多学科的思考有相似的思维;同时,这些思考都受益于哲学的营养,具有哲学的意义。
2.数学解题的具体过程是解题教学的关键所在
数学解题教学也是一个体验和感悟数学文化的过程,从数学教学的现状来看,我们的数学教学很大程度上是一种解题教学,诚然,解题作为中学阶段最基本的数学活动,形式是无可非议的。但如果仅仅把它作为数学知识、技巧运用的手段,那将失去数学教学的很大一部分价值,解题同样也承载着数学思想和数学方法学习的任务。
数学解题既要细心而又要耐心地去解决每一个问题,不同的解题步骤,不同的解题思路,会有不同的解题过程体验。
例如:设A的坐标为(2,0),Q为圆x2+y2=1上任一点,OP是△AOQ中∠AOQ的平分线,求P点的轨迹。
解决该问题可以用通法——“代入法”来解决,同时从这个问题中可以总结出用该法求动点轨迹的一般模型和方法:设点P——得点Q——代入已知圆的方程。
又例如:已知:6sin2a+sinacosa-2cos2a=0,a∈[p2,π],求sin(2a+p3)的值。
可引导学生从以下角度进行思考,探究问题的解法:
思路1:以求a的函数值为主线;
思路2:以求2a的函数值为主线;
思路3:以求的函数值为主线。
这三种思路都可通过因式分解的变换、弦化切的变换、降次变换等手段,将已知式化为单个的三角函数值后,再结合倍角公式与和角公式,得到所求的三角函数值。
解题的方法很重要,往往列了很多算式,花了很多时间求出了一个结果,而采取别的方法如绘图求解,只要很短的时间。这就如同走路,同样是要到达前方的某个地点,你可以直走过去而要花点气力翻越某个障碍,也可以绕过它而省点力气,但同时,你走的路要多一些;你可以游过河,也可以花钱坐船,也可以找到很远处的一座桥而走过去。
在教学中,引导学生挖掘问题的多解因素,鼓励学生以问题为出发点,不囿于单一的解题思路和方法,引导学生在解法上求异。此时解题教学让学生获得的已不仅仅是解题的正确结果,而是变成了一种让学生在解题过程中所经历的数学愉悦体验和深刻感悟。让学生在不断的体会中最终解决了问题,也会在不断的解题的过程中,掌握了学科的知识,提高了自身的素质。
另外,在教学中通过一题多变的教学手段,能使学生吃透知识的外延与内涵,让他们掌握其内涵的发展与外延的变换,使其能融会贯通,更能培养学生深刻的思维品质,提高了学生分析问题、解决问题的能力。
例如:已知x、y满足,求z=x2+y2-2y+1的最小值。
这是关于线性规划的问题,在评讲完本题后,让学生做了如下变式:
(1)条件不变,提出新结论:
①求z=2x-y的最大值;
②求z=2x+y的取值范围;
③求yx的最大值。
(2)改变题目的条件:
已知(x-2)2+(y-2)2≤1
x+y≤3,求z=x2+y2□2y+1的最小值。
(3)结论条件都改变:
已知函数f(x)=x2-6x+5,且x、y满足f(x)+f(y)≤8
f(x)+f(y)≥0,求z=2x+y的最大值和最小值。
通过对某一题目,引导学生进行条件变换、结论探索、逆向思考、图形变化、类比、分解、拓展等多角度、多方位的探讨,使一道题变为一类题,使学生能举一反三、触类旁通,进而培养学生良好的思维品质及探索创新能力。
数学一直是实实在在的科学,在它的简单的数学符号下面一直是蕴涵着现实的东西,从符号中发现现实,把现实归结为符号,它们同样是数学研究的重要方面。这就要求教师能作些必要的提示和示范,让学生模拟数学家的探索过程从中体验和感悟数学文化。
3.提高学生的数学文化素质是解题教学的最终目的
通过在数学解题中人文体味的教育,学生们能够深刻体会数学的趣味,提高主动学习数学的能力,深入体会数学的本质,体会其他自然和人文社会科学的趣味,体会人类认识自然、改造自然和人类社会自身不断否定与发展之间每一步的艰辛与成果,从数学的角度对自然和人文社会科学做一些有意思的思考。这应该是素质教育的一部分。
从数学解题教学到数学文化素质教育,是一个长期渗透的过程。文化的传播和发展需要一个积累、沉淀的过程,数学教育不能急功近利,现在的问题是我们的数学教育往往是以学生学会解题为目的,许多学生只不过学会了仿照例题的解答形式作机械的操练,因而要求以多求熟、熟能生巧。不可否认,就解题为目的的数学教学,题海战术功不可没,但也不可回避的事实是一旦不再需要解题时,数学的功能在他身上即刻寿终正寝,这样的数学教育又有多大意义呢?如何让数学教育在每一个人身上能够有更多的沉淀和积累,作为他个人文化底蕴不可缺少的一块基石伴随他的一生,就如学了语言更善表达、学了艺术更会观赏,学了数学应当使他更会理性地去分析、思考、辨析、解决问题。能够沉淀下来的东西一定有一个感悟、筛选、消化、摄取的过程,急风暴雨、填鸭式的灌输只可能助长肥膘,不可能造就数学思维。俗话说:十年树木,百年树人。教育的真正功能是在今后更长的人生路上,到了那个时候他还能感悟数学,那才是真正的数学文化素养。
【关键词】数学解题,数学文化,文化内涵,素质教育
普通高中数学课程标准指出:“数学是人类的一种文化,它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分”。近些年来,学校教育由于受社会整体价值观的影响,数学教学就是为了应付各种考试,取得好成绩,考出高分数。数学素质被曲解为数学应试能力,数学素质教育成了没有内涵的空话。当前教育新课程改革,促使我们不得不再一次对数学教育的价值进行反思,对数学文化及新课程标准条件下数学教育对数学文化的渗透进行研究,以期通过课堂教学,生动展示数学的文化价值,挖掘教材的文化功能,让课堂多一些文化气氛,让学生感悟数学,形成全面的数学素养。
那么,如何在中小学数学教学中进行数学文化教育呢?笔者认为数学教育离不开解题教学,数学解题教学蕴涵着丰富的人文底蕴,是数学教育的一个重要环节之一。华罗庚也说过:“学习数学,如果不学会解题,等于进了宝山空手而归。”因此应该从解题教学入手,深入发掘数学文化中的人文价值,加强数学的科学性与人文性的融合,在传授知识和思想方法的基础上,充分发挥其“文化价值”,加强对学生求真求实、勤奋自强、开拓创新的科学人文精神以及合作探究的意识的培养。使中小学数学教育不仅仅是知识的传授、能力的培养,更是一种文化、一种精神的传播。
1.审题教学是解题教学的第一步
审题的关键是找到“题眼”。哲学告诉我们,解决问题的关键是找到主要矛盾,从主要矛盾入手,许多次要矛盾也就可以迎刃而解。每一个题目都会有出题者的教学目的和意图,都有他训练的目标——是某种解题的技巧还是某一解决问题的思路等等。具体到解题上,问题会归结到某一个数字的获取和求得。
例如:已知f(x)=-12x2+x,是否存在实数m、n(m
【解答】令f(m)=3mf(n)=3n即m2+4m=0n2+4n=0解得m=-4n=0,
引导学生寻找准题眼,就要让学生切实弄清未知与已知之间的相互联系,通过对解题目标的分析,充分挖掘解题要素,获得解题的最佳切入点。尤其是在解决含有字母参数的数学问题或是否存在型探索性问题时,可避免讨论或减少讨论,以此简化解题过程,促进思维能力的发展。
又例如:已知3x2+2y2=6x,试求x2+y2的最大值。
【审题分析】要求x2+y2的最大值,如何将x2+y2变为一元二次函数是本题的关键。因此消元,转化为一元二次函数f(x)=-12(x-3)2+92然后求极值点的x值,联系到y2≥0,这一条件,既快又准地求出最大值。
【解答】由3x2+2y2得
y2=-32x2+3x
∵y2≥0,∴-32x2+3x≥0,∴0≤x≤2
又x2+y2=x2-32x2+3x=-12(x-3)2+92
∴当x=2时,x2+y2有最大值,最大值为-12(2-3)2+92=4
由此可见,在审题中找准题眼下手解题是多么关键。而在实际生活中,我们也会遇到很多需要解决的问题,如果学会象解数学题一样去分析问题,我们就会受益匪浅。审题不仅仅是对题目本身的数理的思考,它同其他很多学科的思考有相似的思维;同时,这些思考都受益于哲学的营养,具有哲学的意义。
2.数学解题的具体过程是解题教学的关键所在
数学解题教学也是一个体验和感悟数学文化的过程,从数学教学的现状来看,我们的数学教学很大程度上是一种解题教学,诚然,解题作为中学阶段最基本的数学活动,形式是无可非议的。但如果仅仅把它作为数学知识、技巧运用的手段,那将失去数学教学的很大一部分价值,解题同样也承载着数学思想和数学方法学习的任务。
数学解题既要细心而又要耐心地去解决每一个问题,不同的解题步骤,不同的解题思路,会有不同的解题过程体验。
例如:设A的坐标为(2,0),Q为圆x2+y2=1上任一点,OP是△AOQ中∠AOQ的平分线,求P点的轨迹。
解决该问题可以用通法——“代入法”来解决,同时从这个问题中可以总结出用该法求动点轨迹的一般模型和方法:设点P——得点Q——代入已知圆的方程。
又例如:已知:6sin2a+sinacosa-2cos2a=0,a∈[p2,π],求sin(2a+p3)的值。
可引导学生从以下角度进行思考,探究问题的解法:
思路1:以求a的函数值为主线;
思路2:以求2a的函数值为主线;
思路3:以求的函数值为主线。
这三种思路都可通过因式分解的变换、弦化切的变换、降次变换等手段,将已知式化为单个的三角函数值后,再结合倍角公式与和角公式,得到所求的三角函数值。
解题的方法很重要,往往列了很多算式,花了很多时间求出了一个结果,而采取别的方法如绘图求解,只要很短的时间。这就如同走路,同样是要到达前方的某个地点,你可以直走过去而要花点气力翻越某个障碍,也可以绕过它而省点力气,但同时,你走的路要多一些;你可以游过河,也可以花钱坐船,也可以找到很远处的一座桥而走过去。
在教学中,引导学生挖掘问题的多解因素,鼓励学生以问题为出发点,不囿于单一的解题思路和方法,引导学生在解法上求异。此时解题教学让学生获得的已不仅仅是解题的正确结果,而是变成了一种让学生在解题过程中所经历的数学愉悦体验和深刻感悟。让学生在不断的体会中最终解决了问题,也会在不断的解题的过程中,掌握了学科的知识,提高了自身的素质。
另外,在教学中通过一题多变的教学手段,能使学生吃透知识的外延与内涵,让他们掌握其内涵的发展与外延的变换,使其能融会贯通,更能培养学生深刻的思维品质,提高了学生分析问题、解决问题的能力。
例如:已知x、y满足,求z=x2+y2-2y+1的最小值。
这是关于线性规划的问题,在评讲完本题后,让学生做了如下变式:
(1)条件不变,提出新结论:
①求z=2x-y的最大值;
②求z=2x+y的取值范围;
③求yx的最大值。
(2)改变题目的条件:
已知(x-2)2+(y-2)2≤1
x+y≤3,求z=x2+y2□2y+1的最小值。
(3)结论条件都改变:
已知函数f(x)=x2-6x+5,且x、y满足f(x)+f(y)≤8
f(x)+f(y)≥0,求z=2x+y的最大值和最小值。
通过对某一题目,引导学生进行条件变换、结论探索、逆向思考、图形变化、类比、分解、拓展等多角度、多方位的探讨,使一道题变为一类题,使学生能举一反三、触类旁通,进而培养学生良好的思维品质及探索创新能力。
数学一直是实实在在的科学,在它的简单的数学符号下面一直是蕴涵着现实的东西,从符号中发现现实,把现实归结为符号,它们同样是数学研究的重要方面。这就要求教师能作些必要的提示和示范,让学生模拟数学家的探索过程从中体验和感悟数学文化。
3.提高学生的数学文化素质是解题教学的最终目的
通过在数学解题中人文体味的教育,学生们能够深刻体会数学的趣味,提高主动学习数学的能力,深入体会数学的本质,体会其他自然和人文社会科学的趣味,体会人类认识自然、改造自然和人类社会自身不断否定与发展之间每一步的艰辛与成果,从数学的角度对自然和人文社会科学做一些有意思的思考。这应该是素质教育的一部分。
从数学解题教学到数学文化素质教育,是一个长期渗透的过程。文化的传播和发展需要一个积累、沉淀的过程,数学教育不能急功近利,现在的问题是我们的数学教育往往是以学生学会解题为目的,许多学生只不过学会了仿照例题的解答形式作机械的操练,因而要求以多求熟、熟能生巧。不可否认,就解题为目的的数学教学,题海战术功不可没,但也不可回避的事实是一旦不再需要解题时,数学的功能在他身上即刻寿终正寝,这样的数学教育又有多大意义呢?如何让数学教育在每一个人身上能够有更多的沉淀和积累,作为他个人文化底蕴不可缺少的一块基石伴随他的一生,就如学了语言更善表达、学了艺术更会观赏,学了数学应当使他更会理性地去分析、思考、辨析、解决问题。能够沉淀下来的东西一定有一个感悟、筛选、消化、摄取的过程,急风暴雨、填鸭式的灌输只可能助长肥膘,不可能造就数学思维。俗话说:十年树木,百年树人。教育的真正功能是在今后更长的人生路上,到了那个时候他还能感悟数学,那才是真正的数学文化素养。