循环论证，用来证明论题的论据本身的真实性要依靠论题来证明的逻辑错误.比如，一个瘦子问胖子：“你为什么长得胖？”胖子回答：“因为我吃得多.”瘦子又问胖子：“你为什么吃得多？”胖子回答：“因为我长得胖.”胖子的回答真是令人啼笑皆非.他回答瘦子的第一个问题时，是以“吃得多”为理由的；而他回答瘦子的第二个问题时，又以“长得胖”为理由.胖子的回答能够解决瘦子的问题吗？当然不能.胖子的这种论证，就叫做“循环论证”，是说明不了任何问题的.
　　生活中要避免出现循环论证，数学中更不允许循环论证，避免落入“鸡生蛋，蛋生鸡”的往复论证.为此，学习数学要注意理好概念和规律的顺序，前后不能颠倒.
　　下面通过例题来讨论初中数学中循环论证的不妥之处，以期抛砖引玉.
　　例1 如图1，AD平分∠BAC，E为AD上的任意一点，EF⊥AB于F，EG⊥AC于H，求证：AF=AG.
　　分析：在这个题目中，大部分学生拿到手就会想到先用角平分线的性质得到EF=EG，然后就会不自觉地进入到循环论证的圈子中.
　　错误证明：∵AD平分∠BAC，
　　∴∠BAD=∠DAC.
　　∵EF⊥AB于F，EG⊥AC于H，
　　∴EF=EG（角平分线的性质）. ①
　　在Rt△AEF和Rt△AEG中，
　　EF=EG，AE=AE，
　　∴Rt△AEF≌Rt△AEG（HL）. ②
　　∴AF=AG
　　点评：上面的证明看似逻辑严谨、滴水不漏，事实上存在着循环论证的谬误.这也是笔者在教学中发现学生最容易犯的错误之一.我们一起来看看问题出在哪里呢？事实上，由角平分线的性质得EF=EG是没有问题的，但是这一结论是怎么得到的呢？如下：由∠EFA=∠EGA=90°，∠BAD=∠DAC，AE=AE，得△AEF≌△AEG，再得到EF=EG.从而看出①的结论用到了两三角形全等，而在②中三角形全等又由①得到.分析至此，可以清楚地看出用角平分线的性质去证明②的不妥之处，即这一证明过程中存在着循环论证的谬误.我们可以从角平分线的性质得到EF=EG，然后用勾股定理在Rt△AEF和Rt△AEG中利用公共线段证明线段的相等或者直接从全等三角形得到线段相等.
　　例2 求证三角形的内角和是180°.
　　这个证明题，如果学生不通过折纸实验而直接证明的话是有点难度的.
　　有的学生会想出“讨巧”的方法，如下：
　　如图2，∠ACD=∠A ∠B.（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和） ①
　　∠ACD ∠ACB=180°.（邻补角的定义）
　　所以∠A ∠B ∠ACB=180°.（等量代换） ②
　　这一证明方法得出后，学生都为之鼓掌，不需要构造平行就能得到.事实上，这一证明过程中也存在着循环论证的错误.我们一起看看问题在哪儿？过程①的结论是怎么得到的呢？事实上，三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和是由三角形的内角和是180°得到的，如∠A ∠B ∠ACB=180°，∠ACD ∠ACB=180°，从而∠ACD=∠A ∠B.可以看出，①的结论由三角形的内角和是180°得到，由①又去证明三角形的内角和是180°.这一证明过程中也存在着循环论证的谬误，即由三角形的内角和定理去得到三角形外角的性质，又由三角形外角的性质去证明三角形的内角和定理.
　　还有一个学生这样证明三角形的内角和定理：
　　如图3，过点A作AD⊥BC于D，则在Rt△ABD中，∠1 ∠2=90°，在Rt△ACD中，∠3 ∠4=90°，则∠BAC ∠B ∠C=∠1 ∠2 ∠3 ∠4=90° 90°=180°.我们一起看看这里面有没有什么问题呢？大家想一想，直角三角形两锐角互余是怎么得出来的？对了，是从三角形的内角和是180°得来的，所以这里也出现了循环论证，就是由三角形的内角和定理得到直角三角形两锐角互余，又从直角三角形的两锐角互余再去证明三角形的内角和定理，这就像走进了一个死循环，怎么也转不出来.事实上，对于三角形内角和定理的证明，我们应该借助于平行线来完成.
　　总之，初中数学循环论证的问题比较隐蔽，教师要引导学生克服初中数学中可能出现此类问题，注意理好概念和规律的顺序，掌握性质的本质.