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【摘要】概率统计是应用性和实践性很强的一门课程,作者结合自身教学实践从如何调动学生兴趣、突出教学重点和加强实际应用等方面论述了提高教学效果。
【关键词】概率统计；教学实践；思考
引言：概率论与数理统计是研究大量随机现象统计规律的学科，同时也是实际应用性很强的一门学科、广泛地用于自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产中，并且与其他数学学科互相渗透或结合[1]。通过本课程的学习，要使学生掌握研究随机现象的基本思想和方法，并且具备一定的分析问题和解决问题的能力。但是对于初次接触这门课程的学生普遍感觉基本概念难懂、习题难做、方法不易掌握，为能更好的开展教学，我们结合我校学生的实际在理工类专业中进行了概率统计课程教学改革的尝试。
一、 调动学生学习兴趣
学生应该对学习 充满兴趣。兴趣是最好的老师，是学习的动力，创造都源于兴趣。没有学习兴趣学生很难从内心里真正喜欢学习。但另一方面，概率统计有其特殊的思维方式，也同时包含了大量的概念、定理、公式及复杂的数学推导过程，又会让学生感到枯燥，望而生畏，产生畏难情绪，降低学习兴趣。
首先，对学习进行思想品德及意志的培养和锻炼。利用数学史料，我们介绍历史上著名的概率统计学家的辛勤工作，他们长期坚持不懈的品质，用以激发学生的学习，例如泊松、高斯、贝叶斯、辛钦等，并且在这个过程还能吸收数学家们的思想和方法。
再有，概率统计源于游戏又让它本身具有很强的趣味性，我们可以利用实际问题开展讲授。比如，我们考查N个人中2人生日相同的问题；某人买彩票能否中奖的问题；体育比赛中抽签的公平性问题；排球比赛赛制的问题等等，这些学生能亲身感知并与他们相关的趣味问题的处理使他们对学习产生进一步的兴趣。我们可以举著名的分赌本问题：1651年夏，法国数学 、物理学家帕斯卡在旅途中遇到贵族公子德·梅尔，他提出"分赌本问题"向帕斯卡求教，问题如下：德·梅尔和赌友掷一枚骰子，各押32枚金币，梅尔如果先掷3次6点或赌友先掷3次4点，就赢了对方，赌博进行了一段时间，梅尔已掷了2次6点，而对方掷了1次4点，此时梅尔接通知马上陪国王接见外宾，赌博只好终止，请问两人如何分配64枚金币才算合理[2]？
同时，利用新知识来激发学生的兴趣。在教学过程中，适当介绍概率统计新的科研成果。介绍各种统计学派的不同观点，使学生看到概率统计中不确定的，局限性的一面，还有继续研究探寻的一面，以激发学生的创新。介绍概率统计在其他数学学科中的应用以开阔学生视野。例如布朗运动其轨道虽然连续但处处不可微，这就印证了高等数学中"连续函数不一定可微分"的命题。适当介绍概率统计后继的分支，比如随机微分方程，过程统计，鞅的理论等等，让学生看到概率统计的不断发展，激发学生探索意识。
另外，利用现代教育技术手段-多媒体让学生产生兴趣。"工欲善其事，必先利其器"。随着科学技术的发展，改变了过去传统的"一支粉笔加黑板"的教学手段，可以采用幻灯、投影 、微机等进行教学，可以适当利用多媒体进行教学，让学生对知识的发生有一个直观的认识。比如利用计算机演示随机数的产生、Monto-Carl方法求积分、利用组合法产生泊松分布、演示二维正态分布参数改变后其图形的变化，直方图的创立、参数估值的计算、回归方程的配置等，形象直观又快捷，学生们很是折服。这样既节约了课堂教学时间又保持了讲授知识的连贯性、系统性和流畅性；既激发了学生的好奇心又加强了对所学知识的理解，激励学生探索精神。
二、明确目的，理清关系
明确教学目的。我们认为创新教育下概率统计课程的教学目的是：注重培养随机性思维。引导学生从过去确定性、惟一性的思维定势进入随机性思维模式，学会用随机的思维方式观察客观世界，拓宽思维，对定性与定量分析方法的理解上一个新台阶。教会学生用准确的随机数学语言描述问题、建立数学模型，能用随机数学原理解释客观世界的偶然性现象。训练学生的随机分析技能和统计分析技能，使他们具有分析问题、解决问题的综合实践能力。为具有不同工程背景的学生能运用随机数学的基本理论与方法处理科学研究或生产实践中出现的随机问题奠定坚实的基础，实现创新精神、创新意识、创新能力的培养。
在教学中我们应该向学生充分展示概率统计中的定理、方法作为数学工具的广泛应用性和重要性。同时在这个过程中，不要在引入了问题后就完全抛开实际只讲数学理论这些抽象深奥的内容，而是要利用本门课程与实际联系紧密的特点继续使用实例来分析概念定理。
在教学中，除了把每章节内容讲清楚之外，还要把每个章节和前面章节内容的联系给学生讲明白，使他们有一个清晰的认识，这样才利于提高效率。由于学生初次学习加上其他原因，诸如学生自身习惯不愿意去找联系，还愿意老师手把手地教。因此只讲清楚各章内容，忽视了前后联系，那么学生头脑中仅有一些凌乱的知识点，前后不衔接，不能形成一个完整的体系，可能连一些题目都不会做，自然会打击他们的学习积极性。
另外教学过程中，我们利用多种思维方法来进行教学。比如采用类比的方法处理知识点，把平行或相关的知识内容联系在一起进行比较教学，以使学生加深印象，例如对随机事件的关系和运算，以及表示事件关系和运算的符号都与集合论之间完全平行，这样在表示上完全可以利用集合论的形式和结论，只是要注意强调学生在理解上以事件发生的概率论意义上来把握。又如随机变量部分，离散型与连续型、一维和多维变量之间，所讨论的问题和知识是一致的，因此讲授多元随机变量时要处处与简单的一元变量进行对比。这样，可使学生获得新知识更鲜明准确，也使学生对旧知识的理解更加深刻牢固。
应该注重学生发散性思维的训练和培养。所谓发散性思维是指信息处理的途径灵活多变，所求结果丰富多样，它是一种开发性的立体思维，即围绕某个问题，沿着不同方向去思考探索，重组眼前的信息和记忆中的信息，产生新的信息并获得解决问题的多种方案。故此，又将发散性思维称为求异思维[3]。
此外，对容易混淆的内容，更要特别强调，正所谓重视"辨误"教学。比如对分布函数的理解，有的学生认为不同的随机变量的分布函数一定不同；或同分布的隨机变量就一定相同；无偏估计量是最好的估计等等。通过"辨误"教学使学生能正确理解概念，掌握正确的解题方法。
三、学以致用，培养学生的应用能力
学习目的是为了应用。一方面，包括概率统计知识在本学科，在对其他数学学科的应用，促进其发展。统计学有着广泛而重要的应用，而概率论作为它的基础，它的工具，体现出概率论的地位和作用。通过概率统计本身的知识内容的学习也能使我们对其他数学学科有新的认识，比如利用概率模型可以证明恒等式，利用概率知识可以对原来的知识有个新的认识。例如：如何用概率论想法讨论N阶行列式的展开式中包含主对角线元素的项数？分析：含主对角线元素的项数的概率=行列式含主对角线元素的项数/行列式总项数，所以要求的含主对角线元素的项数=行列式总项数×含主对角线元素的项数的概率. 设 N 阶行列式的元素为，展开式的每
另一方面，概率统计源于实际又高于实际，要坚持理论联系实际的原则，要使学生既掌握理论知识又要使学生能够应用知识去解决实际问题。在教学中要让学生看到如何从实际问题抽象出概率概念、概率模型，尽可能由实际问题展示本课程在工农业、军事、公共事业、管理、经济、文教体育等方面的应用，增强概率统计与社会的贴近程度。比如著名的"玛丽亚问题"，保险公司赢利的问题，交通事故等问题，通过问题既活跃了课堂气氛，又激发了学生学习兴趣。我们举一个收集游戏卡的问题：食品厂把印有水浒108将之一的画卡随机地作为赠券装入某儿童食品袋中，每袋一卡，试问要买多少袋才能收起全套画卡？[2]
所以顾客平均要购买568袋该食品，才能收齐水浒108将全套画卡，应该是很困难的。也能看出商家所谓的赠券销售活动的实际意图正是为了增加销售量。
另外加强实践可以运用案例教学法，培养学生分析问题和解决问题的能力。案例教学法是一种理论联系实际，融知识传授、能力培养、素质教育于一体的教学方法。通过案例把学生引导到实际问题中，在分析与讨论的基础上，提出解决问题的途径和基本方法。概率统计是一门应用广泛的学科，可以根据各章节的内容和学生的工程背景，编写许多概率统计在通讯网络、机器学习、随机模拟、质量管理、可靠性、风险管理与决策、人文社会、教育与心理学、人口学等领域中的应用案例，充分展现概率统计理论与方法的实际价值，培养学生运用知识分析问题、解决问题的能力。
四、结束语
以上是笔者对概率统计课程教学的一点体会和探讨，我们认为虽然很多学会抱怨概率统计课难学，太抽象了，太难了，但是，只要加强教师与学生的交流和配合，理论联系实际，灵活应用多种教学手段，激发学生的学习兴趣，是能够使学生较好地学习和掌握概率统计的基本内容、思想和方法的，从近几轮学生的学习、考试结果及学生解决实际问题来看，效果是比较令人满意的。
【参考文献】
［１］周概容.概率论与数理统计 [M] 北京：高等教育出版社 1984
［２］谢兴武等.概率统计释难解疑 [M] 北京：科学出版社2007
［３］温启军.例说高等数学中的发散性思维 [J] 长春 长春大学学报 2004 2
作者简介：温启军（1973－－），男，四川绵竹县人，硕士，长春大学理学院讲师，研究方向：基础数学的教学及教育研究
项目来源：吉林省教育厅课题《普通高校非数学专业概率统计课程教学内容与教学手段的改革与实践》（项目编号：SJYB05-07）
Probability and Statisticsteaching practice and understanding
WEN Qi-jun Xiao Yu-shan
( Science College , ChangchunUniversity, Changchun 130022,China)
Abstract: Statistics and probability is very strong and practical application of a curriculum ,Combined with the author's own teaching practice from how to mobilize students interested in teaching to highlight and strengthen the focus on practical applications in areas such as on the effect of improving teaching.
Key words: Probability and Statistics; Teaching practice; thinking
責任编辑：曹治国
【关键词】概率统计；教学实践；思考
引言：概率论与数理统计是研究大量随机现象统计规律的学科，同时也是实际应用性很强的一门学科、广泛地用于自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产中，并且与其他数学学科互相渗透或结合[1]。通过本课程的学习，要使学生掌握研究随机现象的基本思想和方法，并且具备一定的分析问题和解决问题的能力。但是对于初次接触这门课程的学生普遍感觉基本概念难懂、习题难做、方法不易掌握，为能更好的开展教学，我们结合我校学生的实际在理工类专业中进行了概率统计课程教学改革的尝试。
一、 调动学生学习兴趣
学生应该对学习 充满兴趣。兴趣是最好的老师，是学习的动力，创造都源于兴趣。没有学习兴趣学生很难从内心里真正喜欢学习。但另一方面，概率统计有其特殊的思维方式，也同时包含了大量的概念、定理、公式及复杂的数学推导过程，又会让学生感到枯燥，望而生畏，产生畏难情绪，降低学习兴趣。
首先，对学习进行思想品德及意志的培养和锻炼。利用数学史料，我们介绍历史上著名的概率统计学家的辛勤工作，他们长期坚持不懈的品质，用以激发学生的学习，例如泊松、高斯、贝叶斯、辛钦等，并且在这个过程还能吸收数学家们的思想和方法。
再有，概率统计源于游戏又让它本身具有很强的趣味性，我们可以利用实际问题开展讲授。比如，我们考查N个人中2人生日相同的问题；某人买彩票能否中奖的问题；体育比赛中抽签的公平性问题；排球比赛赛制的问题等等，这些学生能亲身感知并与他们相关的趣味问题的处理使他们对学习产生进一步的兴趣。我们可以举著名的分赌本问题：1651年夏，法国数学 、物理学家帕斯卡在旅途中遇到贵族公子德·梅尔，他提出"分赌本问题"向帕斯卡求教，问题如下：德·梅尔和赌友掷一枚骰子，各押32枚金币，梅尔如果先掷3次6点或赌友先掷3次4点，就赢了对方，赌博进行了一段时间，梅尔已掷了2次6点，而对方掷了1次4点，此时梅尔接通知马上陪国王接见外宾，赌博只好终止，请问两人如何分配64枚金币才算合理[2]？
同时，利用新知识来激发学生的兴趣。在教学过程中，适当介绍概率统计新的科研成果。介绍各种统计学派的不同观点，使学生看到概率统计中不确定的，局限性的一面，还有继续研究探寻的一面，以激发学生的创新。介绍概率统计在其他数学学科中的应用以开阔学生视野。例如布朗运动其轨道虽然连续但处处不可微，这就印证了高等数学中"连续函数不一定可微分"的命题。适当介绍概率统计后继的分支，比如随机微分方程，过程统计，鞅的理论等等，让学生看到概率统计的不断发展，激发学生探索意识。
另外，利用现代教育技术手段-多媒体让学生产生兴趣。"工欲善其事，必先利其器"。随着科学技术的发展，改变了过去传统的"一支粉笔加黑板"的教学手段，可以采用幻灯、投影 、微机等进行教学，可以适当利用多媒体进行教学，让学生对知识的发生有一个直观的认识。比如利用计算机演示随机数的产生、Monto-Carl方法求积分、利用组合法产生泊松分布、演示二维正态分布参数改变后其图形的变化，直方图的创立、参数估值的计算、回归方程的配置等，形象直观又快捷，学生们很是折服。这样既节约了课堂教学时间又保持了讲授知识的连贯性、系统性和流畅性；既激发了学生的好奇心又加强了对所学知识的理解，激励学生探索精神。
二、明确目的，理清关系
明确教学目的。我们认为创新教育下概率统计课程的教学目的是：注重培养随机性思维。引导学生从过去确定性、惟一性的思维定势进入随机性思维模式，学会用随机的思维方式观察客观世界，拓宽思维，对定性与定量分析方法的理解上一个新台阶。教会学生用准确的随机数学语言描述问题、建立数学模型，能用随机数学原理解释客观世界的偶然性现象。训练学生的随机分析技能和统计分析技能，使他们具有分析问题、解决问题的综合实践能力。为具有不同工程背景的学生能运用随机数学的基本理论与方法处理科学研究或生产实践中出现的随机问题奠定坚实的基础，实现创新精神、创新意识、创新能力的培养。
在教学中我们应该向学生充分展示概率统计中的定理、方法作为数学工具的广泛应用性和重要性。同时在这个过程中，不要在引入了问题后就完全抛开实际只讲数学理论这些抽象深奥的内容，而是要利用本门课程与实际联系紧密的特点继续使用实例来分析概念定理。
在教学中，除了把每章节内容讲清楚之外，还要把每个章节和前面章节内容的联系给学生讲明白，使他们有一个清晰的认识，这样才利于提高效率。由于学生初次学习加上其他原因，诸如学生自身习惯不愿意去找联系，还愿意老师手把手地教。因此只讲清楚各章内容，忽视了前后联系，那么学生头脑中仅有一些凌乱的知识点，前后不衔接，不能形成一个完整的体系，可能连一些题目都不会做，自然会打击他们的学习积极性。
另外教学过程中，我们利用多种思维方法来进行教学。比如采用类比的方法处理知识点，把平行或相关的知识内容联系在一起进行比较教学，以使学生加深印象，例如对随机事件的关系和运算，以及表示事件关系和运算的符号都与集合论之间完全平行，这样在表示上完全可以利用集合论的形式和结论，只是要注意强调学生在理解上以事件发生的概率论意义上来把握。又如随机变量部分，离散型与连续型、一维和多维变量之间，所讨论的问题和知识是一致的，因此讲授多元随机变量时要处处与简单的一元变量进行对比。这样，可使学生获得新知识更鲜明准确，也使学生对旧知识的理解更加深刻牢固。
应该注重学生发散性思维的训练和培养。所谓发散性思维是指信息处理的途径灵活多变，所求结果丰富多样，它是一种开发性的立体思维，即围绕某个问题，沿着不同方向去思考探索，重组眼前的信息和记忆中的信息，产生新的信息并获得解决问题的多种方案。故此，又将发散性思维称为求异思维[3]。
此外，对容易混淆的内容，更要特别强调，正所谓重视"辨误"教学。比如对分布函数的理解，有的学生认为不同的随机变量的分布函数一定不同；或同分布的隨机变量就一定相同；无偏估计量是最好的估计等等。通过"辨误"教学使学生能正确理解概念，掌握正确的解题方法。
三、学以致用，培养学生的应用能力
学习目的是为了应用。一方面，包括概率统计知识在本学科，在对其他数学学科的应用，促进其发展。统计学有着广泛而重要的应用，而概率论作为它的基础，它的工具，体现出概率论的地位和作用。通过概率统计本身的知识内容的学习也能使我们对其他数学学科有新的认识，比如利用概率模型可以证明恒等式，利用概率知识可以对原来的知识有个新的认识。例如：如何用概率论想法讨论N阶行列式的展开式中包含主对角线元素的项数？分析：含主对角线元素的项数的概率=行列式含主对角线元素的项数/行列式总项数，所以要求的含主对角线元素的项数=行列式总项数×含主对角线元素的项数的概率. 设 N 阶行列式的元素为，展开式的每
另一方面，概率统计源于实际又高于实际，要坚持理论联系实际的原则，要使学生既掌握理论知识又要使学生能够应用知识去解决实际问题。在教学中要让学生看到如何从实际问题抽象出概率概念、概率模型，尽可能由实际问题展示本课程在工农业、军事、公共事业、管理、经济、文教体育等方面的应用，增强概率统计与社会的贴近程度。比如著名的"玛丽亚问题"，保险公司赢利的问题，交通事故等问题，通过问题既活跃了课堂气氛，又激发了学生学习兴趣。我们举一个收集游戏卡的问题：食品厂把印有水浒108将之一的画卡随机地作为赠券装入某儿童食品袋中，每袋一卡，试问要买多少袋才能收起全套画卡？[2]
所以顾客平均要购买568袋该食品，才能收齐水浒108将全套画卡，应该是很困难的。也能看出商家所谓的赠券销售活动的实际意图正是为了增加销售量。
另外加强实践可以运用案例教学法，培养学生分析问题和解决问题的能力。案例教学法是一种理论联系实际，融知识传授、能力培养、素质教育于一体的教学方法。通过案例把学生引导到实际问题中，在分析与讨论的基础上，提出解决问题的途径和基本方法。概率统计是一门应用广泛的学科，可以根据各章节的内容和学生的工程背景，编写许多概率统计在通讯网络、机器学习、随机模拟、质量管理、可靠性、风险管理与决策、人文社会、教育与心理学、人口学等领域中的应用案例，充分展现概率统计理论与方法的实际价值，培养学生运用知识分析问题、解决问题的能力。
四、结束语
以上是笔者对概率统计课程教学的一点体会和探讨，我们认为虽然很多学会抱怨概率统计课难学，太抽象了，太难了，但是，只要加强教师与学生的交流和配合，理论联系实际，灵活应用多种教学手段，激发学生的学习兴趣，是能够使学生较好地学习和掌握概率统计的基本内容、思想和方法的，从近几轮学生的学习、考试结果及学生解决实际问题来看，效果是比较令人满意的。
【参考文献】
［１］周概容.概率论与数理统计 [M] 北京：高等教育出版社 1984
［２］谢兴武等.概率统计释难解疑 [M] 北京：科学出版社2007
［３］温启军.例说高等数学中的发散性思维 [J] 长春 长春大学学报 2004 2
作者简介：温启军（1973－－），男，四川绵竹县人，硕士，长春大学理学院讲师，研究方向：基础数学的教学及教育研究
项目来源：吉林省教育厅课题《普通高校非数学专业概率统计课程教学内容与教学手段的改革与实践》（项目编号：SJYB05-07）
Probability and Statisticsteaching practice and understanding
WEN Qi-jun Xiao Yu-shan
( Science College , ChangchunUniversity, Changchun 130022,China)
Abstract: Statistics and probability is very strong and practical application of a curriculum ,Combined with the author's own teaching practice from how to mobilize students interested in teaching to highlight and strengthen the focus on practical applications in areas such as on the effect of improving teaching.
Key words: Probability and Statistics; Teaching practice; thinking
責任编辑：曹治国